Решение систем нелинейных уравнений
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать системы нелинейных уравнений методом подстановки и методом сложения, выбирать рациональный способ решения и проверять полученные пары чисел.
- Сформировать представление о системе нелинейных уравнений как о совокупности условий, которым одновременно удовлетворяют координаты одной или нескольких точек.
- Научиться выделять из системы уравнение, удобное для выражения одной переменной, выполнять подстановку и решать полученное уравнение.
- Развивать умение анализировать условие, сравнивать способы решения, находить и исправлять ошибки, что необходимо при выполнении заданий ОГЭ.
- Воспитывать ответственность за запись решения, уверенность при работе с заданиями повышенной сложности и готовность проверять результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность алгоритма решения систем для успешного выполнения экзаменационных заданий.
- Проявляют готовность спокойно анализировать незнакомую систему и разбивать сложную задачу на последовательные шаги.
- Формируют ответственное отношение к проверке ответа и исправлению собственных ошибок.
- Развивают положительную мотивацию к изучению алгебры и уверенность в возможности преодоления затруднений.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель и планируют последовательность действий при решении системы.
- Извлекают информацию из записи системы, преобразуют её и представляют решение в форме алгоритма.
- Сравнивают два способа решения и обосновывают выбор наиболее рационального.
- Осуществляют самопроверку подстановкой и оценивают соответствие ответа условию задачи.
Предметные
- Знать понятие решения системы нелинейных уравнений и условие одновременного выполнения уравнений системы.
- Уметь выражать одну переменную через другую и подставлять полученное выражение во второе уравнение.
- Уметь решать системы вида $\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}$ и системы с квадратами переменных.
- Уметь записывать ответ парами чисел и выполнять проверку каждой пары в обоих уравнениях.
- Владеть алгоритмом выбора способа решения системы нелинейных уравнений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень готовности к решению систем и выбирают посильный уровень самостоятельного задания.
- Осознают смысл изучения алгоритма в контексте подготовки к ОГЭ.
- Проявляют настойчивость при поиске ошибки в преобразованиях.
- Оценивают собственный прогресс по итогам урока.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют решение системы по шагам: выразить, подставить, решить, найти вторую переменную, проверить.
- Контролируют знаки, порядок действий и количество найденных решений.
- Корректируют решение после сравнения с эталоном.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы записи системы и устанавливают связи между переменными.
- Преобразуют систему в одно уравнение с одной переменной.
- Сравнивают алгебраическое и графическое представления решения.
- Анализируют ошибочное решение и объясняют, на каком шаге нарушен алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположение о способе решения и объясняют его партнёру.
- Распределяют действия в паре при разборе карточки.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор метода.
- Соблюдают правила конструктивной взаимопроверки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемной системой, алгоритмом и двумя заданиями для самопроверки.
- Распечатать карточки с системами трёх уровней: по одной на каждого ученика и по одной дополнительной карточке на каждую пару.
- Подготовить листы с ошибочным решением для работы в парах и эталон решения для самопроверки.
- Раздать каждому ученику небольшой лист для рефлексии и билета на выход.
- Вывесить на доске памятку: «Выразить → Подставить → Решить → Найти вторую переменную → Проверить → Записать ответ».
- Подготовить маркеры, стикеры зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Обеспечить наличие доски или интерактивной панели, таймера и калькуляторов только при необходимости проверки вычислений.
- Заранее записать на доске тему урока, проблемный вопрос «Как найти все пары чисел, удовлетворяющие двум нелинейным условиям?» и критерии успешного решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать связь новой темы с типичными заданиями ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня мы будем не просто выполнять преобразования, а учиться видеть стратегию решения. Именно умение выбрать способ часто экономит время на экзамене." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату и тему в тетради. |
2 мин | Учитель показывает на доске систему $\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}$ и говорит: "Перед вами два условия для одной пары чисел. Как вы думаете, сколько таких пар может быть? Можно ли подобрать их без полного перебора? Сегодня мы найдём надёжный алгоритм и проверим его на заданиях экзаменационного типа." | Высказывают предположения: "Одна пара", "Две пары", "Можно подобрать числа 2 и 3"; формулируют вопрос урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что система задаёт сразу два условия. Теперь вспомним, какие преобразования и способы решения уже умеем применять, чтобы подготовиться к открытию нового алгоритма."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать навыки выражения переменной, решения квадратного уравнения и проверки корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре»: "Самостоятельно выразите $y$ из уравнения $x+y=5$, затем сравните запись с соседом. Обратите внимание на знак перед $x$." | Записывают $y=5-x$, сравнивают ответы в парах и исправляют возможные ошибки. |
2 мин | Учитель записывает: "$x^2-5x+6=0$. Какие способы решения подходят? Что важно сделать после нахождения корней?" | Решают уравнение, называют корни $x_1=2$, $x_2=3$; отвечают: "Нужно проверить корни и найти соответствующие значения второй переменной". |
2 мин | Учитель показывает два утверждения: «Решение системы — это корень только первого уравнения» и «Решение системы удовлетворяет каждому уравнению». Просит поднять карточку «верно» или «неверно» и объяснить выбор. | Отмечают второе утверждение как верное, объясняют: "Пара должна одновременно удовлетворять обоим уравнениям". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили выражение переменной, решение квадратного уравнения и обязательную проверку. Но пока не сформулировали, как объединить эти действия в единый способ для нелинейной системы."
