Обратные задачи
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться составлять и решать две обратные задачи по одной данной задаче, объяснять связь между ними и выбирать действие для решения.
- Научиться находить в задаче условие, вопрос и числовые данные, а также определять, как изменяется неизвестное в обратной задаче.
- Развивать умение рассуждать по рисунку и схеме, сравнивать задачи, работать в паре и проверять правильность решения.
- Формировать навык устного математического объяснения с использованием слов «известно», «неизвестно», «обратная задача», «проверка».
- Воспитывать интерес к математике через игровую ситуацию «Математическое расследование», аккуратность записи и готовность помогать товарищу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют положительное отношение к математике и уверенность в возможности найти решение через рассуждение.
- Понимают ценность взаимопомощи при парной работе и доброжелательно относятся к ошибкам товарища.
- Осознают необходимость проверять ответ и аккуратно оформлять решение.
- Проявляют самостоятельность, интерес к игровой учебной ситуации и готовность доводить задание до конца.
Метапредметные
- Выделяют условие и вопрос задачи, моделируют ситуацию рисунком, краткой записью или схемой.
- Сравнивают прямую и обратную задачи, устанавливают связь между известными и неизвестными величинами.
- Планируют последовательность решения, выполняют самопроверку по условию и обратным действием.
- Формулируют ответ полным предложением, слушают партнёра и аргументируют выбор арифметического действия.
- Используют смысловое чтение и элементы финансово-бытовой грамотности на примере покупки и подсчёта предметов.
Предметные
- Знать, что обратная задача составляется по условию исходной задачи с изменением неизвестного и известного.
- Уметь составлять одну или две обратные задачи по данной задаче.
- Уметь решать задачи на сложение и вычитание в пределах 100 с опорой на схему.
- Уметь выбирать действие решения и записывать краткую запись, решение и ответ.
- Владеть способом проверки решения обратным действием и сопоставлением ответов.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный успех по тому, смогли ли составить и решить обратную задачу.
- Понимают смысл математической проверки как способа убедиться в правильности результата.
- Проявляют учебную мотивацию через участие в игре и желание выполнить роль математического детектива.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и принимают помощь без отказа от самостоятельности.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и называют последовательность действий: прочитать, выделить данные, изменить вопрос, решить, проверить.
- Удерживают инструкцию из двух-трёх шагов и распределяют время на работу с карточкой.
- Сверяют решение с условием, находят и исправляют ошибку в выборе действия или ответе.
- Оценивают работу по простым критериям: составил задачу, выбрал действие, записал ответ, выполнил проверку.
Познавательные УУД
- Извлекают числовую информацию из текста, рисунка и краткой записи.
- Устанавливают отношения «часть — часть — целое» и «было — добавили — стало».
- Преобразуют прямую задачу в обратную, изменяя неизвестную величину и вопрос.
- Сравнивают решения, классифицируют задачи по выбранному арифметическому действию.
- Строят простую математическую модель в виде отрезков, схемы или таблицы.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям: один читает и объясняет, второй записывает, затем дети меняются ролями.
- Задают партнёру уточняющие вопросы: «Что неизвестно? Как это найти? Почему выбрано это действие?».
- Согласовывают формулировку обратной задачи и представляют её классу.
- Корректно сообщают об ошибке, используют фразы «Я думаю иначе, потому что…» и «Давай проверим».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или плакат с сюжетом: 7 красных яблок и 3 зелёных яблока в корзине, а также схемой из отрезков.
- Распечатать карточки для пар: по одной карточке на парту с прямой задачей и двумя заданиями на составление обратных задач; всего по числу парт.
- Подготовить маленькие карточки с ролями «Читатель», «Записыватель», «Проверяющий» — по две на каждую пару.
- Подготовить наборы картинок или счётных фишек: яблоки, карандаши, книги; по одному набору на 3–4 пары.
- Вывести на доску памятку: 1) Прочитай. 2) Найди известное и неизвестное. 3) Измени вопрос. 4) Реши. 5) Проверь.
- Подготовить три карточки самооценки на каждого ученика: зелёная, жёлтая и красная.
- Выбрать в учебнике две короткие задачи по теме «Обратные задачи» без указания страниц и заранее отметить их для работы на уроке.
