Сдвиг графика функции $y=ax^2$ вдоль осей координат
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться по формуле $y=ax^2+q$ определять направление и величину сдвига параболы, находить координаты её вершины и строить график по алгоритму.
- Образовательная задача: вывести правило сдвига графика $y=ax^2$ вдоль оси $y$ и закрепить его на практических заданиях из учебника.
- Развивающая задача: формировать умение исследовать графики, моделировать их перемещение, сравнивать формулы и обосновывать выводы.
- Метапредметная задача: развивать навыки сотрудничества в парах и группах, самопроверки по эталону и использования ЭОР для построения графиков.
- Воспитательная задача: снижать тревожность перед ОГЭ через пошаговый алгоритм и показывать практическую ценность параболы в технике.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают значение графического способа представления зависимости для решения учебных и практических задач.
- Проявляют уверенность при выполнении заданий базового уровня и готовность переходить к более сложным заданиям.
- Понимают связь математической модели параболы с формой зеркальной параболической антенны.
- Формируют ответственное отношение к самопроверке и коррекции ошибок.
Метапредметные
- Планируют построение графика по предложенному алгоритму и контролируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из текста учебника, графика, таблицы и интерактивной модели.
- Сравнивают несколько парабол и формулируют закономерность изменения координат вершины.
- Аргументируют решение в паре, распределяют роли в группе и представляют общий результат.
- Используют ЭОР для проверки гипотезы о вертикальном сдвиге графика.
Предметные
- Знать, что график $y=ax^2+q$ получается сдвигом графика $y=ax^2$ вдоль оси $y$ на $q$ единиц вверх при $q>0$ и вниз на $|q|$ единиц при $q<0$.
- Уметь находить вершину параболы $y=ax^2+q$ в точке $(0;q)$.
- Уметь строить графики $y=ax^2+q$ по вершине, оси симметрии и нескольким точкам.
- Уметь определять наибольшее или наименьшее значение функции и промежутки возрастания и убывания.
- Уметь решать задания, аналогичные заданиям ОГЭ, на чтение и преобразование графика.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к построению графиков.
- Осознают связь изучаемого правила с будущими заданиями ОГЭ.
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе уровня задания.
- Оценивают собственный прогресс по итогам урока.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования графиков и составляют план действий.
- Проверяют правильность положения вершины и направления ветвей.
- Сопоставляют собственный график с эталоном и исправляют ошибки.
- Оценивают результат по критериям, объявленным до выполнения работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак вертикального сдвига.
- Моделируют перемещение параболы на координатной плоскости.
- Устанавливают соответствие между формулой, графиком и координатами вершины.
- Используют таблицу значений для построения нескольких точек.
- Анализируют графическую информацию и делают вывод о множестве значений функции.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре по ролям «строитель» и «контролёр».
- Формулируют вопросы и уточняют рассуждения одноклассника.
- Аргументируют выбор направления сдвига.
- Согласуют общий ответ группы и корректно комментируют ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с графиками $y=x^2$, $y=x^2+2$, $y=x^2-2$, $y=-x^2$, $y=-x^2+2$, $y=-x^2-2$.
- Подготовить интерактивный графический сервис или ЭОР для изменения параметра $q$ и демонстрации движения параболы.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — по 1 на ученика, повышающий — по 1 на пару, продвинутый — по 1 на группу.
- Распечатать координатные сетки и листы самооценки по одному комплекту на каждого ученика.
- Подготовить карточки с формулами и карточки с координатами вершин для игровой работы «Найди пару».
- Вывести на доску тему, проблемный вопрос и памятку: вершина $(0;q)$, направление ветвей определяется знаком $a$.
- Подготовить учебник, рабочие тетради, линейки, карандаши, ластики и цветные маркеры.
- Проверить проектор, ноутбук, интерактивную доску и доступ к ЭОР.
