Признаки делимости на 2, 5 и 10
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться определять по последней цифре, делится ли натуральное число на 2, 5 или 10, и применять признаки при решении учебных и практических задач.
- Сформулировать и объяснить признаки делимости на 2, 5 и 10 на основе анализа числовых примеров.
- Научиться быстро проверять делимость чисел без выполнения деления.
- Развивать умение выявлять закономерность, выдвигать гипотезу, проверять её и аргументировать вывод.
- Воспитывать внимательность, интерес к математическому исследованию и ответственное отношение к совместной работе.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску математической закономерности и осознают практическую пользу признаков делимости.
- Понимают ценность точности, взаимопомощи и проверки результата.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Сохраняют положительную учебную мотивацию при выполнении задания повышенной сложности.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность действий для её достижения.
- Сравнивают числа, выделяют последнюю цифру, находят и формулируют закономерность.
- Работают с информацией на экране, в карточке и математической записи.
- Сотрудничают в паре, аргументируют ответ и осуществляют взаимопроверку.
- Используют цифровой тренажёр или интерактивное задание для самоконтроля.
Предметные
- Знать признаки делимости на 2, 5 и 10.
- Уметь определять делимость натурального числа на 2 по его последней цифре.
- Уметь определять делимость натурального числа на 5 и на 10 без выполнения деления.
- Уметь объяснять, почему число делится или не делится на заданное число.
- Применять признаки делимости при классификации чисел и решении практических задач.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения признаков делимости для быстрого и рационального решения задач.
- Проявляют самостоятельность при выборе способа проверки числа.
- Принимают учебную ошибку как возможность уточнить правило.
- Соблюдают правила сотрудничества и доброжелательно относятся к ответам одноклассников.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют цель урока.
- Планируют действия: рассматривают последнюю цифру, сравнивают с признаком, формулируют вывод.
- Проверяют правильность ответа по эталону и исправляют ошибки.
- Оценивают степень освоения каждого из трёх признаков.
- Соотносят результат самостоятельной работы с критериями оценивания.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак числа — его последнюю цифру.
- Сравнивают и классифицируют числа по делимости.
- Строят простую математическую модель в виде таблицы соответствий.
- Выдвигают гипотезу и проверяют её на нескольких примерах.
- Формулируют обобщённый вывод на основе наблюдений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре и согласовывают общий ответ.
- Формулируют вопрос и объясняют ход рассуждения.
- Используют математические термины «делится», «не делится», «остаток», «последняя цифра».
- Слушают партнёра, уточняют его аргумент и корректно исправляют неточность.
- Представляют результат исследования классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с рядами чисел, таблицей признаков и заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки с числами трёх уровней: по одной на каждого ученика и по одной дополнительной на пару.
- Подготовить цветные карточки «2», «5», «10» и карточки «делится / не делится» — по комплекту на каждую пару.
- Вывести на доску памятку: «Последняя цифра числа» и группы цифр 0, 2, 4, 6, 8; 0, 5; 0.
- Подготовить цифровой мини-тест на 6 вопросов для интерактивной доски или планшетов.
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии и лист самооценки на каждого ученика.
- Подготовить таймер, маркеры, магнитные карточки с числами и два конверта для групповой сортировки.
- Освободить безопасное место у парт для короткой физкультминутки с математическими движениями.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к поиску быстрого способа проверки чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, всё ли готово к математическому исследованию: тетрадь, ручка, карточки и внимание. Сегодня мы будем не просто решать примеры, а искать закономерность, которая поможет быстро проверять большие числа." | Проверяют готовность к уроку, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа 24, 35, 70, 81 и говорит: "Представьте, что кассиру нужно быстро разложить товары по коробкам: в одну помещаются только пары предметов, в другую — наборы по пять, а в третью — наборы по десять. Делить каждое число столбиком долго. Как можно действовать быстрее?" Учитель принимает гипотезы и фиксирует вопрос: «Как последняя цифра помогает определить делимость?» | Высказывают предположения: "Нужно посмотреть на последнюю цифру", "Число 70 делится и на 5, и на 10", формулируют проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что некоторые числа можно быстро распределить по группам. Теперь проверим наши предположения и выясним, какие правила действительно работают."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия деления без остатка, частного и остатка.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: 18 : 2, 19 : 2, 25 : 5, 26 : 5, 40 : 10, 43 : 10. "Решите устно по одному примеру каждого вида. Что общего у примеров, где деление выполняется без остатка?" | Решают примеры: "18 : 2 = 9", "19 : 2 = 9 и остаток 1", "25 : 5 = 5", "26 : 5 = 5 и остаток 1", "40 : 10 = 4". |
