Прикладная математика: расчёт и выбор оптимального тарифа
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться составлять линейную модель стоимости тарифов, рассчитывать итоговую плату при заданном объёме услуг и обоснованно выбирать наиболее выгодный тариф в практической ситуации.
- Сформировать умение переводить условия бытовой задачи о тарифах в математическую модель вида $C=a+bx$, где $a$ — фиксированная плата, $b$ — стоимость единицы услуги, а $x$ — объём потребления.
- Научить сравнивать тарифы по таблице, формуле и графику, находить точку равной стоимости и делать вывод с учётом реального объёма потребления.
- Развивать функциональную математическую грамотность, навыки анализа информации, работы с электронными таблицами и аргументированного выбора.
- Снизить тревожность перед заданиями ОГЭ практического содержания через освоение понятного алгоритма и самопроверку по критериям.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт практическую ценность алгебраической модели для принятия бытовых и финансовых решений.
- Проявляет ответственное отношение к выбору услуги на основе расчётов, а не рекламных обещаний.
- Понимает, что последовательное выполнение алгоритма помогает справляться с заданиями ОГЭ и снижает страх перед неизвестной формулировкой.
- Развивает самостоятельность, готовность проверять результат и признавать необходимость коррекции.
Метапредметные
- Умеет извлекать данные из текста, таблицы, диаграммы и электронного листа.
- Строит математическую модель жизненной ситуации и проверяет её соответствие условию.
- Сотрудничает в паре, распределяет действия и формулирует общий вывод.
- Использует электронную таблицу для вычислений, сравнения вариантов и визуализации данных.
- Применяет алгоритм анализа практической задачи в формате, близком к заданиям ОГЭ.
Предметные
- Знать смысл фиксированной платы, переменной стоимости и общего платежа.
- Уметь записывать стоимость тарифа формулой $C=a+bx$.
- Уметь вычислять стоимость каждого тарифа при заданном объёме потребления.
- Уметь решать линейное уравнение, определяющее объём потребления, при котором два тарифа равны по стоимости.
- Уметь обосновывать выбор тарифа и оформлять ответ с единицами измерения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают связь изучаемого материала с будущей самостоятельной жизнью и финансовой грамотностью.
- Формируют ответственное отношение к данным, рекламным условиям и личному бюджету.
- Проявляют учебную мотивацию через понимание практического результата задания.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм в новой ситуации.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель работы и планируют последовательность расчёта тарифа.
- Контролируют единицы измерения, знаки и порядок действий.
- Сверяют полученный результат с условием и исправляют выявленные ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма по листу самооценки и итоговому вопросу.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и неизвестную величину в практическом тексте.
- Преобразуют словесное условие в формулу, таблицу и графическое представление.
- Сравнивают модели тарифов и анализируют точку пересечения их графиков.
- Выдвигают гипотезу о выгодности тарифа и проверяют её расчётом.
- Находят и объясняют ошибку в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: аналитик выделяет данные, вычислитель выполняет расчёт, спикер формулирует вывод.
- Задают уточняющие вопросы к условию и отвечают с использованием математических терминов.
- Аргументируют выбор тарифа, опираясь на формулу и числовые данные.
- Сравнивают решения разных пар без перехода к оценке личности одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный экран с двумя тарифами мобильной связи: тариф А — 450 рублей в месяц и 2 рубля за каждый гигабайт сверх включённых 10 ГБ; тариф Б — 700 рублей в месяц и 1 рубль за каждый гигабайт сверх включённых 10 ГБ.
- Распечатать карточки с практическими задачами трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и по одной дополнительной карточке на каждую пару.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «Я выделяю данные», «Я составляю формулу», «Я сравниваю тарифы», «Я могу обосновать выбор».
- Создать электронную таблицу с колонками «Объём потребления», «Стоимость тарифа А», «Стоимость тарифа Б» и графиком двух зависимостей.