- Подготовить изображение параболической антенны для межпредметной связи с физикой и технологией.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и создать проблемную ситуацию, связанную с изменением графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображение параболической антенны: "Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность: тетрадь, учебник, линейка и карандаш должны лежать на столе. Сегодня мы будем исследовать графики, которые встречаются не только в задачах ОГЭ, но и в технике. Посмотрите на изображение: почему отражающая поверхность антенны имеет форму параболы?" | Готовят принадлежности, рассматривают изображение, предполагают: "Парабола помогает направить сигнал к приёмнику". |
2 мин | Учитель применяет приём «Проблемный вопрос»: "На экране изображены три графика: $y=x^2$, $y=x^2+2$ и $y=x^2-2$. Как получить второй и третий графики из первого, не строя каждый заново? Сегодня нам нужно открыть правило такого преобразования." | Высказывают гипотезы: "Параболу нужно поднять или опустить"; формулируют затруднение: "Нужно понять, на сколько и в каком направлении выполнять сдвиг". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одна формула может быстро получать новый график из уже известного. Теперь проверим, какие знания о параболе помогут нам открыть это правило."
Этап 2. Актуализация знаний. Математическая разминка (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства квадратичной функции и подготовить учащихся к исследованию сдвига.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран функцию $y=x^2$ и спрашивает: "Назовите координаты вершины, ось симметрии и направление ветвей. Какие точки удобно взять для построения?" | Отвечают: "Вершина $(0;0)$, ось симметрии — ось $y$, ветви направлены вверх"; называют точки $(1;1)$, $(-1;1)$, $(2;4)$, $(-2;4)$. |
3 мин | Учитель предлагает фронтальную разминку: "Для функции $y=-x^2$ определите вершину и направление ветвей. Для функции $y=0,5x^2$ назовите точку при $x=2$. Почему графики $y=x^2$ и $y=-x^2$ симметричны относительно оси $x$?" | Записывают краткие ответы: вершина $(0;0)$; у $y=-x^2$ ветви направлены вниз; $y=2$ при $x=2$ для $y=0,5x^2$; объясняют, что значения $y$ меняют знак. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что положение вершины и направление ветвей позволяют описать график. Теперь исследуем, что изменится, если к формуле прибавить число q."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать правило вертикального сдвига через наблюдение и гипотезу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает в ЭОР одновременно графики $y=x^2$, $y=x^2+2$ и $y=x^2-2$: "Рассмотрите три графика. Сравните значения функции при одинаковых x. Что происходит с каждой точкой первой параболы? На сколько изменяется её ордината?" | Работают в парах по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»: сравнивают точки и формулируют: "Все точки первой параболы перемещаются вверх на 2 или вниз на 2". |
2 мин | Учитель фиксирует гипотезы на доске: "Если к значению функции прибавить положительное число, график поднимается; если прибавить отрицательное число, график опускается. Сформулируйте цель урока и назовите шаги, которые помогут проверить гипотезу." | Формулируют цель: "Научиться строить $y=ax^2+q$ по графику $y=ax^2$"; предлагают план: определить $q$, найти вершину, построить точки, соединить плавной линией. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась. Теперь обратимся к учебнику и проверим её не на одном примере, а на общем правиле."
