Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут давать определения тригонометрических функций острого угла и вычислять их значения для решения задач типа №15 ОГЭ с точностью не менее 80%.
- Образовательная задача: вывести понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса через подобие прямоугольных треугольников.
- Развивающая задача: развивать навыки исследовательской деятельности в парах и умение анализировать зависимости между сторонами и углами.
- Воспитательная задача: способствовать снижению экзаменационной тревожности через отработку алгоритмов решения типовых заданий ОГЭ.
- Межпредметная задача: показать применение тригонометрии в физике (разложение сил) и строительстве (расчёт уклона).
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к подготовке к ОГЭ.
- Развитие критического мышления при анализе полученных результатов измерений.
- Осознание ценности математических знаний для решения практических жизненных задач (строительство, навигация).
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и выводить формулы.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей и осуществлять самоконтроль в процессе работы.
- Коммуникативные: умение работать в паре, эффективно сотрудничать и приходить к общему решению.
Предметные
- Знать определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника.
- Уметь находить значения этих функций по заданным сторонам треугольника.
- Владеть навыком нахождения неизвестных сторон треугольника, используя тригонометрические отношения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: установление связи между учебной деятельностью и будущим экзаменационным результатом.
- Самоопределение: готовность к выбору профиля обучения в 10 классе.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации из практической деятельности.
- Моделирование: преобразование объекта из чувственной формы в модель (треугольник).
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для лабораторной работы (по 1 на пару, всего 15 шт.) с изображениями трех подобных прямоугольных треугольников разных размеров.
- Подготовить транспортиры и линейки для каждой пары учеников.
- Подготовить презентацию со слайдом №15 из демоверсии ОГЭ по математике.
- Распечатать мини-тесты с заданиями ОГЭ для этапа самостоятельной работы (по количеству учеников).
- Проверить исправность проектора и ноутбука.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и показать практическую значимость темы через межпредметные связи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель: «Здравствуйте, девятиклассники! Посмотрите на слайд. Перед вами чертеж пандуса для маломобильных граждан. По закону его уклон не должен превышать 5-8%. Как вы думаете, как инженеры рассчитывают этот уклон, если они знают только высоту крыльца и длину основания? Сегодня мы станем такими инженерами. Тема нашего урока — ключ к решению не только строительных задач, но и задач из ОГЭ, которые принесут вам обязательный балл по геометрии. Запишите тему: Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла». | Ученики приветствуют учителя, рассматривают изображение пандуса на слайде. Выдвигают предположения: «Нужно измерить угол», «Нужно поделить высоту на длину». Записывают тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что соотношение сторон и углов важно в жизни. Но чтобы работать с ними точно, нам нужны строгие математические определения».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить опорные понятия: прямоугольный треугольник, катеты, гипотенуза, подобие треугольников.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель проводит блиц-опрос: «Давайте вспомним базу. Как называются стороны в прямоугольном треугольнике относительно угла альфа? Кто выйдет к доске и подпишет прилежащий катет, противолежащий катет и гипотенузу?». Затем учитель задает вопрос на повторение подобия: «Если у двух прямоугольных треугольников один острый угол одинаковый, что мы можем сказать об этих треугольниках? И что мы знаем об отношении их сходственных сторон?» | Один ученик у доски подписывает стороны треугольника ABC (угол C=90 градусов) относительно угла A. Остальные отвечают с мест: «Треугольники подобны по первому признаку (по двум углам)», «Отношения сходственных сторон равны». |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Рисунок прямоугольного треугольника с обозначениями: a (противолежащий катет), b (прилежащий катет), c (гипотенуза) относительно угла α.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, мы вспомнили, что в подобных треугольниках отношения сторон сохраняются. Это фундаментальное свойство мы сейчас используем для открытия нового знания».
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: через исследовательскую работу в парах прийти к выводу, что отношения сторон прямоугольного треугольника зависят только от величины угла.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздает карточки: «Работаем в парах. У вас на карточках три разных по размеру прямоугольных треугольника, но у всех них один острый угол равен 30 градусам. Ваша задача — измерить стороны каждого треугольника и вычислить отношения, указанные в таблице на карточке. Округляйте до сотых». | Ученики распределяют роли в паре: один измеряет, другой вычисляет на черновике и записывает в таблицу. |
6 мин | Учитель курирует работу, подходит к парам, помогает с измерениями. «Сравните ваши результаты для разных треугольников. Что вы заметили? Зависят ли отношения a/c, b/c, a/b от размера треугольника, если угол один и тот же?» | Ученики обнаруживают, что отношения a/c, b/c и a/b получились практически одинаковыми для всех трех треугольников (с учетом погрешности измерения). Отвечают: «Отношения не меняются!» |
4 мин | Учитель: «Этот удивительный факт математики заметили давно. Раз эти отношения зависят только от угла, им дали специальные названия. Отношение противолежащего катета к гипотенузе назвали синусом. Запишем формулы». Учитель вводит определения sin, cos, tg, ctg, используя мнемонику: «КОсинус — катет К прилежащий, Синус — С другой стороны (противолежащий)». | Ученики фиксируют определения в тетрадях в виде формул. |
Запись в тетрадях
\(\sin \alpha = \frac{a}{c}\) — противолежащий / гипотенуза
\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) — прилежащий / гипотенуза
\(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\) — противолежащий / прилежащий
\(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\) — прилежащий / противолежащий
\(\cos \alpha = \frac{b}{c}\) — прилежащий / гипотенуза
\(\text{tg } \alpha = \frac{a}{b}\) — противолежащий / прилежащий
\(\text{ctg } \alpha = \frac{b}{a}\) — прилежащий / противолежащий
Задания по учебнику (с. 16–17)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли четыре важные функции. Теперь давайте научимся применять их для решения задач, которые встретятся вам в июне на экзамене».