2 мин | Учитель уточняет: "Как называется результат деления? Что означает остаток 0? Чем отличается число, которое делится нацело, от числа, которое не делится нацело?" | Отвечают: "Результат называется частным", "при делении без остатка остаток равен нулю", "число можно разделить нацело". |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите зелёную карточку, если уверенно различаете деление без остатка, жёлтую — если нужна подсказка. Сейчас это понадобится для открытия нового правила." | Показывают карточки, называют затруднение при необходимости. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что делимость означает отсутствие остатка. Теперь выясним, можно ли определить это по одной цифре, не выполняя деление полностью."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: организовать выдвижение гипотезы о связи делимости с последней цифрой числа.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с числами 12, 14, 16, 21, 23, 25, 30, 35, 40, 47 и говорит: "Разделите числа на группы: делятся на 2, делятся на 5, делятся на 10. Число может попасть в несколько групп. Работайте в паре две минуты и обязательно объясняйте выбор." | Распределяют карточки, обсуждают последнюю цифру, предполагают: "На 2 делятся числа, оканчивающиеся на чётную цифру", "На 5 — числа, оканчивающиеся на 0 или 5", "На 10 — числа, оканчивающиеся на 0". |
2 мин | Учитель оформляет ответы в таблицу на доске и спрашивает: "Совпадают ли наши предположения с результатами деления? Какую цель поставим? Сформулируйте её начиная словами: ‘Научиться…’" | Формулируют цель: "Научиться определять делимость числа на 2, 5 и 10 по последней цифре и объяснять свой ответ". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: нам предстоит исследовать три случая и превратить наблюдения в точные признаки делимости. Начнём с делимости на 2."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и сформулировать признаки делимости на 2, 5 и 10 через исследование числовых рядов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу: 10, 12, 14, 16, 18 и 11, 13, 15, 17, 19. "В первой строке числа делятся на 2 без остатка, во второй — нет. Сравните последние цифры. Какие цифры встречаются в первой строке? Какой вывод можно сделать?" Учитель предлагает проверить вывод на числах 124 и 135. | Сравнивают ряды, называют цифры 0, 2, 4, 6, 8, формулируют: "Число делится на 2, если его последняя цифра 0, 2, 4, 6 или 8". Проверяют: 124 делится, 135 не делится. |
3 мин | Учитель показывает ряды 15, 20, 25, 30, 35, 40 и 12, 18, 23, 27, 34. "Какие последние цифры имеют числа, делящиеся на 5? Сформулируйте признак и проверьте его на числе 1 245." | Выделяют последние цифры 0 и 5, формулируют: "Число делится на 5, если оканчивается цифрой 0 или 5". Объясняют: "1 245 делится на 5, потому что оканчивается на 5". |
3 мин | Учитель объединяет выводы: "Какие числа из первой строки делятся на 10? Что общего у 20, 30 и 40? Запишите последний признак: число делится на 10, если его последняя цифра равна нулю. Обратите внимание: такие числа одновременно делятся и на 2, и на 5." | Формулируют признак делимости на 10, приводят примеры 50, 120, 1 000, записывают правило в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- На 2 делятся числа, которые оканчиваются цифрой 0, 2, 4, 6 или 8.
- На 5 делятся числа, которые оканчиваются цифрой 0 или 5.
- На 10 делятся числа, которые оканчиваются цифрой 0.
- Признак делимости позволяет определить делимость без выполнения деления.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли три правила и увидели, что для проверки достаточно посмотреть на последнюю цифру. Теперь применим признаки вместе и научимся объяснять каждый ответ."
Этап 5. Физкультминутка «Чётное — нечётное» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение и закрепить признак делимости на 2 в двигательной форме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет: "Я называю число. Если оно делится на 2, хлопните два раза; если не делится — поднимите руки вверх. Если число оканчивается на 0, одновременно сделайте шаг вправо и назовите: ‘Десять’." Называет 18, 25, 40, 63, 72, 95. | Выполняют движения и проговаривают признаки: для 18 и 72 хлопают, для 25, 63 и 95 поднимают руки, для 40 делают шаг вправо и называют: "Десять". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Движение помогло нам ещё раз проверить правило: чётные числа оканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8. Возвращаемся к тетрадям и закрепляем все три признака."