Этап 4. Открытие нового знания. Работа с учебником и ЭОР (8 мин)
Цель этапа: вывести правило построения графика $y=ax^2+q$ и алгоритм нахождения вершины.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает обратиться к тексту учебника по теме: "Прочитайте правило о построении графика $y=ax^2+q$. Найдите в тексте ответ на вопрос: куда переносится парабола при $q>0$ и при $q<0$?" Учитель выделяет на экране формулы и рисунки из материала урока. | Читают текст, подчёркивают условия $q>0$ и $q<0$, отвечают: "При $q>0$ парабола сдвигается вверх на q, при $q<0$ — вниз на $|q|$". |
3 мин | Учитель проводит исследовательскую проверку в ЭОР: "Изменяю только q, а коэффициент a оставляю прежним. Посмотрите, меняются ли форма и ось симметрии. Где оказывается вершина?" | Наблюдают движение графика, фиксируют: форма и ось симметрии не меняются; вершина перемещается из $(0;0)$ в $(0;q)$. |
2 мин | Учитель формулирует алгоритм: "Первый шаг — определить a и q. Второй — найти вершину $(0;q)$. Третий — провести ось симметрии. Четвёртый — вычислить несколько точек по формуле. Пятый — соединить точки плавной линией. Запишите алгоритм." | Записывают алгоритм и правило: $y=ax^2+q$ получается сдвигом графика $y=ax^2$ вдоль оси $y$ на $q$ единиц вверх при $q>0$ или на $|q|$ единиц вниз при $q<0$. |
Запись в тетрадях
$y=ax^2+q$: вершина параболы $(0;q)$; при $q>0$ сдвиг вверх, при $q<0$ сдвиг вниз. Направление ветвей определяется знаком $a$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто: свободный член q отвечает за вертикальный сдвиг, а коэффициент a сохраняет форму и направление ветвей. Теперь применим алгоритм сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление. Практикум в парах (8 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на заданиях разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку базового уровня: построить графики $y=\frac{1}{3}x^2$, $y=\frac{1}{3}x^2+1$, $y=\frac{1}{3}x^2-2$. Инструкция: "Первый ученик строит, второй проверяет вершину и симметричные точки; затем поменяйтесь ролями." | В парах строят графики по алгоритму, отмечают вершины $(0;0)$, $(0;1)$, $(0;-2)$, проверяют симметрию точек. |
3 мин | Учитель предлагает игру «Найди пару»: каждой группе выдаются карточки с формулами $y=-x^2+2,5$, $y=-3x^2-1,5$, $y=2x^2-4,8$ и карточки с вершинами. "Соедините формулу с правильной вершиной и объясните выбор." | Сопоставляют формулы и вершины: $(0;2,5)$, $(0;-1,5)$, $(0;-4,8)$; объясняют, что координата x вершины равна нулю, а координата y равна q. |
2 мин | Учитель предлагает повышенное задание: "По графику параболы, полученной сдвигом $y=0,5x^2$ вниз, определите формулу, если вершина находится в точке $(0;-3)$." | Записывают формулу $y=0,5x^2-3$, объясняют направление сдвига и проверяют ответ в ЭОР. |
Эталон решения
Для функции $y=0,5x^2-3$: $a=0,5$, $q=-3$. Поэтому парабола $y=0,5x^2$ сдвигается вниз на 3 единицы. Вершина: $(0;-3)$. Ось симметрии: $x=0$. Ветви направлены вверх, так как $a>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы потренировались читать q непосредственно из формулы и графика. Сейчас каждый проверит, может ли выполнить построение без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и подготовить к заданиям формата ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбрать уровень. Базовый: определить вершины функций $y=-10x^2+1,2$, $y=2x^2-4,8$, $y=-3x^2+2$. Средний: построить $y=-x^2+1$ и $y=-2x^2-1$, указать наибольшее или наименьшее значение. Продвинутый: для параболы $y=2x^2+a$, проходящей через точку $M(1;5)$, найти $a$. | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Для продвинутого задания подставляют координаты точки в формулу и получают $5=2+a$, поэтому $a=3$. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Проверьте не только ответ, но и ход решения: вершина, ось симметрии, направление ветвей и несколько точек. Отметьте ошибки красным карандашом." | Сверяют работу с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают результат по критериям. |
2 мин | Учитель проводит формирующее оценивание «Светофор»: "Зелёная карточка — строю уверенно, жёлтая — путаю знак q, красная — нужна помощь с алгоритмом." | Поднимают карточку, фиксируют в листе самооценки пункт, который требует повторения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что главный источник ошибок — знак свободного члена. Перед итогом ещё раз проверим правило на практическом контексте и свяжем его с другими предметами."