- Подготовить магнитные числа и знаки «+», «−», «=», а также стикеры для игры «Математический детектив».
- Оборудование: доска или интерактивная доска, проектор при наличии, наборы фишек, тетради, ручки, карточки и таймер.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать положительный эмоциональный настрой и включить детей в игровую учебную ситуацию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы превращаемся в математических детективов. Проверьте, всё ли готово для расследования: тетрадь лежит прямо, ручка пишет, карточка на парте. Покажите большой палец вверх, если готовы работать." | Проверяют принадлежности, показывают сигнал готовности, садятся правильно. |
2 мин | Учитель показывает на доске корзину с яблоками и говорит: "В корзине лежат 7 красных яблок и 3 зелёных. Всего 10 яблок. Детектив должен не только найти ответ, но и суметь задать новый вопрос к тем же данным. Сегодня мы узнаем, как одна задача помогает создать другие задачи." | Рассматривают рисунок, называют числа 7, 3 и 10, предполагают: "Можно спросить, сколько красных яблок" или "сколько зелёных яблок". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сюжет один, но вопросы могут быть разными. Сейчас проверим, какие математические знания помогут нам разобраться в задаче."
Этап 2. Актуализация знаний и работа в парах (6 мин)
Цель этапа: повторить структуру задачи, связь сложения и вычитания, а также подготовить детей к открытию нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске: «У Маши 6 карандашей, а у Саши на 2 карандаша больше». Спрашивает: "Что известно? Что пока неизвестно? Какой вопрос можно задать? Какое действие выберем?" | Называют известные данные, формулируют вопрос: "Сколько карандашей у Саши?", объясняют: "Нужно сложить 6 и 2", записывают выражение 6 + 2 = 8. |
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре»: "Сначала подумайте молча 30 секунд. Затем обсудите с соседом, как проверить ответ 8. Не называйте только действие — объясните, что означает каждое число." | Самостоятельно обдумывают проверку, затем в парах проговаривают: "Из 8 вычтем 2 и получим 6 — столько карандашей у Маши". |
2 мин | Учитель показывает схему «6 карандашей — 2 — 8 карандашей» и спрашивает: "Если известно, что у Саши 8 карандашей, а у Маши 6, какой вопрос можно задать про число 2?" | Формулируют: "На сколько карандашей у Саши больше, чем у Маши?", выбирают вычитание 8 − 6 = 2. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что при изменении неизвестного меняется вопрос и действие. Теперь выясним, как называются задачи, связанные таким способом."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель урока.
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт паре карточку с задачей: "В коробке было 5 синих кубиков и 4 жёлтых. Сколько всего кубиков было в коробке?" Затем спрашивает: "Составьте другой вопрос, чтобы один из известных ответов стал неизвестным. Можно ли узнать количество жёлтых кубиков, если известно общее количество и синих кубиков?" | Читают задачу, выделяют числа 5, 4 и 9, предлагают вопрос: "Сколько жёлтых кубиков?" или "Сколько синих кубиков?". |
2 мин | Учитель подводит детей к проблемному вопросу: "Почему для новой задачи мы уже не складываем числа? Что нужно изменить в условии и вопросе? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Обсуждают в парах и формулируют цель: "Научиться составлять и решать задачи, обратные данной". Предполагают: "Нужно заменить неизвестное и выбрать вычитание". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: составить обратную задачу, решить её и объяснить связь с первой задачей. Переходим к открытию нового способа."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести способ составления обратных задач на конкретной жизненной ситуации и схеме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает схему и читает задачу: "На полке стояло 6 книг. Поставили ещё 3 книги. Сколько книг стало на полке?" Учитель спрашивает: "Назовите условие, вопрос, известные и неизвестные величины. Как записать решение?" | Находят данные и неизвестное, составляют краткую запись «Было — 6 кн., поставили — 3 кн., стало — ? кн.», решают: 6 + 3 = 9 книг. |
3 мин | Учитель говорит: "Составим первую обратную задачу. Теперь неизвестным сделаем число книг, которые поставили. Изменим вопрос: На сколько книг стало больше? Что осталось известным?" На доске фиксирует полный текст: "На полке было 6 книг. После того как поставили несколько книг, их стало 9. Сколько книг поставили?" | Читают обратную задачу, называют неизвестное, записывают кратко: «Было — 6 кн., стало — 9 кн., поставили — ? кн.», выбирают вычитание 9 − 6 = 3. |