- Вывести на доску алгоритм: 1) выделить данные; 2) записать формулу; 3) подставить объём; 4) сравнить; 5) записать ответ с обоснованием.
- Подготовить цветные стикеры трёх цветов для приёма «Светофор»: зелёный — понял, жёлтый — нужна проверка, красный — требуется помощь.
- Распечатать по одному мини-листу с критериями оценивания на каждого ученика.
- Подготовить ноутбук учителя, проектор или интерактивную доску; при наличии устройств — по одному компьютеру или планшету на пару.
- Заранее проверить формулы электронной таблицы и корректность графика для значений потребления от 0 до 50 ГБ.
- На доске оставить место для записи формул $C_A=450+2x$ и $C_B=700+x$.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую значимость темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать уравнения, а использовать алгебру для решения ситуации, с которой многие встречаются каждый месяц. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и калькулятор или готовность выполнять вычисления письменно. Работать будем как аналитики: сначала проверим данные, затем построим модель и только после этого сделаем выбор." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, садятся по парам, готовят тетради. |
2 мин | Учитель показывает на экране два рекламных предложения и спрашивает: "Представьте, что семья выбирает тариф для подростка. Какой тариф кажется выгоднее при первом взгляде? Можно ли принимать решение только по размеру абонентской платы? Что ещё необходимо узнать?" Учитель фиксирует ответы на доске в виде слов «фиксированная плата», «объём», «доплата», «сравнение». | Рассматривают предложения, обсуждают их с соседом 30 секунд и формулируют ответы: "Нужно узнать объём потребления", "Нужно учитывать доплату", "Нельзя сравнивать только абонентскую плату". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что рекламная цена ещё не даёт полного ответа. Сейчас вспомним математические инструменты, которые помогут превратить условия тарифа в точный расчёт."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия линейной зависимости, коэффициента и решения линейного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске выражение $y=3x+5$ и говорит: "Посмотрите на формулу. Что изменяется при изменении $x$? Какую роль играет число 5? Какую роль играет коэффициент 3? Представьте, что $x$ — число купленных единиц товара, а $y$ — стоимость." | Отвечают: "$x$ — независимая величина", "5 — фиксированная часть", "3 — стоимость одной единицы", "$y$ — общая стоимость". |
3 мин | Учитель предлагает устно решить уравнение $450+2x=700+x$: "Не торопитесь. Перенесите слагаемые с неизвестной в одну сторону, известные — в другую, затем выполните проверку. Где может встретиться такая модель в сегодняшней задаче?" | Решают: $2x-x=700-450$, получают $x=250$, выполняют проверку: $450+2\cdot250=950$, $700+250=950$. Предполагают: "Это может быть объём, при котором два тарифа стоят одинаково". |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Общая стоимость = фиксированная плата + стоимость единицы услуги · объём услуги». Модель: $C=a+bx$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили линейную модель и умеем находить значение неизвестной величины. Теперь проверим, как эти знания работают в реальном выборе между тарифами."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить алгоритм её решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с условием: "Тариф А стоит 450 рублей в месяц и включает 10 ГБ. Каждый дополнительный гигабайт стоит 2 рубля. Тариф Б стоит 700 рублей в месяц и включает те же 10 ГБ. Каждый дополнительный гигабайт стоит 1 рубль. Пользователь расходует 35 ГБ в месяц. Какой тариф выбрать?" Учитель спрашивает: "Какие данные известны? Что обозначим буквой $x$?" | Выделяют фиксированную плату 450 и 700 рублей, стоимость дополнительного гигабайта 2 и 1 рубль, объём сверх включённых 10 ГБ: $35-10=25$ ГБ. Обозначают $x$ — число дополнительных гигабайт. |
2 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: "Сначала каждый запишите один шаг решения, затем сравните его с соседом. Объедините ваши предложения в общий алгоритм из пяти шагов. Нам важно не угадать тариф, а доказать выбор." | Индивидуально предлагают шаг, обсуждают в парах, формулируют алгоритм: выделить данные, составить формулы, подставить объём, сравнить результаты, записать обоснованный ответ. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно выбрать тариф не по впечатлению, а по математической модели. Дальше мы вместе выполним первый полный расчёт и увидим, как меняется вывод при другом объёме потребления."
