Рациональные и иррациональные числа
Цели и задачи
- Цель: научиться классифицировать числа на рациональные и иррациональные, представлять их в виде десятичных дробей и распознавать в заданиях формата ОГЭ.
- Образовательная задача: сформировать понятие иррационального числа как бесконечной непериодической десятичной дроби.
- Развивающая задача: развивать навыки анализа и сравнения через исследование числовых последовательностей и извлечение корней.
- Воспитательная задача: снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку типовых заданий экзамена.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при анализе математических утверждений.
- Повышение уверенности в своих силах при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с эталоном.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию и работать в парах при решении исследовательских задач.
Предметные
- Знать определение рационального и иррационального числа.
- Уметь представлять рациональное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
- Уметь отличать рациональные числа от иррациональных, включая выражения с корнями и числом $\pi$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (понимание связи между изучением темы и успешной сдачей ОГЭ).
- Нравственно-этическая ориентация в оценке результатов своей деятельности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для работы в парах с набором различных чисел (целые, дроби, корни, $\pi$) — 15 экземпляров.
- Подготовить презентацию с заданиями из открытого банка ОГЭ (задания на выбор верного утверждения о числах).
- Распечатать листы самооценки с критериями для каждого этапа урока.
- Проверить работоспособность калькуляторов для этапа исследования (по 1 на парту).
- Написать на доске ключевые множества: $N, Z, Q$.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и показать практическую значимость темы для экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы работаем с темой, которая встречается в КИМах ОГЭ под номером 7. Это задания на координатную прямую и выбор верных утверждений. Чтобы не потерять там баллы, нам нужно разобраться в 'родословной' чисел. Посмотрите на слайд: там изображены $\sqrt{4}$ и $\sqrt{5}$. В чем их принципиальная разница?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Смотрят на слайд, включаются в диалог. |
2 мин | "Один корень извлекается нацело, а второй — нет. В Древней Греции открытие чисел, которые нельзя представить в виде простой дроби, считалось опасным секретом. Сегодня мы раскроем этот секрет и научимся видеть разницу между порядком и хаосом в цифрах." | Выдвигают гипотезы: "$\sqrt{4} = 2$, это целое число", "$\sqrt{5}$ — это примерно 2,2, но точно не скажешь". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что не все корни одинаково 'послушны'. Сегодня мы узнаем, как называются такие 'непослушные' числа и как их приручить."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру множества рациональных чисел и зафиксировать затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним, какие числа называются рациональными. На доске записана формула: $Q = \{\frac{m}{n} | m \in Z, n \in N\}$. Что это значит на простом языке? Приведите примеры рациональных чисел. Можем ли мы представить число 5 в виде такой дроби? А число 0,3?" | Отвечают: "Это числа, которые можно записать в виде обыкновенной дроби". Приводят примеры: $5 = \frac{5}{1}$, $0,3 = \frac{3}{10}$, $-2 = \frac{-2}{1}$. |
2 мин | "А теперь попробуйте представить в виде такой дроби число $\sqrt{2}$. Используйте калькуляторы на партах, посмотрите на десятичную запись этого числа. Что вы замечаете в хвосте этой дроби? Есть ли там повторения?" | Проводят вычисления на калькуляторе: $1,41421356...$ Замечают: "Цифры идут беспорядочно, периода нет, дробь не заканчивается". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, мы столкнулись с числом, которое невозможно записать в виде дроби $\frac{m}{n}$. Значит, оно не является рациональным. Как же его назвать?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (2 мин)
Цель этапа: сформулировать тему и цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Тема нашего урока: 'Рациональные и иррациональные числа'. Приставка 'ир-' в латыни означает отрицание. Исходя из нашего опыта с $\sqrt{2}$, сформулируйте цель: чему мы должны научиться?" | Записывают тему в тетрадь. Формулируют цель: "Узнать, что такое иррациональные числа, и научиться отличать их от рациональных". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель ясна. Начинаем наше исследование."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: дать определение иррационального числа через форму десятичной дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Применим приём 'Лаборатория'. У вас на столах карточки. Задание первой группе: переведите дроби $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{7}$, $\frac{5}{11}$ в десятичные. Задание второй группе: извлеките корни из 3, 7, 10. Сравните результаты. Что общего у всех этих дробей и в чем различие?" | Работают в группах. Первая группа получает: $0,333...$, $0,285714...$, $0,4545...$ Вторая группа: $1,73205...$, $2,64575...$, $3,16227...$ Делают вывод: "Все дроби бесконечные, но в первой группе есть период, а во второй — нет". |
5 мин | "Верно! Любое рациональное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной периодической. А те числа, которые представляются в виде бесконечной НЕпериодической дроби, называются иррациональными. К ним относятся корни, которые не извлекаются нацело, и наше знаменитое число $\pi$. Запишем схему в тетрадь." | Слушают учителя, задают уточняющие вопросы. Рисуют в тетрадях схему классификации вещественных чисел. |
3 мин | "Важный момент для ОГЭ: если вы видите выражение $\sqrt{18}$, не спешите говорить, что оно иррационально, пока не упростите его. Но здесь $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$. Корень остался? Значит, число иррациональное. А если $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$?" | Считают: "$\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$. Это рациональное число!" Осознают, что результат действий с иррациональными числами может быть рациональным. |
Запись в тетрадях
- Рациональные числа ($Q$): бесконечные периодические десятичные дроби.
- Иррациональные числа ($I$): бесконечные непериодические десятичные дроби.
