Пространственные геометрические фигуры. Измерение объёма
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся объяснят, что такое объём пространственной фигуры, назовут кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр и кубический метр, установят их соотношения и измерят объём куба и прямоугольного параллелепипеда по формуле.
- Познакомить учащихся с единицами измерения объёма и объяснить их образование на основе единичного куба.
- Сформировать умение измерять длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда и вычислять его объём.
- Развивать умение сравнивать, анализировать данные практического измерения, работать в паре и объяснять ход рассуждений.
- Воспитывать аккуратность при измерениях, ответственность за общий результат и интерес к применению математики в быту.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию пространственных фигур и практическому измерению.
- Понимают ценность точности и аккуратности при измерениях в учебных и жизненных ситуациях.
- Осознают личный вклад в работу пары и принимают ответственность за достоверность полученного результата.
- Положительно оценивают применение математических знаний при изготовлении, упаковке и размещении предметов.
Метапредметные
- Извлекают информацию из схемы, модели единичного куба и условия практической задачи.
- Планируют последовательность измерения фигуры и вычисления её объёма.
- Сравнивают единицы объёма, устанавливают закономерности и объясняют полученный вывод.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют ответ и проверяют его по образцу.
Предметные
- Знают названия единиц объёма: кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр.
- Понимают, что кубическая единица объёма — это объём куба с ребром, равным соответствующей единице длины.
- Знают соотношения: 1 см³ = 1000 мм³, 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³.
- Умеют измерять длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда и находить его объём по формуле V = a · b · c.
- Умеют находить объём куба по формуле V = a · a · a и записывать ответ в кубических единицах.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл учебной деятельности через решение практической задачи об упаковке предмета.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение и проверять правильность собственного результата.
- Соблюдают правила аккуратного обращения с измерительными инструментами и моделями.
- Оценивают собственное участие в парной работе и качество выполненного измерения.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель измерения объёма.
- Планируют действия: определить единицу, измерить три измерения, выбрать формулу, вычислить и записать единицу ответа.
- Осуществляют самопроверку по эталону и находят ошибку в единице измерения или вычислении.
- Корректируют решение после сравнения с результатом партнёра.
Познавательные УУД
- Моделируют объём фигуры с помощью единичных кубиков.
- Устанавливают связь между длиной ребра куба и названием единицы объёма.
- Анализируют, почему при переходе к соседней кубической единице получается число 1000.
- Применяют формулы объёма куба и прямоугольного параллелепипеда в практической задаче.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли измерителя, вычислителя и проверяющего в паре.
- Задают уточняющие вопросы о выборе единицы и порядке действий.
- Объясняют партнёру, почему результат записывается в кубических единицах.
- Согласовывают общий ответ и корректно сообщают о найденной ошибке.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить демонстрационные модели куба и прямоугольного параллелепипеда, линейку, набор единичных кубиков с ребром 1 см и коробку небольшого размера.
- Распечатать практические карточки трёх уровней: измерение модели, вычисление объёма и задача с жизненным контекстом — по одной карточке на каждую пару.
- Подготовить карточки с обозначениями мм³, см³, дм³, м³ и карточки с соотношениями единиц — по одному комплекту на группу.
- Вывести на доску или слайд изображения кубических единиц и памятку: V = a · b · c; V = a · a · a.
- Записать на доске тему урока и оставить место для вывода: 1 см³ = 1000 мм³; 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³.
- Подготовить линейки по одной на пару, карандаши, рабочие листы и листы для самооценки — по одному комплекту на каждого ученика.
- Разложить на парты модели прямоугольных параллелепипедов или небольшие коробки, размеры которых выражаются целыми сантиметрами.