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: вывести формулы стоимости тарифов и установить зависимость выгодности от объёма потребления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Запишем математическую модель. В условии уже включены 10 ГБ, поэтому при расходе 35 ГБ оплачиваются не все 35, а только дополнительные 25 ГБ. Для тарифа А фиксированная плата 450 рублей, каждый дополнительный гигабайт стоит 2 рубля. Записываем $C_A=450+2x$. Для тарифа Б записываем $C_B=700+x$. Почему в первой формуле коэффициент 2, а во второй 1?" | Записывают формулы, объясняют: "Коэффициент показывает стоимость одного дополнительного гигабайта, свободный член — ежемесячную плату". |
3 мин | Учитель показывает на экране электронную таблицу и говорит: "Введём в таблицу значения $x=0, 10, 25, 40, 50$. Электронная таблица автоматически рассчитает обе стоимости. Посмотрите на строки 0 и 50: какой тариф выгоднее при малом и большом потреблении?" Учитель демонстрирует построение двух графиков. | Наблюдают за вводом формул, заполняют в тетради первые строки таблицы, сравнивают значения. Формулируют: "При малом потреблении выгоднее тариф А, при большом может стать выгоднее тариф Б". |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Где графики пересекаются? Что означает точка пересечения в контексте тарифов? Запишем уравнение равной стоимости: $450+2x=700+x$." Учитель напоминает порядок решения и просит назвать смысл найденного числа. | Решают уравнение и получают $x=250$. Обсуждают: "При 250 дополнительных гигабайтах стоимость тарифов одинакова; при обычном объёме до 250 ГБ тариф А дешевле". |
Эталон решения
Для расхода 35 ГБ число дополнительных гигабайт: $x=35-10=25$. Стоимость тарифа А: $C_A=450+2\cdot25=500$ рублей. Стоимость тарифа Б: $C_B=700+25=725$ рублей. Так как $500<725$, при расходе 35 ГБ выгоднее тариф А. Точка равной стоимости: $450+2x=700+x$; $x=250$. Следовательно, при $x<250$ выгоднее тариф А, при $x>250$ — тариф Б.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли общий способ анализа тарифа: формула превращает рекламное условие в зависимость, таблица помогает быстро сравнить значения, а график показывает границу выбора. Теперь применим алгоритм сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на новой практической ситуации с взаимной проверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку: "Интернет-провайдер предлагает тариф В: 600 рублей за месяц и 3 рубля за каждый гигабайт сверх 20 ГБ; тариф Г: 850 рублей и 1 рубль за каждый гигабайт сверх 20 ГБ. Клиент использовал 70 ГБ. Составьте формулы и найдите стоимость обоих тарифов." Учитель напоминает распределить роли: аналитик, вычислитель, проверяющий, спикер. | В парах выделяют данные, находят дополнительный объём $70-20=50$ ГБ, один ученик записывает формулы, другой выполняет вычисления. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы группам: "Какой объём подставляете в формулу? Почему не 70? Где в вашей записи видна фиксированная плата? Проверьте единицы измерения и сравните ответы." | Записывают $C_В=600+3x$, $C_Г=850+x$, затем считают $C_В=750$ рублей и $C_Г=900$ рублей. Формулируют вывод: "При расходе 70 ГБ выгоднее тариф В". |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по приёму «Две звезды и пожелание»: "Проверьте работу соседней пары. Назовите два верных элемента и один совет по улучшению записи." | Проверяют формулы, расчёты и вывод другой пары, записывают две сильные стороны и один совет: например, «правильно найден дополнительный объём», «единицы указаны», «нужно подробнее обосновать сравнение». |
Эталон решения
Дополнительный объём: $x=70-20=50$ ГБ. Тариф В: $C_В=600+3\cdot50=750$ рублей. Тариф Г: $C_Г=850+50=900$ рублей. Так как $750<900$, выгоднее тариф В.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Пары показали, что одинаковый алгоритм работает для разных чисел. Сейчас каждый проверит себя без подсказки и выберет уровень задания, соответствующий своей готовности."