- Примеры $I$: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, 5 - \sqrt{2}, \pi, 0,1010010001...$
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы знаем врага в лицо. Иррациональность — это бесконечный хаос без повторений."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык распознавания типов чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Применим приём 'Сортировка'. На экране список чисел: $0, (3); \pi; \sqrt{121}; \sqrt{10}; -5,2; \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$. Распределите их в два столбика: Рациональные и Иррациональные. Работаем в парах, обсуждаем каждый выбор." | Обсуждают в парах. Распределяют: Рациональные ($0,(3); \sqrt{121}=11; -5,2; \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=2$), Иррациональные ($\pi; \sqrt{10}$). |
3 мин | "Давайте проверим. Кто готов объяснить, почему $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}$ попало в рациональные? А почему $\sqrt{121}$ не иррациональное, ведь там есть знак корня?" | Один ученик отвечает: "Потому что мы можем сократить или извлечь корень, получив целое число или дробь. Знак корня — это еще не приговор". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, вы научились видеть суть числа за его внешней формой."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить усвоение материала на задачах формата ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Сейчас каждый выполнит мини-тест на карточках. Там 4 задания, аналогичных заданию №7 из ОГЭ. Например: 'Какое из следующих чисел является рациональным? 1) $\sqrt{20}$, 2) $\sqrt{25}$, 3) $\sqrt{30}$, 4) $\pi$'. Приступайте." | Выполняют тест самостоятельно. Выбирают ответы, производя необходимые вычисления в черновиках. |
2 мин | "Посмотрите на эталон на слайде. Оцените свою работу: 4 верных — '5', 3 верных — '4'. Поднимите руки, у кого нет ошибок." | Сверяют ответы с экраном. Ставят себе баллы в лист самооценки. Поднимают руки. |
Эталон решения (пример задания)
Задание: Найдите иррациональное число среди: $\sqrt{0,16}$; $\sqrt{1,6}$; $\sqrt{1600}$.
Решение:
1) $\sqrt{0,16} = 0,4$ (конечное, рациональное).
2) $\sqrt{1,6} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$ (иррациональное).
3) $\sqrt{1600} = 40$ (целое, рациональное).
Ответ: $\sqrt{1,6}$.
Решение:
1) $\sqrt{0,16} = 0,4$ (конечное, рациональное).
2) $\sqrt{1,6} = \sqrt{\frac{16}{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}}$ (иррациональное).
3) $\sqrt{1600} = 40$ (целое, рациональное).
Ответ: $\sqrt{1,6}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с десятичными дробями под корнем, обратите внимание на количество знаков после запятой."
Этап 7. Включение в систему знаний (5 мин)
Цель этапа: рассмотреть свойства действий с числами и подготовиться к более сложным задачам.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Давайте подумаем: если мы сложим рациональное число и иррациональное, что получится? Например, $2 + \sqrt{3}$. А если перемножим два иррациональных? Всегда ли будет иррациональное? Мы уже видели пример с $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$. Приведите свой пример, когда произведение двух 'хаотичных' чисел дает порядок." | Ученики размышляют. Отвечают: "$2 + \sqrt{3}$ будет иррациональным, так как хвост дроби никуда не денется". Приводят примеры: "$\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$", "$(\sqrt{7} - 1)(\sqrt{7} + 1) = 7 - 1 = 6$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вывод: иррациональные числа могут 'нейтрализовать' друг друга при умножении или делении, но сумма рационального и иррационального всегда иррациональна."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень понимания и дать дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Наш урок подходит к концу. Заполните таблицу рефлексии. Что для вас сегодня стало самым неожиданным? Какое задание из ОГЭ теперь не кажется страшным?" | Заполняют листы. Отвечают: "Неожиданно, что $\pi$ — это дробь без конца и периода", "Теперь понятно, как выбирать рациональные числа в 7 задании". |
2 мин | "Запишите домашнее задание. Оно разделено по уровням сложности. Выберите тот, который вам сейчас по силам, но я рекомендую попробовать хотя бы одну задачу из продвинутого уровня." | Записывают задание, выбирают уровень. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все задания теста, классификация чисел в парах проведена без ошибок, приведены собственные примеры рационализации иррациональных выражений.
- "4" — допущена 1 ошибка в тесте или при классификации, ученик понимает разницу между типами дробей, но ошибается в вычислениях корней.
- "3" — верно выполнено более половины заданий, ученик путает понятия периодической и непериодической дроби, требуется помощь учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Могу ли я объяснить соседу разницу между рациональным и иррациональным числом? | Проверка осознанности усвоения определений. |
Какое число (с корнем или без) вызвало наибольшее сомнение при сортировке? | Выявление типичных затруднений (визуальные ловушки). |
Насколько я уверен в решении задания №7 ОГЭ по этой теме? | Субъективная оценка готовности к экзамену. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы навели порядок в мире чисел. Помните, что иррациональность — это не ошибка, а просто другой вид бесконечности. На следующем уроке мы научимся сравнивать такие числа и находить их место на координатной прямой еще точнее. Вы отлично поработали, до встречи!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выписать из списка 10 чисел только иррациональные. Список включает целые числа, обыкновенные дроби, десятичные периодические и корни из неквадратов. | Закрепление умения распознавать иррациональные числа по определению. |
Средний (повышающий) | Решить 5 задач формата ОГЭ №7 на выбор верного утверждения о рациональности чисел (например, $a+b$, $ab$, $a^2$, где $a$ — рац., $b$ — иррац.). | Отработка навыка применения знаний в формате государственного экзамена. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать, что $\sqrt{2}$ не является рациональным числом (методом от противного), или найти 5 интересных фактов об истории числа $\pi$. | Развитие логического мышления и интереса к истории математики. |