- Подготовить таймер на 2–3 минуты и карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать внимание класса и вызвать интерес к измерению пространства через практическую проблему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает закрытую коробку: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не только считать, но и исследовать пространство. Посмотрите на эту коробку: мне нужно понять, сколько места внутри неё занимает предмет. Как вы думаете, достаточно ли измерить только одну сторону?" | Проверяют готовность к уроку, рассматривают коробку, предполагают: "Нет, нужно измерить несколько сторон". |
2 мин | Учитель продолжает: "Верно, у коробки есть длина, ширина и высота. Сегодня мы узнаем, как измеряют всё пространство внутри фигуры и в каких единицах записывают такой результат. Попробуйте предположить, что означает выражение «кубический сантиметр»." | Обсуждают предположение в парах, формулируют ответы: "Это маленький кубик со сторонами по одному сантиметру". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы выяснили, что для измерения пространства недостаточно одной длины. Теперь вспомним, какие фигуры имеют длину, ширину и высоту и как мы измеряем их стороны."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать представления о кубе, прямоугольном параллелепипеде, единицах длины и умножении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает модели и говорит: "Рассмотрите две фигуры. Первая называется кубом, вторая — прямоугольным параллелепипедом. Чем они похожи? Чем отличаются? Покажите у каждой фигуры длину, ширину и высоту." | Называют фигуры, показывают измерения, отвечают: "У куба все рёбра равны, у параллелепипеда измерения могут быть разными". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какими единицами длины мы пользуемся? Сколько миллиметров в сантиметре? Сколько сантиметров в дециметре? Как найти произведение трёх чисел?" | Отвечают: "Миллиметрами, сантиметрами, дециметрами, метрами"; "10 мм в 1 см, 10 см в 1 дм"; объясняют умножение трёх множителей. |
2 мин | Учитель записывает на доске задачу: "Длина коробки 4 см, ширина 3 см. Как найти площадь её дна?" После решения спрашивает: "А если нужно узнать не площадь дна, а всё пространство внутри коробки, чего нам не хватает?" | Решают: 4 · 3 = 12 см². Отвечают: "Нужно знать высоту". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили измерения длины и площади и увидели, что для измерения всего пространства нужна ещё третья величина — высота. Сейчас точно сформулируем задачу урока."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает кубик с ребром 1 см и спрашивает: "Если площадь измеряют квадратными сантиметрами, то как назвать единицу, которой измеряют пространство внутри коробки? Почему здесь подходит слово «кубический»?" | Рассматривают кубик, предполагают: "Кубический сантиметр — это объём куба, у которого каждое ребро 1 см". |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Закончите фразу: «Сегодня я научусь…». Подумайте, какие единицы нам нужно узнать и что мы должны уметь делать с кубом и параллелепипедом." | Формулируют цель: "Узнать меры объёма и их соотношения, научиться измерять и вычислять объём куба и прямоугольного параллелепипеда". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена: открыть понятие объёма, разобраться в кубических единицах и научиться вычислять объём фигур. Начнём с самой маленькой модели — единичного куба."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: сформировать понятие объёма и вывести единицы измерения объёма и формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует кубик с ребром 1 см: "Этот кубик занимает определённое место в пространстве. Его объём принимают за один кубический сантиметр и записывают 1 см³. Верхний индекс 3 напоминает, что измеряются три направления: длина, ширина и высота. Объём обозначают буквой V." | Рассматривают модель, повторяют: "Кубический сантиметр — объём куба с ребром 1 см"; записывают обозначение 1 см³. |
3 мин | Учитель выкладывает ряд из 10 кубиков: "В одном сантиметре 10 миллиметров, поэтому куб с ребром 1 см можно разделить на маленькие кубики с ребром 1 мм. В одном слое будет 10 · 10 = 100 кубиков, а слоёв тоже 10. Значит, 1 см³ = 10 · 10 · 10 = 1000 мм³. По такому же правилу получаем: 1 дм³ = 1000 см³, 1 м³ = 1000 дм³." | Считают кубики по трём направлениям, объясняют: "Получается 1000 маленьких кубиков"; записывают три соотношения. |
4 мин | Учитель показывает прямоугольный параллелепипед: "Представьте, что мы заполняем его одинаковыми кубиками. В одном нижнем слое будет a · b кубиков, а всего слоёв c. Поэтому объём равен V = a · b · c. Если все рёбра равны, получаем формулу куба: V = a · a · a." Учитель разбирает пример: "Длина 4 см, ширина 2 см, высота 3 см. V = 4 · 2 · 3 = 24 см³." | Составляют мысленную модель слоёв, проговаривают формулу, записывают пример и ответ: "24 кубических сантиметра". |
Запись в тетрадях
Объём — это величина, показывающая, сколько места занимает тело. Единицы объёма: мм³, см³, дм³, м³. 1 см³ = 1000 мм³; 1 дм³ = 1000 см³; 1 м³ = 1000 дм³. Объём прямоугольного параллелепипеда: V = a · b · c. Объём куба: V = a · a · a.