Этап 6. Самостоятельная работа с использованием ИКТ и самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение моделью и научить использовать электронную таблицу для анализа данных.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: "Выполните обязательное задание, а затем выберите повышенный или дополнительный уровень. В обязательном задании нужно рассчитать стоимость двух тарифов. В повышенном — найти объём равной стоимости. В дополнительном — сформулировать рекомендацию для трёх разных пользователей. Можно использовать электронную таблицу, но формулы сначала запишите в тетради." | Выбирают уровень, записывают формулы и выполняют расчёт индивидуально. |
5 мин | Учитель выводит на экран условие обязательного задания: "Тариф Д стоит 300 рублей и включает 5 ГБ, каждый дополнительный гигабайт — 4 рубля. Тариф Е стоит 520 рублей и включает 5 ГБ, каждый дополнительный гигабайт — 2 рубля. Пользователь расходует 30 ГБ. Найдите стоимость обоих тарифов и выберите выгодный." Для повышенного уровня добавляет: "Найдите объём дополнительных данных, при котором тарифы равны." | Решают: $x=30-5=25$; $C_Д=300+4\cdot25=400$ рублей; $C_Е=520+2\cdot25=570$ рублей; выбирают тариф Д. Для повышенного уровня составляют $300+4x=520+2x$ и получают $x=110$ ГБ. |
2 мин | Учитель предлагает самопроверку: "Сверьте решение с эталоном на экране. Отметьте, где именно возникла ошибка, если ответ не совпал: в выделении дополнительного объёма, составлении формулы, вычислениях или сравнении. Поднимите зелёную, жёлтую или красную карточку." | Сверяют каждый шаг, исправляют ошибки, поднимают карточку самооценки и записывают один необходимый способ коррекции. |
Запись в тетрадях
Ученик фиксирует алгоритм: 1) найти объём сверх включённого; 2) составить формулу каждого тарифа; 3) вычислить стоимость; 4) сравнить числа; 5) записать ответ с единицами и обоснованием.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что вы умеете не только считать, но и контролировать ход решения. В заключение обсудим, почему один и тот же тариф нельзя назвать лучшим для всех пользователей."
Этап 7. Межпредметное применение и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: перенести математический алгоритм в контекст финансовой грамотности и осмыслить результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает мини-кейс: "Три пользователя расходуют 8, 30 и 60 ГБ в месяц. Используйте формулы тарифов А и Б и определите, кому какой тариф рационально выбрать. Обсудите, почему личные данные о потреблении важнее общего рекламного слогана." | В парах рассчитывают или считывают из таблицы значения, распределяют рекомендации: при 8 ГБ тариф А имеет фиксированную меньшую плату; при 30 и 60 ГБ также сравнивают формулы и объясняют, что выбор зависит от границы равной стоимости. |
2 мин | Учитель проводит приём «Одноминутка»: "За одну минуту письменно ответьте на два вопроса: какой шаг алгоритма оказался самым важным и какую типичную ошибку теперь сможете избежать?" | Пишут ответы: "Нужно вычитать включённый объём", "Нельзя сравнивать только абонентскую плату", "Нужно указать единицы измерения". |
2 мин | Учитель говорит: "Поставьте в листе самооценки отметку напротив каждого утверждения: я умею выделять данные; я составляю формулу; я нахожу стоимость; я сравниваю тарифы; я объясняю выбор. Если один пункт отмечен как трудный, запишите вопрос, который нужно разобрать на следующем уроке." | Заполняют лист самооценки, формулируют индивидуальный вопрос или отмечают полную готовность. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня алгебра помогла нам принять финансовое решение. Мы увидели, что модель зависит от объёма потребления, поэтому следующий шаг — научиться анализировать несколько ограничений и выбирать решение с учётом разных условий."