3 мин | Учитель составляет вторую обратную задачу: "Теперь неизвестным сделаем число книг, которые были сначала: На полке стояло несколько книг. Поставили ещё 3 книги, и их стало 9. Сколько книг было сначала?" Учитель подчёркивает: "Числа и сюжет сохранились, но неизвестной стала другая величина. Такие задачи называют обратными." | Записывают вторую задачу, составляют краткую запись, решают 9 − 3 = 6, объясняют: "Мы нашли начальное количество книг". Формулируют вывод: "В обратной задаче известное и неизвестное меняются местами". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Обратные задачи — это задачи, связанные с данной так, что известное и неизвестное в них меняются местами. Чтобы составить обратную задачу, нужно изменить вопрос и одно из известных условий, сохранив связь между величинами». Затем записывают три равенства: 6 + 3 = 9, 9 − 6 = 3, 9 − 3 = 6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли правило: из одной задачи можно составить две обратные, если менять неизвестную величину и вопрос. Сейчас потренируемся делать это вместе и проговаривать каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах. Игра «Собери задачу» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм составления обратных задач через совместную работу с карточками.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре набор карточек со словами: «У Кати было 8 наклеек», «ей подарили ещё 5», «стало ?». Говорит: "Соберите текст прямой задачи, выберите карточку-вопрос и разложите данные по схеме. Работайте по ролям: читатель и записыватель." | Собирают текст: «У Кати было 8 наклеек. Ей подарили ещё 5 наклеек. Сколько наклеек стало у Кати?», записывают 8 + 5 = 13. |
3 мин | Учитель даёт инструкцию: "Теперь поменяйтесь ролями. Возьмите карточку «стало 13» и составьте обратную задачу, где неизвестно, сколько наклеек подарили. Проверьте, подходит ли ответ к исходной задаче." | Составляют: «У Кати было 8 наклеек. Ей подарили несколько наклеек, и стало 13. Сколько наклеек подарили?», решают 13 − 8 = 5, проверяют сложением 8 + 5 = 13. |
2 мин | Учитель проводит проверку методом «Две звезды и пожелание»: "Назовите две удачные стороны работы пары и одно пожелание. Обратите внимание на точность вопроса и полный ответ." | Пары обмениваются карточками, отмечают: «Задача составлена понятно», «Действие выбрано верно», добавляют пожелание: «Не забудь записать ответ полным предложением». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы составили обратную задачу и проверили её. Теперь каждый попробует выполнить задание самостоятельно, а затем сверит решение с эталоном."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма составления и решения обратной задачи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый вариант: "В вазе было 7 цветов. Поставили ещё 2 цветка. Сколько цветов стало? Составь обратную задачу, где неизвестно, сколько цветов поставили." Средний вариант: "В альбоме 12 марок, из них 5 марок с животными. Сколько марок с другими изображениями? Составь обратную задачу." Учитель напоминает: "Сначала подчеркните вопрос, затем нарисуйте короткую схему." | Индивидуально читают выбранную карточку, выделяют условие и вопрос, составляют краткую запись, записывают выражение и ответ. Составляют обратную задачу и решают её. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Было 7 цветов, поставили 2, стало ?; 7 + 2 = 9. Обратная задача: было 7, поставили ?, стало 9; 9 − 7 = 2». Говорит: "Проверьте не только число, но и текст задачи. Если нашли ошибку, аккуратно исправьте её." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают верный ответ, исправляют вычисление или формулировку вопроса, ставят знак «+» рядом с выполненным шагом. |
Эталон решения
Прямая задача: было 7 цветов, поставили 2 цветка. Стало: 7 + 2 = 9 цветов. Обратная задача: было 7 цветов, поставили несколько, стало 9 цветов. Неизвестное количество поставленных цветов: 9 − 7 = 2 цветка. Проверка: 7 + 2 = 9. Ответ: поставили 2 цветка.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что обратную задачу можно составить по схеме и проверить обратным действием. Осталось применить этот способ в знакомой жизненной ситуации и объяснить, зачем он нужен."