Эталон решения
Дано: a = 4 см, b = 2 см, c = 3 см. V = a · b · c = 4 · 2 · 3 = 24 см³. Ответ: 24 см³.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли главное правило: объём можно представить как число единичных кубиков внутри фигуры. Для параллелепипеда мы перемножаем длину, ширину и высоту, а ответ обязательно записываем в кубических единицах. Теперь проверим правило вместе."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить понятие объёма и алгоритм вычисления с проговариванием действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре модель и карточку: "Работаем по алгоритму. Сначала назовите фигуру, затем измерьте длину, ширину и высоту, после этого выберите формулу и запишите ответ. Один ученик измеряет, второй записывает, затем поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, измеряют модель линейкой, записывают три измерения и единицу длины. |
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Длина прямоугольного параллелепипеда 5 см, ширина 2 см, высота 3 см. Найдите его объём. Проговорите каждое действие партнёру." | Решают: V = 5 · 2 · 3 = 30 см³; объясняют порядок действий и проверяют единицу ответа. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте наличие трёх измерений, формулы, вычисления и кубической единицы. Если нашли ошибку, не исправляйте молча, а задайте партнёру уточняющий вопрос." | Проверяют работу по четырём критериям, отмечают сильную сторону и исправляют найденную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь вы умеете действовать по алгоритму и объяснять решение. Следующий шаг — выполнить измерение самостоятельно и показать, что вы можете применить новое правило без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное понимание единиц объёма и формул.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки: "Выполните два задания самостоятельно. Первое: найдите объём куба с ребром 3 см. Второе: измерьте модель параллелепипеда и вычислите её объём. Записывайте кратко: измерения, формула, вычисление, ответ." | Решают: для куба V = 3 · 3 · 3 = 27 см³; измеряют модель и находят её объём. |
2 мин | Учитель показывает эталон на доске: "Сравните не только число, но и единицу измерения. Если у вас написано 27 см или 27 см², найдите, почему это неверно." | Сверяют решение, подчёркивают единицу объёма, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Зелёная карточка — могу объяснить и решить; жёлтая — нужна одна подсказка; красная — пока затрудняюсь. Поднимите карточку честно: это не оценка, а сигнал для нашей дальнейшей работы." | Поднимают карточку, формулируют затруднение: "Путаю площадь и объём" или "Забываю третье измерение". |
Эталон решения
1) Для куба с ребром 3 см: V = a · a · a = 3 · 3 · 3 = 27 см³. 2) Для модели с измерениями a, b, c: V = a · b · c. Например, при a = 4 см, b = 2 см, c = 2 см: V = 4 · 2 · 2 = 16 см³.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что объём связан именно с тремя измерениями. Мы также увидели, что запись см³ важна так же, как и само вычисление. Теперь применим знания к жизненной задаче об упаковке."
