Рациональные и иррациональные числа. Множество действительных чисел
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие иррационального числа и множества действительных чисел, научить классифицировать числа и соотносить их с точками на координатной прямой в формате заданий ОГЭ.
- Образовательные: Повторить множества N, Z, Q; ввести определение иррациональных чисел (I) и действительных чисел (R); научить представлять рациональные числа в виде бесконечных периодических дробей, а иррациональные — в виде бесконечных непериодических.
- Развивающие: Развивать логическое мышление через сравнение и классификацию объектов, формировать навыки самоконтроля при выполнении тестовых заданий.
- Воспитательные: Снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку прототипов заданий №6 и №7, воспитывать культуру математической речи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение отличать гипотезу от факта.
Метапредметные
- Познавательные: умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы; владение навыками классификации.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, использовать адекватные языковые средства для отображения своих чувств и мыслей.
Предметные
- Знать определения рационального и иррационального чисел.
- Уметь распознавать иррациональные числа среди предложенных (корни, не являющиеся полными квадратами, число $\pi$).
- Уметь сравнивать действительные числа и находить их примерное положение на координатной прямой (прототип задания №7 ОГЭ).
- Владеть понятием бесконечной десятичной дроби.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению.
- Развитие навыков самоанализа при подготовке к государственной итоговой аттестации.
Регулятивные УУД
- Постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели.
- Поиск и выделение необходимой информации из учебника и дополнительных источников.
- Структурирование знаний.
Коммуникативные УУД
- Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (задание «Найди лишнее») — 15 шт. (одна на парту).
- Подготовить презентацию со слайдами: классификация чисел, диаграмма Венна для множеств N, Z, Q, I, R.
- Распечатать мини-тест в формате ОГЭ (задания №6 и №7) — 30 шт. (индивидуально).
- Подготовить на доске чертеж координатной прямой для фронтальной работы.
- Заготовить стикеры трех цветов (зеленый, желтый, красный) для рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (2 мин)
Цель этапа: создать эмоциональный настрой и сфокусировать внимание на значимости темы для экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы работаем с темой, которая является фундаментом всей алгебры. Вы часто спрашиваете: 'А будет ли это на ОГЭ?'. Отвечаю сразу: сегодняшний материал напрямую связан с заданиями №6 и №7. Мы не просто будем учить теорию, мы будем учиться 'видеть' числа так, как их видит составитель экзамена. Готовы ли вы сегодня расширить границы своего понимания чисел?» | Слушают учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие учебников и тетрадей. Отвечают на приветствие. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, настрой боевой. Давайте вспомним то, что мы уже знаем о числах, чтобы понять, чего нам не хватает».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить известные множества чисел и зафиксировать затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран ряд чисел: $5; -3; 0; \frac{1}{2}; 0,7; \sqrt{4}; \sqrt{2}; \pi$. «Ребята, посмотрите на этот ряд. Какие из этих чисел вы можете назвать рациональными? Вспомните определение: рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z, n \in N$. Какие числа 'лишние' в этом списке?» | Ученики по цепочке называют числа: «5 — натуральное и рациональное», «-3 — целое и рациональное», «$\sqrt{4}$ это 2, значит рациональное». Запинаются на $\sqrt{2}$ и $\pi$. |
2 мин | «Давайте попробуем представить $\sqrt{2}$ в виде обыкновенной дроби. Получится ли у нас найти такие целые $m$ и $n$? А если перевести в десятичную дробь? Используйте калькуляторы на телефонах или в памяти: $\sqrt{2} \approx 1,4142135...$ Что вы замечаете в этой дроби?» | Пробуют вычислять, замечают: «Дробь бесконечная, и цифры не повторяются в одном и том же порядке, как в периоде». |
Запись в тетрадях
- Рациональные числа (Q): $5, -3, 0, \frac{1}{2}, 0,7, \sqrt{4}$
- Проблема: $\sqrt{2}, \pi$ — ?
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы столкнулись с числами, которые нельзя записать в виде периодической дроби. Это и есть наше 'белое пятно' на сегодня».
Этап 3. Выявление места и причины затруднения (3 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему и тему урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Итак, в чем наша проблема? Мы знаем, что любое рациональное число — это либо целое число, либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая дробь. Но $\sqrt{2}$ не подходит ни под одно описание. Как нам называть такие числа? И где они живут на числовой прямой? Сформулируйте тему урока». | Ученики формулируют: «Числа, которые не рациональные», «Иррациональные числа». Записывают тему: «Рациональные и иррациональные числа». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Сегодня мы узнаем, что иррациональные числа — это не изгои, а полноправные члены огромной семьи действительных чисел».
Этап 4. Построение проекта выхода из затруднения (3 мин)
Цель этапа: составить план изучения нового материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Чтобы разобраться в теме, нам нужно: 1. Дать четкое определение иррациональному числу. 2. Понять, как объединить все числа вместе. 3. Научиться находить место этих чисел на прямой, чтобы решать задачи ОГЭ. Согласны с планом?» | Ученики кивают, фиксируют план в тетрадях (кратко). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Приступаем к реализации».
