Рациональные и иррациональные числа. Конечные и бесконечные десятичные дроби
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут классифицировать числа на рациональные и иррациональные, переводить обыкновенные дроби в десятичные (конечные и периодические) и определять положение иррациональных чисел на координатной прямой (в формате задания 7 ОГЭ).
- Образовательные: актуализировать знания о множествах N, Z, Q; ввести понятие иррационального числа; научить алгоритму распознавания типа десятичной дроби.
- Развивающие: развивать навыки логического мышления, анализа и сравнения; формировать умение выдвигать гипотезы при решении проблемных задач.
- Воспитательные: снизить уровень тревожности перед ОГЭ через отработку прототипов экзаменационных заданий; формировать культуру математической речи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение отличать гипотезу от факта.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию, работать в паре при проверке гипотез.
Предметные
- Знать определение рационального числа и иррационального числа.
- Уметь представлять рациональное число в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
- Уметь распознавать иррациональные числа среди предложенных выражений.
- Владеть навыком оценки значения квадратного корня для расположения числа на координатной прямой.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к изучению темы через практическую значимость для ОГЭ.
- Развитие навыков самооценки на основе критериев успешности учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Прогнозирование результата и уровня усвоения материала.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Построение логической цепи рассуждений при доказательстве иррациональности чисел.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
- Владение монологической и диалогической формами речи в соответствии с нормами родного языка.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для этапа актуализации (схема числовых множеств) — 15 шт. (на парту).
- Подготовить презентацию со слайдами заданий №6 и №7 из открытого банка ФИПИ.
- Распечатать листы самооценки с критериями «Я знаю/Я умею» для каждого ученика.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Приготовить цветные мелки или маркеры для выделения периодов дробей на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на работу, создав утилитарную мотивацию через связь темы с экзаменом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы работаем с фундаментом всей алгебры — числами. Посмотрите на слайд. Это скриншоты заданий 6 и 7 из реальных вариантов ОГЭ. Как вы думаете, можно ли получить за них баллы, если не понимать разницу между рациональным и иррациональным числом?" | Приветствуют учителя, смотрят на слайд с примерами заданий ОГЭ, вступают в диалог. |
2 мин | "Сегодня мы не просто 'проходим тему', мы оттачиваем навык, который гарантирует вам минимум 2 первичных балла на экзамене. Наша задача — разобраться, почему одни дроби 'заканчиваются', другие 'повторяются', а третьи — ведут себя совершенно непредсказуемо. Готовы стать экспертами в классификации чисел?" | Отвечают: "Да, это важно для экзамена". Настраиваются на деловой лад, открывают тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично. Запишем тему урока: 'Рациональные и иррациональные числа'. Начнем с того, что нам уже хорошо знакомо."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить структуру числовых множеств (N, Z, Q) и способы представления рациональных чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вспомните, какие числа мы называем рациональными? Посмотрите на карточку №1 на ваших партах. Там изображена схема 'Матрешка'. Давайте заполним её. Что находится в самом центре? Какие числа мы используем для счета?" | Работают со схемой на карточках. Отвечают: "Натуральные числа (N)". Записывают примеры: 1, 2, 3... |
3 мин | "Верно. Если мы добавим к натуральным числам противоположные им и ноль, какое множество получится? А если мы представим число в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное? Это и есть рациональные числа (Q). Запишите на доске примеры рациональных чисел." | Отвечают: "Целые числа (Z), затем Рациональные (Q)". Один ученик у доски пишет: 5; -2; 0,5; 1/3; -4/7. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби m/n, где m ∈ Z, n ∈ N.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что почти любое число, которое мы встречали раньше, — рациональное. Но всегда ли деление m на n дает нам привычную десятичную дробь? Давайте проверим."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка проблемы (5 мин)
Цель этапа: через практическое задание столкнуть учеников с понятием бесконечной периодической дроби.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Задание по рядам. Первый ряд, переведите в десятичную дробь 3/4. Второй ряд — 5/8. Третий ряд — 1/3. Работаем столбиком в тетрадях. Кто готов назвать результаты?" | Первый ряд: "0,75". Второй ряд: "0,625". Третий ряд в замешательстве: "Деление не заканчивается, получается 0,333..." |
2 мин | "Почему у третьего ряда не получилось закончить деление? Что происходит с остатками? Мы столкнулись с новым видом дробей. Как вы думаете, число 1/3 — рациональное? Ведь оно записано как m/n. Значит, рациональные числа могут быть не только конечными дробями?" | Ученики замечают, что остаток 1 повторяется. Формулируют проблему: "Рациональное число 1/3 превращается в бесконечную дробь, где цифра 3 повторяется". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, рациональное число — это либо конечная десятичная дробь, либо бесконечная периодическая. А существуют ли числа, которые вообще нельзя представить как m/n?"