Этап 4. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработка определений на типовых задачах, формирование навыка узнавания катетов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель выводит на экран задачу: «В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Найдите синус меньшего острого угла». Учитель задает наводящие вопросы: «Как найти гипотенузу? Какой угол будет меньшим? Какой катет для него противолежащий?». Вызывает ученика к доске. | Ученик у доски: «По теореме Пифагора гипотенуза равна 5. Меньший угол лежит против меньшего катета (3). Значит, синус равен 3/5 или 0,6». Остальные решают в тетрадях, сверяясь с доской. |
Эталон решения
1. \(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)
2. Меньший угол \(\alpha\) против катета 3.
3. \(\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0,6\).
Ответ: 0,6.
2. Меньший угол \(\alpha\) против катета 3.
3. \(\sin \alpha = \frac{3}{5} = 0,6\).
Ответ: 0,6.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Обратите внимание, в ОГЭ ответ всегда записывается в виде десятичной дроби. Не забывайте переводить обыкновенные дроби!»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностика усвоения темы, подготовка к формату ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздает карточки с 3 задачами формата ОГЭ (задача №15). «У вас 5 минут. Работаем самостоятельно. В первой задаче нужно найти синус, во второй — косинус, в третьей — тангенс по готовому чертежу на клетчатой бумаге». | Ученики решают задачи на карточках. При решении задачи на клетках считают количество клеток для определения длин катетов. |
2 мин | Учитель выводит правильные ответы на слайд: «Проверьте себя. Если все три верно — ставьте себе "5" на полях». | Ученики проводят самопроверку, отмечают ошибки, если они есть. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто справился без ошибок? Поднимите руки. Отлично, это ваш уверенный шаг к успешному ОГЭ».
Этап 6. Включение в систему знаний и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, связать с физикой и подвести итоги урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель: «Ребята, а помните в физике, когда мы разбираем движение бруска по наклонной плоскости, мы ищем проекцию силы тяжести? Мы пишем \(mg \cdot \sin \alpha\). Теперь вы понимаете, откуда берется этот синус? Это отношение сил, которые образуют прямоугольный треугольник. Математика — это язык физики». | Ученики вспоминают уроки физики, кивают, осознавая связь предметов. |
4 мин | Учитель организует рефлексию: «Заполните, пожалуйста, короткую анкету на выходе (Exit Ticket). Что было самым сложным? Какую мнемонику вы запомнили?» | Ученики записывают ответы на листочках, сдают их учителю. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задачи самостоятельной работы, дан верный ответ в десятичном виде.
- «4» — верно выполнены 2 задачи, в третьей допущена вычислительная ошибка, но алгоритм верен.
- «3» — верно выполнена 1 задача, или ученик понимает определения, но путает катеты при подстановке.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как отличить прилежащий катет от противолежащего без ошибок? | Проверка осознания визуального алгоритма распознавания элементов фигуры. |
Где в реальной жизни мне может пригодиться тангенс угла? | Оценка понимания практической применимости (уклон, высота дерева по тени). |
Какое задание из ОГЭ сегодня показалось самым легким? | Снижение уровня стресса перед экзаменом через фиксацию успеха. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы проделали большую работу: от измерения треугольников до решения экзаменационных задач. Вы увидели, что тригонометрия — это не страшно, а логично и полезно. На следующем уроке мы узнаем, как значения синуса и косинуса меняются в зависимости от угла, и составим знаменитую таблицу значений. Спасибо за работу, вы сегодня — настоящие инженеры своей будущей оценки на ОГЭ!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №591, №592 | Отработка определений по готовым рисункам. |
Средний (повышающий) | Сайт «Решу ОГЭ»: 5 задач из раздела №15 (Геометрия) | Решение задач в формате реального экзамена. |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-проект «Уклон школьной лестницы» | Измерить высоту и длину ступеньки, вычислить тангенс угла наклона лестницы в школе. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Чему равен тангенс, если противолежащий катет равен прилежащему? (Ответ: 1)».
