Сложение и умножение числовых неравенств. Оценивание значения выражения
Цели и задачи
- Цель: сформировать умение применять теоремы о почленном сложении и умножении неравенств для оценки значений выражений.
- Предметная задача: изучить алгоритмы сложения и умножения неравенств одного знака, научиться применять их в типовых заданиях ОГЭ.
- Метапредметная задача: развивать навыки исследовательской деятельности через самостоятельное «открытие» правил работы с неравенствами.
- Личностная задача: повысить уверенность при подготовке к экзаменам, формируя навык самоконтроля и работы в команде.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе успехов в изучении алгебры.
- Умение аргументированно отстаивать свою точку зрения в процессе групповой дискуссии.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи при доказательстве теорем о неравенствах.
- Регулятивные: владение навыками самопроверки по эталону и коррекции своих действий.
- Коммуникативные: способность организовывать учебное сотрудничество в парах и группах.
Предметные
- Знать формулировки теорем о почленном сложении и умножении неравенств.
- Уметь оценивать сумму, разность, произведение и частное двух выражений по заданным границам.
- Владеть навыком решения практико-ориентированных задач на оценку площади и периметра.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между изучением свойств неравенств и их применением в реальных расчетах).
- Критичность мышления при анализе условий применимости теорем (требование положительности чисел).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Логические: анализ объектов с целью выделения признаков (сравнение неравенств одного и разных знаков).
- Моделирование: преобразование жизненной ситуации в математическую модель (оценка площади участка).
Коммуникативные УУД
- Инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы для групповой работы (кейс «Ремонт комнаты») — 15 шт.
- Подготовить презентацию с визуализацией теорем 3.1 и 3.2 из учебника Мерзляка.
- Карточки для игры «Математическое лото» (наборы неравенств для сложения/умножения).
- Интерактивная доска или проектор.
- Подготовить на доске схему-памятку: «Неравенства одного знака -> Складываем/Умножаем (если >0)».
- Распечатать карточки для рефлексии «Билет на выход».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать проблемную ситуацию для выхода на тему.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем покорять главу 'Неравенства'. Представьте, что вы — дизайнеры интерьера. Вам нужно заказать ламинат для комнаты, но вы знаете размеры стен лишь приблизительно: ширина от 3 до 3,2 м, а длина от 5 до 5,4 м. Как гарантированно купить достаточно материала, не переплатив лишнего?" | Слушают учителя, настраиваются на работу. Включаются в обсуждение жизненной ситуации. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Чтобы решить эту задачу, нам нужно научиться выполнять действия с неравенствами. Записываем тему урока: 'Сложение и умножение числовых неравенств'."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые свойства неравенств и выявить границу незнания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: что произойдет, если мы прибавим к обеим частям неравенства $a > b$ число $c$? А если умножим на отрицательное число? Посмотрите на доску: даны два верных неравенства $5 > 3$ и $10 > 2$. Попробуйте их сложить почленно. Что получится? А теперь попробуйте умножить $-2 > -3$ и $4 > 1$. Какой результат?" | Отвечают на вопросы: "Знак не изменится", "Знак перевернется". Выполняют сложение: $15 > 5$ (верно). Выполняют умножение: $-8 > -3$ (неверно!). Фиксируют затруднение: почему в одном случае сработало, а в другом нет? |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы видим, что просто так умножать любые неравенства нельзя. Сегодня мы выясним правила этой 'игры'."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: изучить теоремы 3.1 и 3.2, используя исследовательский метод и работу с учебником.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Откройте учебник на странице 17. Найдите теорему 3.1. Прочитайте её формулировку. Обратите внимание на термин 'неравенства одного знака'. Давайте вместе докажем её, используя определение из первого параграфа: разность $(a+c) - (b+d)$ должна быть положительной." Учитель записывает доказательство на доске. | Один ученик читает вслух: "При почленном сложении верных неравенств одного знака результатом является верное неравенство того же знака". Записывают доказательство в тетрадь. |
7 мин | "Теперь перейдем к умножению (Теорема 3.2). Посмотрите на условие: почему авторы Мерзляк, Полонский и Якир подчеркивают, что числа должны быть положительными? Вспомните наш пример $-8 > -3$. Работаем в группах по 4 человека: найдите в тексте параграфа обоснование этого требования и приведите свой контрпример для отрицательных чисел." | Работают в группах. Анализируют текст учебника. Формулируют вывод: для умножения неравенств необходимо, чтобы все части были положительными. Записывают теорему в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Теорема 3.1: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.