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие иррационального числа и научить различать виды дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте вспомним геометрию. Квадрат с площадью S = 2. Чему равна его сторона? Правильно, √2. Попробуйте найти такое рациональное число, квадрат которого равен 2. 1,4? 1,41? 1,42? Ученые древности доказали, что √2 нельзя представить в виде m/n. Это число бесконечное, но у него нет периода. Оно 'иррациональное' — то есть 'неразумное' с точки зрения древних." | Записывают в тетрадь: √2 ≈ 1,4142135... Делают вывод: это бесконечная непериодическая дробь. |
4 мин | "Применим приём 'Диаграмма Венна'. Нарисуем два круга. В левом — рациональные числа (Q). Что мы туда запишем? В правом — иррациональные (I). Какие числа туда попадут? Подсказка: это корни, которые не извлекаются нацело, и число π." | Рисуют диаграмму. В Q пишут: 0,5; 2/3; -4; 0,(6). В I пишут: √2; √3; √5; π; 0,1010010001... |
4 мин | "Как же нам на ОГЭ понять, где находится √7 на числовой прямой? Мы не можем вычислить его точно. Но мы можем 'зажать' его между двумя целыми числами. Между какими квадратами стоит 7? Между 4 и 9. Значит, √7 стоит между √4 и √9, то есть между 2 и 3." | Слушают объяснение, фиксируют алгоритм оценки корня в тетрадях. |
Запись в тетрадях
- Бесконечная десятичная периодическая дробь — рациональное число.
- Бесконечная десятичная НЕпериодическая дробь — иррациональное число.
- Иррациональные числа: √2, √3, √5, π, 0,121221222...
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь мы знаем врага в лицо. Иррациональные числа — это хаос без повторений. Давайте потренируемся их находить в заданиях экзаменационного типа."
Этап 5. Первичное закрепление. ОГЭ-тренинг (7 мин)
Цель этапа: отработка навыков классификации чисел на прототипах задания №7 ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Приём 'Толстые и тонкие вопросы'. Я показываю число, а вы быстро отвечаете: рациональное оно или нет, и ПОЧЕМУ. Число √16? Число √10? Число 0,121212...? Число 3,14? Внимание, 3,14 — это рациональное число, это лишь приближение π!" | Отвечают фронтально. √16 = 4 (рац.); √10 (иррац., т.к. 10 не квадрат); 0,(12) (рац., есть период); 3,14 (рац., конечная дробь). |
3 мин | "Решим задачу из ОГЭ: 'Между какими числами заключено число √27? Варианты: 1) 2 и 3; 2) 5 и 6; 3) 26 и 28; 4) 9 и 10'. Объясните свой выбор." | Один ученик у доски: "25 < 27 < 36, значит √25 < √27 < √36. Ответ: между 5 и 6. Вариант 2". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь. Главное — не путать иррациональное число с его десятичным приближением."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальная диагностика уровня усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Раздаю мини-тест на 3 задания. 1. Выберите иррациональное число из списка. 2. Представьте 2/9 в виде периодической дроби. 3. Отметьте на числовом луче примерное положение √11. Время пошло!" | Выполняют работу самостоятельно на листочках. |
3 мин | "Меняемся листочками. На слайде — эталон ответов. Используем приём 'Две звезды и пожелание'. Отметьте два плюса в работе соседа и один совет, что нужно повторить." | Проводят взаимопроверку по эталону, пишут краткие комментарии. |
Эталон решения
1) √8 — иррациональное. 2) 2/9 = 0,222... = 0,(2). 3) √9 < √11 < √16, значит 3 < √11 < 4 (ближе к 3).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Поднимите руки, у кого нет ошибок? Отлично. У кого одна? Тоже хороший результат, мы только учимся."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Давайте вернемся к нашей цели. Мы научились отличать рациональные числа от иррациональных? Посмотрите на свои листы самооценки и поставьте галочки в колонках 'Понял' или 'Нужна практика'." | Заполняют листы самооценки, анализируют свои затруднения. |
3 мин | "Запишем домашнее задание. Оно дифференцированное. Обратите внимание на творческое задание — оно поможет вам запомнить число π до 10 знака." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 3 задания самостоятельной работы, приведена аргументация выбора иррационального числа.
- «4» — верно выполнены 2 задания, допущена одна вычислительная ошибка в делении столбиком или неточность в оценке корня.
- «3» — верно выполнено 1 задание (например, только классификация), есть понимание разницы между Q и I, но навыки вычислений слабые.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое число проще встретить в жизни: рациональное или иррациональное? | Осознание распространенности чисел и их прикладного значения. |
В чем главное отличие периодической дроби от иррационального числа? | Проверка усвоения ключевого признака классификации. |
Какое задание из ОГЭ теперь кажется вам самым простым? | Снижение экзаменационного стресса и фиксация успеха. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы навели порядок в мире чисел. Помните, что иррациональность — это не ошибка, а бесконечная красота математики, которую нельзя загнать в рамки простой дроби. На следующем уроке мы научимся сравнивать эти числа и выполнять с ними действия. Вы сегодня отлично поработали, и я уверен, что баллы за задания 6 и 7 уже у вас в кармане. До свидания!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 285, 287 (а, б) | Перевод обыкновенных дробей в десятичные, классификация чисел. |
Средний (повышающий) | Задачник: № 3.15, 3.18 | Оценка значения выражений с корнями, расположение на прямой. |
Продвинутый (дополнительный) | Творческое задание | Найти и выписать 3 интересных факта о числе π или выучить мнемоническое правило для его запоминания. |
Контрольный вопрос: "Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числом? Приведите пример."
