Свойства функции: исследование и анализ
Цели и задачи
- Цель: научиться определять основные свойства функции (область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства и монотонности) по графическому изображению и аналитической записи.
- Образовательная задача: систематизировать знания о свойствах функций, встречающихся в заданиях ОГЭ, и отработать алгоритм их нахождения.
- Развивающая задача: развивать навыки визуального анализа и логического вывода при работе с функциональными зависимостями.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед экзаменом через отработку типовых алгоритмов и формирование ситуации успеха.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе собственных ошибок.
- Повышение учебной мотивации через понимание практической значимости темы для успешной сдачи ОГЭ.
Метапредметные
- Познавательные: умение переводить информацию из одной знаковой системы в другую (график -> текст/формула).
- Регулятивные: умение планировать последовательность действий при исследовании функции.
- Коммуникативные: способность аргументированно объяснять свой выбор при сопоставлении графиков и свойств.
Предметные
- Знать определения области определения, области значений, нулей функции, промежутков монотонности и знакопостоянства.
- Уметь находить область определения функции, заданной формулой.
- Уметь по графику функции описывать её основные свойства.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Установление связи между целью учебной деятельности и её мотивом (подготовка к экзамену).
Регулятивные УУД
- Сличение способа действия и его результата с заданным эталоном при самопроверке.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (свойств функции).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с динамическими графиками (Desmos или GeoGebra) для демонстрации свойств.
- Распечатать карточки для самостоятельной работы в формате ОГЭ (задание №11) — 25 шт.
- Подготовить на доске сетку координат для построения графиков.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и проектора.
- Выписать на доску ключевые термины: Область определения D(f), Область значений E(f), Нули, Монотонность.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить практическую значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем работать с функциями. Посмотрите на экран. Перед вами задание, которое встречается в каждом варианте ОГЭ под номером 11. Чтобы решить его за 30 секунд и не потерять балл, нам нужно не просто смотреть на картинку, а 'читать' её. Сегодня мы станем экспертами в чтении графиков." | Приветствуют учителя, проверяют наличие учебников и тетрадей на столах, смотрят на экран с примером задания ОГЭ. |
2 мин | "Кто из вас уже пробовал решать 11-е задание? Какие свойства функций там обычно спрашивают? Правильно, коэффициенты и направление ветвей, но база всего этого — общие свойства функции, которые мы сегодня 'откроем' заново." | Отвечают: "Направление ветвей параболы", "Коэффициент k у прямой", "Пересечение с осями". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, база у вас есть. Запишем тему урока: 'Свойства функции'. Сегодня мы научимся описывать любую кривую на графике как профессиональные математики."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия и выявить пробелы в понимании области определения и значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Я называю функцию, а вы — её область определения. Функции: $y = 2x + 5$, $y = \frac{1}{x}$, $y = \sqrt{x}$. Почему во втором и третьем случаях есть ограничения? Запишите в тетрадях: $D(f)$ — это все допустимые значения $x$." | Отвечают: "Для $2x+5$ — любое число", "Для $1/x$ — $x$ не равен 0", "Для корня — $x$ больше или равен 0". Записывают определение в тетрадь. |
2 мин | "А теперь посмотрите на график параболы на экране. Как по графику понять, какие значения может принимать $y$? В этом часто путаются на экзамене. Давайте попробуем сформулировать правило." | Пытаются объяснить: "Надо смотреть на самую нижнюю точку", "Смотреть на ось ординат". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что такое область определения. Но функции имеют еще много 'примет': они могут расти, падать, пересекать оси. Давайте систематизируем эти приметы."
Этап 3. Открытие нового знания (ИКТ + Учебник) (12 мин)
Цель этапа: используя интерактивную модель и учебник, сформулировать алгоритм исследования свойств функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Используем приём 'Исследователь'. Откройте учебник на разделе 'Свойства функций'. Там перечислены 5 основных свойств. Я вывожу на экран интерактивный график в Desmos. Я буду менять параметры функции, а вы, глядя в учебник, называйте свойство. Начнем с 'Нулей функции'. Что это на графике?" | Сверяются с учебником, смотрят на экран. Отвечают: "Это точки пересечения с осью X. В этих точках $y = 0$". |
7 мин | "Теперь самое сложное — монотонность. Посмотрите на график: я двигаю точку слева направо. Если точка идет 'в горку' — функция возрастает, если 'под горку' — убывает. В учебнике это записано строго: 'большему значению аргумента соответствует большее значение функции'. Запишем это кратко схемой." | Следят за движением точки на экране. Записывают в тетрадь определения возрастания и убывания функции, фиксируют, что промежутки монотонности пишутся по оси $x$. |
Запись в тетрадях
- 1. Нули функции: $f(x) = 0$ (точки пересечения с осью $Ox$).