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость нового алгоритма и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Попробуйте решить систему $\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}$. Какой шаг вызывает затруднение? Можно ли просто решить каждое уравнение отдельно и соединить любые ответы?" | Работают индивидуально, затем называют затруднение: "Нужно получить общие значения переменных", "Нельзя соединять корни без проверки". |
2 мин | Учитель фиксирует ответы на доске и спрашивает: "Сформулируйте цель урока через действие. Что мы должны научиться делать с системой? Как поймём, что цель достигнута?" | Формулируют цель: "Научиться решать систему нелинейных уравнений, находить все пары и проверять их"; предлагают критерии: правильный метод, полная запись, проверка. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение определено: нужно превратить систему в уравнение с одной переменной и не потерять решения. Дальше мы сами построим этот переход на конкретном примере."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: открыть и осмыслить алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом подстановки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает систему: $\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}$ и говорит: "Посмотрите: в первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Значит, вместо $y$ во втором уравнении можно подставить выражение $x+1$. Запишем это действие внимательно: $x^2+(x+1)^2=25$. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые." | Переписывают систему, выполняют подстановку, получают $x^2+x^2+2x+1=25$, затем $2x^2+2x-24=0$ и после деления на 2 $x^2+x-12=0$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "На какие множители раскладывается трёхчлен? Какие значения $x$ получаем? Почему одного нахождения $x$ недостаточно?" | Разлагают: $(x+4)(x-3)=0$, получают $x=-4$ и $x=3$; объясняют, что для каждой пары нужно найти $y$. |
3 мин | Учитель просит завершить решение: "Подставьте найденные значения в первое уравнение. Затем проверим каждую пару в обоих уравнениях. Какой порядок действий запишем в памятку?" | Находят пары $(-4;-3)$ и $(3;4)$, проверяют их в обоих уравнениях, формулируют алгоритм и записывают его в тетрадь. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) выразить одну переменную через другую; 2) подставить выражение во второе уравнение; 3) решить полученное уравнение; 4) найти соответствующие значения второй переменной; 5) проверить пары; 6) записать ответ. Для системы $\begin{cases}y=x+1\\x^2+y^2=25\end{cases}$ ответ: $(-4;-3)$, $(3;4)$.
Эталон решения
Из первого уравнения $y=x+1$. Подставим во второе: $x^2+(x+1)^2=25$. Получаем $2x^2+2x-24=0$, после деления на 2: $x^2+x-12=0$. Разложение: $(x+4)(x-3)=0$, поэтому $x=-4$ или $x=3$. При $x=-4$ имеем $y=-3$; при $x=3$ имеем $y=4$. Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют двум уравнениям системы.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли основной алгоритм: выразить, подставить, решить, восстановить вторую переменную и проверить. Теперь применим его вместе, проговаривая каждый шаг, чтобы запись стала устойчивой."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на системе с произведением переменных и научиться объяснять выбор действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет: "Работаем в парах. Один ученик отвечает за преобразования, второй контролирует знаки и задаёт вопрос: почему этот шаг допустим? Через три минуты поменяйтесь ролями." | Распределяют роли, читают условие системы $\begin{cases}x+y=5\\xy=6\end{cases}$. |
4 мин | Учитель направляет работу вопросами: "Из какого уравнения удобнее выразить $y$? Что получится после подстановки во второе? Не забудьте найти обе пары и проверить их." | Выражают $y=5-x$, подставляют: $x(5-x)=6$, получают $x^2-5x+6=0$, находят $x=2$ и $x=3$, затем пары $(2;3)$ и $(3;2)$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Сверьте не только ответ, но и промежуточное уравнение. Если нашли отличие, отметьте место расхождения и объясните его партнёру." | Сравнивают решения, исправляют ошибки, формулируют вывод: "Порядок переменных важен, поэтому получаются две разные пары". |
Эталон решения
Из $x+y=5$ получаем $y=5-x$. Подставляем во второе уравнение: $x(5-x)=6$. Тогда $5x-x^2=6$, или $x^2-5x+6=0$. Корни: $x=2$ и $x=3$. При $x=2$ получаем $y=3$, при $x=3$ получаем $y=2$. Ответ: $(2;3)$, $(3;2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы увидели, что одна система может иметь две пары решений. Теперь каждый самостоятельно проверит, может ли он выполнить алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и провести формирующее оценивание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень по своей готовности. Обязательный минимум — решить систему методом подстановки. В базовой записи должны быть видны все шаги и проверка. Сильные ученики могут выбрать повышенную карточку." Минимум: $\begin{cases}y=x-2\\x^2+y^2=20\end{cases}$. Базовый: $\begin{cases}x+y=7\\xy=10\end{cases}$. Повышенный: $\begin{cases}y=x^2-4\\y=2x\end{cases}$. | Индивидуально решают выбранную систему, подчёркивают найденные пары и выполняют проверку. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталоны и говорит: "Сначала проверьте порядок действий, затем сравните вычисления. Не переписывайте решение сразу: отметьте конкретный шаг, который потребовал исправления." | Сверяют решение с эталоном, выделяют ошибки знаком «?» и самостоятельно исправляют их. |