Этап 7. Включение в систему знаний и применение (4 мин)
Цель этапа: применить формулу объёма в реальной ситуации и связать новый материал с единицами длины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель читает задачу: "В коробку длиной 6 дм, шириной 2 дм и высотой 3 дм нужно сложить небольшие упаковки. Какой объём имеет коробка? В какой единице будет ответ?" Учитель напоминает: "Сначала проверьте, что все измерения выражены в одной единице." | Записывают: V = 6 · 2 · 3 = 36 дм³. Отвечают: "Объём коробки равен 36 дм³". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Можно ли в этой задаче записать ответ 36 дм²? Почему? Чем отличаются площадь и объём?" | Объясняют: "Нет, дм² — единица площади, а объём измеряется в кубических единицах и использует три измерения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили формулу к настоящей коробке и отличили объём от площади. Осталось проверить, что каждый понял сегодня и умеет объяснить главное правило своими словами."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (2 мин)
Цель этапа: осознать результат обучения, выявить остаточные затруднения и объяснить порядок домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и говорит: "Закончите три фразы: «Сегодня я узнал…», «Теперь я умею…», «Мне нужно ещё потренироваться…». Отметьте один пункт, который вы готовы объяснить однокласснику." | Заполняют лист самооценки, формулируют: "Объём измеряют кубическими единицами; я умею находить V = a · b · c". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень, но базовый выполняют все. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: почему объём измеряют кубическими, а не квадратными единицами?" | Записывают домашнее задание, отвечают: "Потому что учитываются длина, ширина и высота, то есть три измерения". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно измерены все три измерения модели, выбрана формула, вычисление выполнено без ошибок, ответ записан в кубических единицах и ход решения объяснён.
- «4» — измерения и формула выбраны верно, но допущена одна вычислительная ошибка или неточность в записи единицы объёма, исправленная при самопроверке.
- «3» — ученик понимает, что объём зависит от трёх измерений, но допускает ошибки в выборе формулы, измерении или записи единицы; выполняет работу с помощью учителя или партнёра.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое один кубический сантиметр? | Проверка понимания смысла единицы объёма через модель единичного куба. |
Какие три измерения нужны, чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда? | Выявление понимания структуры формулы V = a · b · c. |
Почему ответ записывают в см³, дм³ или м³, а не в квадратных единицах? | Разграничение площади и объёма и осознание трёх измерений. |
Что было самым трудным: измерить, выбрать формулу или вычислить? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы узнали, что объём показывает, сколько места занимает предмет, и научились измерять его кубическими единицами. Мы вывели формулы для прямоугольного параллелепипеда и куба и убедились, что нужно учитывать длину, ширину и высоту. Запомните частую ошибку: объём нельзя записывать в квадратных единицах. Дома потренируйтесь измерять предметы вокруг себя, а на следующем уроке продолжим решать задачи с единицами объёма и их преобразованием."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задачи на нахождение объёма прямоугольного параллелепипеда по трём измерениям и 2 задачи на объём куба; ответы записать в мм³, см³ или дм³ согласно условию. | Закрепить формулы V = a · b · c и V = a · a · a; при проверке смотреть на правильность единицы объёма. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задачи на перевод единиц объёма: см³ в мм³, дм³ в см³, м³ в дм³, а также одну задачу о вместимости коробки с реальными размерами. | Закрепить соотношение 1000 между соседними кубическими единицами и умение применять его в контексте. |
Продвинутый (дополнительный) | Измерить дома небольшую коробку с точностью до сантиметра, вычислить её объём и описать, сколько условных кубиков с ребром 1 см³ могло бы в ней поместиться. | Развить исследовательское умение, связь измерений с моделью единичного куба и навыки самостоятельной проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Как называется объём куба с ребром 1 см?», «Сколько кубических миллиметров в одном кубическом сантиметре?», «Как найти объём прямоугольного параллелепипеда?», «В каких единицах записывают результат измерения объёма?»
Карточка формативного оценивания (6 мин, 10 баллов)
Задание | Баллы |
|---|---|
1. Выбери верное утверждение: объём — это а) площадь поверхности; б) место, которое занимает тело; в) длина предмета. | 1 |
2. Запиши единицу измерения: объём куба с ребром 1 см равен 1 ___. | 1 |
3. Вставь числа: 1 см³ = ___ мм³; 1 дм³ = ___ см³. | 2 |
4. Найди объём прямоугольного параллелепипеда, если его длина 5 см, ширина 2 см, высота 3 см. Запиши решение и ответ. | 3 |
5. Найди объём куба с ребром 2 см. Запиши решение и ответ. | 2 |
6. В каких единицах записывают объём: квадратных или кубических? Объясни одним предложением. | 1 |