- Теорема 3.2: если $a > b, c > d$ и $a, b, c, d > 0$, то $ac > bd$.
- Следствие: если $a, b > 0$ и $a > b$, то $a^n > b^n$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, складывать можно любые неравенства одного знака, а умножать — только с положительными частями. Теперь научимся оценивать выражения."
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Встаньте, пожалуйста. Если я называю верное неравенство — руки вверх, если неверное — руки в стороны, если нестрогое — присесть. $7 > 5$; $3 < -1$; $x \ge 5$; $0 \le 0$; $-4 < -2$." | Выполняют упражнения, реагируя на математические утверждения. |
Этап 5. Первичное закрепление и практика (10 мин)
Цель этапа: отработка алгоритма оценки суммы, разности и произведения на конкретных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Разберем пример 1 со страницы 20. Дано: $6 < a < 8$ и $10 < b < 12$. Оценим $a + b$ и $ab$. Как нам оценить разность $a - b$? Помните, что вычитания в неравенствах 'не существует', есть сложение с отрицательным числом. Сначала умножим неравенство для $b$ на $-1$. Что произойдет со знаками?" | Двое учеников у доски решают: один складывает, другой умножает. Класс обсуждает переход к оценке разности: умножение на $-1$ меняет знаки на противоположные, затем неравенство 'переворачивают' для сложения. |
5 мин | "Работа в парах. Выполните задание: оцените периметр прямоугольника, если его стороны $a$ и $b$ таковы: $3,1 < a < 3,2$ и $5,4 < b < 5,5$. Помните формулу $P = 2(a+b)$." | В парах вычисляют границы суммы, затем умножают на 2. Сверяют результаты с соседями. |
Эталон решения
1) $3,1 < a < 3,2$ и $5,4 < b < 5,5$
2) $3,1 + 5,4 < a + b < 3,2 + 5,5 \Rightarrow 8,5 < a + b < 8,7$
3) $2 \cdot 8,5 < 2(a + b) < 2 \cdot 8,7 \Rightarrow 17 < P < 17,4$.
2) $3,1 + 5,4 < a + b < 3,2 + 5,5 \Rightarrow 8,5 < a + b < 8,7$
3) $2 \cdot 8,5 < 2(a + b) < 2 \cdot 8,7 \Rightarrow 17 < P < 17,4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы успешно применили теоремы для геометрии. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно с заданиями разного уровня."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Перед вами карточки с тремя уровнями сложности. Уровень А — база (сложение и умножение), Уровень Б — оценка разности и частного, Уровень В — творческое задание: составить задачу на оценку площади для своего дома. Выберите свой уровень и приступайте. Ответы появятся на экране через 6 минут." | Выбирают задания, решают индивидуально. После появления ответов проводят самопроверку, отмечая ошибки. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — выполнены все задания выбранного уровня без ошибок, включая верную запись границ.
- "4" — допущена 1 вычислительная ошибка или ошибка в знаке неравенства при умножении на отрицательное число.
- "3" — верно выполнен только уровень А (базовые операции сложения и умножения).
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое условие является критическим для почленного умножения неравенств? | Проверка понимания ограничений теоремы 3.2. |
В чем главная сложность при оценке разности $a - b$? | Выявление затруднений в алгоритме (переход к сложению с противоположным). |
Где в жизни вам может пригодиться навык оценивания значений? | Осознание практической значимости темы (функциональная грамотность). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы совершили важное открытие: неравенства можно складывать и умножать, но по строгим правилам. Этот навык — фундамент для решения сложных задач ОГЭ, которые мы разберем на следующем уроке. Помните: в математике, как и в жизни, важно знать границы своих возможностей. До встречи на следующем уроке!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задачи на почленное сложение и умножение неравенств с положительными числами (аналоги упр. 38-39). | Закрепление прямого применения теорем 3.1 и 3.2. |
Средний (повышающий) | Задания на оценку выражений вида $2a + 3b$ и $a - b$, если заданы границы для $a$ и $b$. | Отработка комбинированных действий и смены знаков. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание: Написать мини-эссе 'Как неравенства помогают строителю' с расчетом границ расхода материала. | Развитие межпредметных связей и функциональной грамотности. |
Контрольные вопросы: Можно ли складывать неравенства разных знаков? Почему при оценке разности мы сначала умножаем на $-1$?