Этап 7. Межпредметная связь и творческое задание (4 мин)
Цель этапа: применить понятие параболы к модели параболической антенны и развить творческое мышление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает изображение антенны: "В физике и технологии параболическое зеркало собирает и направляет сигнал к облучателю. Представьте, что профиль зеркала описывается функцией $y=-0,25x^2+4$. Где находится вершина и как изменится модель, если зеркало опустить на 2 единицы?" | Отвечают: вершина $(0;4)$; после опускания на 2 единицы формула станет $y=-0,25x^2+2$, вершина $(0;2)$. |
2 мин | Учитель даёт творческое задание: "Придумайте короткую подпись к схеме из двух парабол, которая объясняет роль числа q. Можно использовать формулу, стрелку сдвига или рекламный слоган для инженера." | Создают мини-схемы или подписи: "q поднимает и опускает график"; представляют 1–2 варианта классу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что сдвиг графика — это не только преобразование на бумаге: он помогает описывать реальные формы и технические устройства. Осталось зафиксировать, чему мы научились и что нужно повторить дома."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осмыслить результат урока, выявить затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Билет на выход»: "Запишите одним предложением, как из $y=ax^2$ получить $y=ax^2+q$, и укажите вершину функции $y=-3x^2+2$. Затем ответьте: какая ошибка со знаком q наиболее опасна?" | Записывают: сдвиг вдоль оси y; вершина $(0;2)$; типичная ошибка — считать отрицательное q сдвигом вверх. |
1 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите уровень, но базовый обязателен для всех. При выполнении обязательно указывайте вершину и направление сдвига." | Записывают задание и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно выполнены все выбранные задания, для каждой параболы указаны вершина и направление ветвей, графики построены по нескольким точкам и аккуратно оформлены.
- «4» — выполнено не менее 80% заданий, допущена одна неточность в координатах или оформлении, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — выполнено не менее половины заданий, есть ошибки в знаке сдвига или координатах вершины, но основное правило сформулировано верно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает число q в формуле $y=ax^2+q$? | Проверка осознания смысла свободного члена. |
Как найти вершину параболы $y=-2x^2-1$? | Выявление понимания алгоритма нахождения вершины. |
Какая ошибка при построении графика была для вас самой трудной? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Где может применяться форма параболы вне уроков алгебры? | Осознание межпредметной и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились получать график $y=ax^2+q$ сдвигом базовой параболы вдоль оси y. Главное правило: вершина имеет координаты $(0;q)$, а знак q показывает направление сдвига. Не забывайте, что знак коэффициента a отвечает за направление ветвей, а не за вертикальное перемещение. На следующем уроке мы продолжим исследовать преобразования графиков и будем применять их в более сложных заданиях, близких к формату ОГЭ."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Прочитать материал учебника о сдвиге графика вдоль оси y. Найти координаты вершин функций $y=-10x^2+1,2$, $y=2x^2-4,8$, $y=-3x^2+2$. Построить графики $y=-x^2+1$ и $y=-2x^2-1$. | Закрепляет правило вершины $(0;q)$, направление сдвига и построение по алгоритму; при проверке смотреть на знак q и симметрию графика. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3–4 задания на сопоставление формулы и графика, аналогичные разобранным на уроке: определить формулу по вершине и коэффициенту a, а также найти наибольшее или наименьшее значение функции. | Развивает чтение графика и применение свойств параболы; при проверке оценивать обоснование ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить исследовательскую задачу: для параболы $y=2x^2+a$, проходящей через точку $M(1;5)$, найти a; затем придумать две функции, графики которых получаются сдвигом базовой параболы вверх и вниз, и изобразить их схематически. | Формирует умение составлять математическую модель и объяснять связь точки, формулы и сдвига; при проверке смотреть на подстановку и корректность схемы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как определить направление сдвига по знаку q?», «Где находится вершина функции $y=ax^2+q$?», «Что сохраняется при вертикальном сдвиге параболы?», «Какой первый шаг алгоритма построения графика?»