Этап 5. Реализация проекта (12 мин)
Цель этапа: введение понятий иррационального и действительного числа, построение классификации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Запишем определение: Иррациональное число — это бесконечная десятичная непериодическая дробь. Примеры: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \pi, 0,101101110...$ Заметьте, если из числа нельзя извлечь корень нацело, оно иррационально. А теперь объединим: Множество рациональных чисел (Q) и иррациональных (I) образуют множество действительных чисел (R)». Учитель рисует на доске диаграмму Венна (круги вложенности). | Записывают определения в тетрадь. Рисуют диаграмму: в центре N, вокруг него Z, затем Q, рядом блок I, и всё это в большом прямоугольнике R. |
7 мин | Использует приём «Сократовский диалог» для работы с координатной прямой: «Посмотрите на прямую. Между числами 1 и 2 есть рациональные числа? А сколько их? А есть ли там место для $\sqrt{2}$? Как нам понять, где именно оно стоит? Давайте возведем границы в квадрат: $1^2 = 1, 2^2 = 4$. Значит $\sqrt{2}$ живет между ними, ближе к 1. Это ключевой навык для задания №7 ОГЭ». | Отвечают: «Да, 1,5; 1,1... Их бесконечно много». Рассуждают вместе с учителем, делают пометки на чертеже прямой в тетради. |
Эталон решения (оценка $\sqrt{10}$)
1. Найдем ближайшие полные квадраты: $9 < 10 < 16$.
2. Извлечем корни: $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, то есть $3 < \sqrt{10} < 4$.
3. Так как 10 ближе к 9, чем к 16, то $\sqrt{10} \approx 3,1 - 3,2$.
2. Извлечем корни: $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$, то есть $3 < \sqrt{10} < 4$.
3. Так как 10 ближе к 9, чем к 16, то $\sqrt{10} \approx 3,1 - 3,2$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь мы знаем, что каждое число имеет свое 'адрес' на прямой. Проверим, как вы это усвоили».
Этап 6. Первичное закрепление (6 мин)
Цель этапа: отработка умения классифицировать числа и оценивать их значение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает задание из учебника (или с карточки): «Распределите числа по группам: $\sqrt{25}; \sqrt{8}; -\sqrt{0,04}; \pi/2; 0,(3); -15$. Работаем в парах (приём Think-Pair-Share). Сначала 1 минуту думаете сами, потом 2 минуты обсуждаете с соседом, затем проверяем вместе». | Работают индивидуально, затем в парах. Распределяют: Рациональные: $\sqrt{25}=5$, $-\sqrt{0,04}=-0,2$, $0,(3)$, $-15$. Иррациональные: $\sqrt{8}$, $\pi/2$. Аргументируют выбор. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу, что с классификацией проблем нет. Переходим к формату экзамена».
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на прототипах ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Раздает мини-тесты (2 задания): 1. Между какими целыми числами заключено число $\sqrt{54}$? 2. Какое из следующих чисел является иррациональным? (варианты: $\sqrt{16}, \sqrt{0,4}, \sqrt{1,6}, (\sqrt{2})^2$). «Работаем самостоятельно, время пошло». | Решают задания в тетрадях. 1. $\sqrt{49} < \sqrt{54} < \sqrt{64} \Rightarrow 7$ и $8$. 2. $\sqrt{0,4}$ и $\sqrt{1,6}$ — иррациональные (ошибка в ловушке, анализируют). |
2 мин | Выводит ответы на экран. «Проверьте себя. Если оба задания верны — поставьте себе '+' на полях. Если есть ошибка — обведите её в кружок, сейчас разберем». | Сверяют с эталоном, проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Ошибки в $\sqrt{0,4}$ — это классика ОГЭ. Помните: $\sqrt{0,04} = 0,2$, а $\sqrt{0,4}$ не извлекается нацело».
Этап 8. Включение в систему знаний (4 мин)
Цель этапа: обобщение материала и связь с будущими темами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Как вы думаете, зачем нам нужны иррациональные числа в жизни? Например, при строительстве или в дизайне? Вспомните теорему Пифагора. Если катеты по 1 метру, чему равна гипотенуза? Правильно, $\sqrt{2}$. Без иррациональных чисел мы бы не смогли точно измерить диагональ квадрата». | Ученики отвечают: «В строительстве, в расчетах площадей». Осознают практическую значимость. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы расширили наш числовой мир до бесконечности».
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подведение итогов, оценка эмоционального состояния и постановка задач на дом.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Наш урок подходит к концу. Поднимите карточку: Зеленая — я понял разницу между Q и I и решу задание ОГЭ. Желтая — я понял теорию, но в вычислениях еще путаюсь. Красная — мне нужна помощь. Запишите домашнее задание». | Поднимают карточки, записывают задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик безошибочно классифицирует все предложенные числа, верно определяет границы иррационального числа на прямой, активно участвовал в диалоге.
- «4» — допущена 1 ошибка в классификации или при оценке корня, работа выполнена самостоятельно.
- «3» — ученик понимает определение, но затрудняется в сравнении чисел и оценке корней без помощи учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число сегодня стало для вас 'открытием'? | Выявление наиболее запоминающегося фрагмента темы. |
В чем главное отличие рационального числа от иррационального? | Проверка усвоения ключевого теоретического признака. |
Какое задание из ОГЭ (№6 или №7) теперь кажется вам проще? | Оценка влияния урока на уверенность в своих силах перед экзаменом. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня вы сделали важный шаг. Множество действительных чисел — это всё, с чем мы будем работать до конца школы. Помните, что иррациональность — это не хаос, а просто другой порядок, который мы сегодня научились приручать. На следующем уроке мы научимся выполнять операции с этими числами. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: §11, №283, №285 | Классификация чисел и представление в виде десятичной дроби. |
Средний (повышающий) | РешуОГЭ: задания №7 (5 прототипов) | Определение положения точки на прямой (выписать в тетрадь решение). |
Продвинутый (дополнительный) | Мини-эссе «История числа Пи» | Краткая справка о том, как люди открыли иррациональность $\pi$. |
Контрольный вопрос: «Является ли число $\sqrt{1,21}$ иррациональным? Обоснуйте ответ перед уходом».