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёный — могу решить систему самостоятельно; жёлтый — понимаю алгоритм, но ошибаюсь в вычислениях; красный — нужен разбор первого шага." | Поднимают карточку соответствующего цвета и записывают в листе самооценки, какой шаг требует повторения. |
Эталон решения
Для базовой системы: $y=7-x$; $x(7-x)=10$; $x^2-7x+10=0$; $(x-2)(x-5)=0$; $x=2$ или $x=5$. Получаем пары $(2;5)$ и $(5;2)$. Для системы повышенного уровня: $x^2-4=2x$, поэтому $x^2-2x-4=0$, откуда $x=1\pm\sqrt{5}$; затем $y=2x$, то есть пары $(1+\sqrt{5};2+2\sqrt{5})$ и $(1-\sqrt{5};2-2\sqrt{5})$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без постоянной подсказки. Ошибки в знаках и неполная проверка исправимы, если действовать по памятке. Осталось связать решение с геометрическим смыслом и сформулировать личный результат урока."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить новый способ, снизить тревожность перед экзаменом и определить дальнейший шаг подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Как найти все пары чисел, удовлетворяющие двум условиям? Назовите алгоритм по памяти. Какой этап нельзя пропускать даже при уверенности в ответе?" | Восстанавливают цепочку «выразить — подставить — решить — найти вторую переменную — проверить — записать ответ»; отвечают: "Нельзя пропускать проверку". |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите один признак того, что система решена верно, одну типичную ошибку и ответьте, какой уровень домашней работы выберете." | Заполняют билет: указывают одновременное выполнение обоих уравнений, называют ошибки потери корня или неверного знака, выбирают уровень задания. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите обязательный уровень и, если готовы, добавьте повышающий или дополнительный. Ваша задача — не только получить ответ, но и сохранить полную запись решения." | Записывают домашнее задание и задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена выбранная система, выполнены все преобразования, найдены все пары, проведена проверка в обоих уравнениях; для повышенного уровня корректно записаны иррациональные корни.
- «4» — способ выбран верно, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на основную идею решения; проверка выполнена частично.
- «3» — начат верный алгоритм, но допущены две существенные ошибки либо найдена только одна пара без доказательства полноты ответа; первый шаг и подстановка записаны корректно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового алгоритма вы сегодня научились применять? | Выявление осознания последовательности действий при решении системы. |
На каком шаге вы ошиблись или почувствовали затруднение? | Выявление точек затруднения: выражение переменной, решение квадратного уравнения или проверка. |
Почему найденную пару нужно подставить в оба уравнения? | Проверка понимания определения решения системы. |
Какой уровень домашнего задания вы готовы выполнить самостоятельно? | Субъективная оценка освоения темы и планирование индивидуальной работы. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы научились превращать систему нелинейных уравнений в более знакомое уравнение с одной переменной. Главное — не терять корни, внимательно работать со знаками и обязательно проверять каждую пару в обоих уравнениях. Такие действия делают решение устойчивым и помогают спокойнее выполнять задания экзаменационного формата. На следующем уроке мы продолжим решать системы и рассмотрим, как выбирать самый короткий способ преобразований."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы нелинейных уравнений методом подстановки: две системы вида $\begin{cases}x+y=a\\xy=b\end{cases}$ и одну систему, где во втором уравнении присутствуют квадраты переменных. Для каждой системы записать проверку найденных пар. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выражение переменной, количество найденных решений и подстановку в оба уравнения. |
Средний (повышающий) | Решить 4 системы экзаменационного типа, самостоятельно выбирая удобную переменную для выражения; одну систему оформить с кратким объяснением выбора метода. | Развивает самостоятельный выбор стратегии и точность преобразований; проверить отсутствие потерянных корней. |
Продвинутый (дополнительный) | Решить 2 системы повышенной сложности, содержащие квадратное уравнение после подстановки, и построить для одной из них схематическое графическое объяснение количества решений. | Развивает анализ, связь алгебраической и графической моделей; обратить внимание на обоснование всех найденных решений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется решением системы? Какой шаг выполняется после решения уравнения с одной переменной? Почему нельзя записывать корни первой переменной как готовые решения системы без нахождения второй переменной и проверки?»