Этап 8. Итог урока и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенный способ действия, снять неопределённость по домашней работе и завершить урок рефлексией.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как выбрать оптимальный тариф? Назовите полный ответ в пяти шагах. Что нужно сделать, если в условии указано, что часть услуг уже включена?" Учитель принимает 2–3 ответа и корректирует формулировки. | Воспроизводят алгоритм: выделить данные, вычесть включённый объём, составить формулы, вычислить и сравнить, обосновать выбор. Отвечают: "Сначала нужно найти объём сверх включённого". |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание: "Выберите один из трёх уровней. Во всех вариантах нельзя просто назвать тариф: обязательно запишите модель, расчёт и словесный вывод. Проверьте, что в ответе есть рубли, гигабайты и объяснение выбора." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают листы самооценки или выходные ответы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выделены данные, найден дополнительный объём, составлены обе формулы, выполнены расчёты и дан обоснованный вывод; для повышенного задания правильно найден объём равной стоимости.
- «4» — алгоритм применён верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий способ решения; вывод в основном обоснован.
- «3» — найден хотя бы один правильный объём и составлена одна корректная модель, однако есть ошибки в расчётах, сравнении тарифов или формулировке ответа.
- Ниже «3» — отсутствует связная модель или не выделен дополнительный объём; работа требует повторного разбора по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о расчёте стоимости тарифа? | Выявление осознания связи между фиксированной и переменной частью платежа. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения: выделение данных, моделирование, вычисление или сравнение. |
Почему нельзя выбирать тариф только по абонентской плате? | Проверка понимания функционального и финансового контекста задачи. |
Сможете ли вы решить подобную задачу в формате ОГЭ самостоятельно? Что поможет вам не ошибиться? | Оценка готовности перенести алгоритм в новую формулировку и выявление потребности в поддержке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что линейная функция описывает не только абстрактную зависимость, но и реальные расходы семьи. Главная ошибка в таких задачах — подставить в формулу весь объём услуги и забыть вычесть включённую часть. Вы научились составлять модель, использовать таблицу и обосновывать выбор тарифа числами. Этот алгоритм пригодится и в заданиях ОГЭ, и в повседневных финансовых решениях. На следующем уроке мы продолжим анализировать практические зависимости и рассмотрим выбор при нескольких ограничениях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на сравнение двух тарифов с фиксированной платой, включённым объёмом услуги и разной стоимостью дополнительной единицы. Для каждого тарифа записать формулу, вычислить стоимость при заданном потреблении и сформулировать ответ в рублях. | Закрепляет перевод текста в линейную модель и последовательное сравнение значений; при проверке смотреть на вычитание включённого объёма и наличие обоснованного вывода. |
Средний (повышающий) | Решить 2 задачи, в которых требуется найти объём потребления, при котором два тарифа имеют одинаковую стоимость, и определить, какой тариф выгоднее до и после найденной границы. | Закрепляет решение линейного уравнения и смысл точки пересечения графиков; при проверке смотреть на интерпретацию корня и правильное сравнение интервалов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную задачу о тарифах или другой услуге с двумя вариантами оплаты, задать реалистичные числа, построить таблицу для минимум пяти объёмов и дать рекомендацию трём пользователям с разным потреблением. | Развивает моделирование, финансовую грамотность и создание математического текста; при проверке смотреть на реалистичность данных, корректность формул и качество аргументации. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что обозначает свободный член в формуле стоимости? Как найти объём услуги сверх включённого? Что означает решение уравнения равенства двух тарифов? Какие два действия нужно выполнить перед тем, как назвать тариф выгодным?»