Этап 6. Первичное закрепление и межпредметная связь (6 мин)
Цель этапа: применить признаки в жизненном контексте сортировки предметов и осмыслить связь математики с информатикой и окружающим миром.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает ситуацию: "На складе коробки имеют номера 124, 135, 240, 305, 418 и 510. Робот должен выбрать коробки с чётными номерами, затем — номера, кратные 5 и 10. Не выполняя деление, отметьте группы в таблице на карточке и объясните два любых выбора." | Заполняют таблицу: на 2 — 124, 240, 418, 510; на 5 — 135, 240, 305, 510; на 10 — 240, 510. Объясняют: "418 делится на 2, потому что оканчивается на 8". |
3 мин | Учитель показывает на экране условные команды сортировщика: «если последняя цифра 0, помести в группу 10; если 0 или 5 — в группу 5; если 0, 2, 4, 6, 8 — в группу 2». "Почему такая инструкция похожа на алгоритм? Где в жизни компьютер использует проверку последнего символа?" | Сопоставляют условие и действие, отвечают: "Компьютер проверяет условие и выбирает действие", приводят примеры сортировки файлов, товаров или номеров. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Математическое правило можно записать как алгоритм, понятный человеку и компьютеру. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять алгоритм без помощи пары."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение признаков делимости и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "Обведите числа, делящиеся на 2: 36, 45, 78, 91, 100. Подчеркните числа, делящиеся на 5: 42, 55, 70, 83. Отметьте числа, делящиеся на 10: 30, 64, 120." Повышенный вариант дополнительно: "Вставьте цифру вместо звёздочки, чтобы 4* делилось на 2; 7* делилось на 5; 9* делилось на 10." | Индивидуально решают карточку, записывают рядом с каждым ответом объяснение через последнюю цифру. Для повышенного задания предлагают варианты: 0, 2, 4, 6, 8; 0 или 5; только 0. |
3 мин | Учитель открывает эталон на экране: "Проверьте не только ответ, но и объяснение. Если нашли ошибку, зачеркните её одной чертой и рядом запишите верное рассуждение. Поднимите жёлтую карточку, если нужна помощь." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, отмечают количество верных ответов и уровень самостоятельности. |
Эталон решения
36, 78 и 100 делятся на 2, так как оканчиваются цифрами 6, 8 и 0. 55 и 70 делятся на 5, так как оканчиваются цифрами 5 и 0. 30 и 120 делятся на 10, так как оканчиваются цифрой 0. Для числа 4* подходят цифры 0, 2, 4, 6, 8; для 7* — 0 или 5; для 9* — только 0.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что главное — не угадывать, а называть основание ответа. Осталось обобщить правила, оценить свою работу и сформулировать домашнее задание."
Этап 8. Рефлексия и подведение итогов (4 мин)
Цель этапа: осознать способ действия, выявить затруднения и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Выберите стикер: зелёный — могу сам определить делимость на 2, 5 и 10; жёлтый — иногда путаюсь; красный — нужна помощь. На обороте допишите одно правило и пример." | Выбирают цвет стикера, записывают правило и пример: "Число 250 делится на 10, потому что оканчивается на 0". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: "Какой признак оказался самым простым? Почему число, которое делится на 10, всегда делится на 2 и на 5? Какую ошибку важно не допустить?" | Отвечают: "Признак на 10 — последняя цифра 0"; "0 входит в обе группы цифр"; "Нельзя смотреть на первую цифру или выполнять неполное деление". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания карточки, правильно применены все три признака, каждое решение объяснено через последнюю цифру; исправлений по эталону нет.
- «4» — допущена одна неточность в выборе числа или объяснении, но признаки делимости в целом применены правильно.
- «3» — верно выполнена базовая часть, но допущены две-три ошибки или отсутствуют объяснения отдельных ответов.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о последней цифре числа? | Выявление осознания основного способа действия. |
Как определить, делится ли число на 2, 5 или 10, не выполняя деление? | Проверка сформированности алгоритма. |
Какое задание оказалось самым сложным и почему? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Какой цвет светофора вы выбрали и что поможет перейти на зелёный? | Формирование самооценки и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы сами открыли признаки делимости на 2, 5 и 10. Теперь достаточно посмотреть на последнюю цифру, а не выполнять длинное деление. Помните: для делимости на 2 важны цифры 0, 2, 4, 6, 8; для делимости на 5 — 0 и 5; для делимости на 10 — только 0. На следующем уроке мы продолжим работать с делимостью и научимся применять эти признаки в более сложных задачах."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на определение делимости натуральных чисел на 2, 5 и 10 по последней цифре; записать краткое объяснение каждого ответа. | Закрепить три признака и проверить, что ученик не выполняет лишнее деление. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на подбор цифры вместо пропуска: составить числа, делящиеся на 2, на 5 и на 10, и объяснить, почему подходят выбранные цифры. | Развить умение применять признак в обратной задаче и классифицировать варианты. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу про номера товаров, мест или страниц, где требуется определить делимость пяти чисел на 2, 5 и 10, затем привести решение и ответ. | Развить математическую речь, моделирование жизненной ситуации и умение создавать задание. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Какая последняя цифра нужна для делимости на 10? Какие последние цифры подходят для делимости на 5? Почему число 420 делится сразу на 2, 5 и 10?»