- 2. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ (график выше $Ox$), $f(x) < 0$ (график ниже $Ox$).
- 3. Монотонность: возрастает (вверх слева направо), убывает (вниз слева направо).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы собрали все инструменты. Теперь перейдем к практике, как вы и просили — меньше слов, больше дела."
Этап 4. Первичное закрепление (Практика с учебником) (7 мин)
Цель этапа: отработка навыка чтения свойств по готовым чертежам из учебника.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | "Работаем с упражнениями из учебника. Найдите задание, где изображен график функции с 'изломами'. Работаем в парах по приёму 'Think-Pair-Share'. 1 минута — каждый сам определяет нули и промежутки возрастания. 2 минуты — обсуждаете с соседом. Затем проверяем вместе." | Находят нужный график в учебнике. Самостоятельно выписывают интервалы в тетрадь. Обсуждают результаты, спорят о включении концов промежутков (квадратные или круглые скобки). |
Эталон решения
Для типичного графика из учебника (например, параболы $y = x^2 - 4$):
1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$
2. $E(f) = [-4; +\infty)$
3. Нули: $x = -2, x = 2$
4. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$.
1. $D(f) = (-\infty; +\infty)$
2. $E(f) = [-4; +\infty)$
3. Нули: $x = -2, x = 2$
4. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, в парах работа идет бодро. Обратите внимание: промежутки монотонности мы записываем по оси $x$! Это самая частая ошибка в ОГЭ."
Этап 5. Самостоятельная работа в формате ОГЭ (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на реальных экзаменационных задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | "Раздаю карточки. На каждой — 3 задания типа №11 из банка ФИПИ. Вам нужно сопоставить графики и условия (например, $a > 0$ и $D < 0$). Помните, что мы сегодня обсуждали: нули — это дискриминант, направление ветвей — коэффициент $a$. Приступайте." | Индивидуально решают задачи на карточках, анализируют графики парабол, гипербол и прямых. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там эталон ответов. Проверьте себя. Если у вас 3 из 3 — поставьте на полях карточки '+'. Если есть ошибки — обведите номер задания, с которым возникли трудности." | Сверяют свои ответы с эталоном на экране, проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки, у кого 3 из 3? Отлично! У кого возникли вопросы с гиперболой — не переживайте, мы разберем её отдельно на следующем уроке."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, фиксация достижений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Подведем итоги. Перед вами таблица рефлексии. Ответьте на вопросы честно для себя. Что сегодня было самым понятным? А что заставило задуматься?" | Заполняют краткую анкету или отвечают устно на вопросы учителя. |
3 мин | "Записываем домашнее задание. Оно будет дифференцированным, выберите свой уровень сложности. И не забудьте про контрольные вопросы в конце параграфа — они помогут вам подготовиться к устному опросу." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания на карточке, без ошибок определены промежутки монотонности в упражнении из учебника.
- "4" — допущена 1 ошибка в знаках или скобках при определении промежутков, верно решено 2 задания из 3 на карточке ОГЭ.
- "3" — верно определены только нули функции и область определения, на карточке решено 1 задание.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство функции легче всего найти по графику? | Выявление наиболее усвоенного материала. |
В чем разница между D(f) и E(f) 'простыми словами'? | Проверка понимания фундаментальных понятий, а не просто заучивания. |
Чувствуете ли вы себя увереннее при решении 11 задания ОГЭ? | Оценка эмоционального состояния и мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы проделали большую работу. Мы убедились, что график функции — это не просто кривая, а целый рассказ о поведении математического объекта. Вы научились видеть нули, 'читать' рост и падение. Эти навыки — ваш ключ к успешному выполнению заданий на экзамене. На следующем уроке мы углубимся в свойства квадратичной функции. Всем спасибо за работу, урок окончен!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на чтение графиков из учебника: определить нули и промежутки знакопостоянства. | Закрепление базовых определений и навыка визуального поиска точек. |
Средний (повышающий) | Построить график функции $y = -x^2 + 2x + 3$ и описать все 5 изученных свойств письменно. | Связь аналитического задания функции с её графическими свойствами. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти в открытом банке ОГЭ три задания №11 с разными типами функций (линейная, квадратичная, обратная пропорциональность) и решить их с обоснованием. | Подготовка к экзамену в условиях реальных задач, развитие навыка аргументации. |