Этап 7. Включение в систему знаний. Межпредметная задача (5 мин)
Цель этапа: применить способ в бытовом контексте, связанном с окружающим миром и финансовой грамотностью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает рисунок школьного буфета: "Для класса купили 4 сока и 6 яблок. Сколько всего продуктов купили? Представьте, что это запас для похода. Какой обратный вопрос можно задать, если известно общее количество?" | Решают 4 + 6 = 10, называют единицу счёта «продукта», предлагают: "Сколько яблок купили, если всего 10 продуктов и 4 сока?". |
3 мин | Учитель спрашивает: "Составьте обратную задачу устно и объясните действие. Почему здесь вычитание? Где в жизни может пригодиться умение находить неизвестную часть?" | Формулируют: «Для похода купили 4 сока и несколько яблок, всего 10 продуктов. Сколько яблок купили?» Решают 10 − 4 = 6. Отвечают: "Так можно узнать, сколько вещей осталось купить или сколько денег потратили на одну часть покупки". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы применили обратные задачи не только с книгами и фишками, но и в ситуации покупки продуктов. Теперь оценим, что каждый из вас сегодня открыл и что ещё нужно потренировать."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить способ составления обратных задач, выявить затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете составить и решить обратную задачу; жёлтую — если понимаете способ, но иногда путаете вопрос; красную — если нужна помощь. Закончите фразу: «Сегодня я понял…»" | Поднимают карточки, формулируют: «Обратная задача меняет неизвестное», «Проверять можно обратным действием», «Мне трудно правильно составить вопрос». |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. Перед уходом ответьте на контрольный вопрос: если в прямой задаче выполняется сложение, какое действие чаще всего понадобится в обратной задаче?" | Записывают выбранный уровень, отвечают: «Вычитание», приводят пример 5 + 3 = 8, 8 − 5 = 3. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решена исходная задача, составлена связная обратная задача, верно выбрано действие, записаны решение и полный ответ, выполнена проверка.
- «4» — исходная и обратная задачи решены верно, но допущена одна неточность в формулировке вопроса, краткой записи или оформлении ответа.
- «3» — правильно выполнено хотя бы одно вычисление и видна связь между задачами, но требуется помощь при составлении обратного условия или выборе действия.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое обратная задача? | Проверка понимания нового математического понятия. |
Как изменяются известное и неизвестное в обратной задаче? | Выявление осознания связи между прямой и обратной задачами. |
Какое действие помогло проверить решение сегодня? | Проверка понимания взаимосвязи сложения и вычитания. |
Что было труднее: составить вопрос, выбрать действие или записать ответ? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы работали как настоящие математические детективы: находили неизвестное, меняли вопрос и составляли обратные задачи. Главное правило урока — в обратной задаче известное и неизвестное меняются местами, а правильность можно проверить обратным действием. Следите, чтобы вопрос точно соответствовал условию, и не забывайте записывать полный ответ. На следующем уроке мы продолжим решать задачи и будем выбирать наиболее удобную схему."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 2 задачи на сложение или вычитание в пределах 100 и к каждой составить по одной обратной задаче. Записать краткую запись, решение и ответ. | Закрепляет алгоритм составления обратной задачи; при проверке обратить внимание на соответствие вопроса данным и правильность действия. |
Средний (повышающий) | Решить 3 задачи по схемам «было — добавили — стало» и «часть — часть — целое», к одной задаче составить две обратные задачи. | Развивает умение видеть разные неизвестные величины и выбирать подходящее вычитание или сложение. |
Продвинутый (дополнительный) | Придумать жизненную задачу про покупку, книги или игрушки, составить к ней две обратные задачи и показать проверку тремя связанными равенствами. | Формирует умение создавать математический текст, моделировать ситуацию и объяснять взаимосвязь трёх задач. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что нужно изменить, чтобы получить обратную задачу? Как узнать неизвестную часть, если известны целое и другая часть? Каким действием можно проверить сложение?»
