Рациональная дробь. Допустимые значения переменных
Цели и задачи
- Цель (SMART): К концу урока учащиеся смогут безошибочно определять рациональные выражения среди предложенных, находить область допустимых значений (ОДЗ) переменной для рациональных дробей и применять эти навыки при решении заданий формата ОГЭ №9 и №12.
- Образовательная задача: ввести понятие рациональной дроби, научить находить значения переменных, при которых выражение не имеет смысла.
- Развивающая задача: развивать навыки логического анализа и критического мышления через выявление математических ограничений.
- Воспитательная задача: снижать уровень экзаменационной тревожности через отработку алгоритмов самопроверки, формировать установку на точность и внимательность.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к учению и готовности к саморазвитию.
- Развитие умения управлять своими эмоциями в ситуациях подготовки к государственной итоговой аттестации (ОГЭ).
- Осознание важности математической грамотности для решения реальных жизненных и профессиональных задач.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: владение основами самоконтроля и самооценки, умение планировать пути достижения целей.
- Коммуникативные: умение работать в паре, эффективно сотрудничать и приходить к общему решению.
Предметные
- Знать определение рациональной дроби и целого выражения.
- Уметь находить значения переменной, при которых рациональная дробь имеет смысл (ОДЗ).
- Владеть навыком вычисления значений рационального выражения при заданных значениях переменных.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между целью учебной деятельности и её мотивом — подготовкой к ОГЭ).
- Нравственно-этическая ориентация (оценка усваиваемого содержания).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что ещё неизвестно.
- Контроль в форме сличения способа действия и его результата с заданным эталоном.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
- Построение логической цепи рассуждений.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Управление поведением партнёра — контроль, коррекция, оценка его действий.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить мультимедийную презентацию с примерами заданий №9 и №12 из открытого банка ФИПИ.
- Распечатать карточки для работы в парах (15 экземпляров — по одной на парту).
- Распечатать «Билеты на выход» (Exit Tickets) для этапа рефлексии по количеству учеников.
- Проверить работоспособность интерактивной доски и проектора.
- Подготовить на доске таблицу «Знаю — Хочу узнать — Узнал» (KWL).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать позитивный настрой, актуализировать значимость темы для ОГЭ и жизни.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем новую большую тему, которая является фундаментом для многих задач экзамена. Посмотрите на слайд. Перед вами формула из физики для расчёта общего сопротивления при параллельном соединении: 1/R = 1/R1 + 1/R2. Что произойдёт, если одно из сопротивлений станет равным нулю? Правильно, математика нам этого не позволит. В ОГЭ ошибки, связанные с делением на ноль, ежегодно лишают баллов тысячи выпускников. Сегодня мы научимся видеть эти ловушки заранее». | Слушают учителя, смотрят на слайд с физической формулой. Отвечают: «На ноль делить нельзя! Произойдёт короткое замыкание или формула потеряет смысл». Фиксируют в тетрадях дату и тему урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили главное правило арифметики. Сегодня мы перенесём его в мир алгебры и узнаем, как ведут себя дроби, в которых есть буквы».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (5 мин)
Цель этапа: повторить понятия целых выражений и деления на ноль, выявить границу незнания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «На доске выписаны выражения: 2x + 5; (a-b)/3; 8/(x-2); (x^2+1)/x. Какие из них мы уже умеем вычислять при любых значениях переменных? А в каких выражениях мы можем столкнуться с проблемой? Давайте попробуем вычислить значение последнего выражения при x = 0. Что вы получили?» Учитель использует приём «Толстые и тонкие вопросы». | Ученики анализируют список. Отвечают: «Первые два — целые выражения, их можно считать всегда». При попытке подставить x=0 в последнее выражение говорят: «Получается 1/0, это невозможно вычислить». Формулируют проблему: «Мы не знаем, как называются такие выражения и как правильно описывать значения переменных, которые подставлять нельзя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Верно. Вы столкнулись с ситуацией, когда выражение есть, а значения у него нет. Такие выражения называются рациональными дробями».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (5 мин)
Цель этапа: сформулировать цель урока и составить план действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Какова наша цель на сегодня? Чему нам нужно научиться, чтобы не потерять баллы на ОГЭ? Давайте составим план нашего исследования. Что нам нужно узнать сначала, а что потом?» Учитель фиксирует пункты плана на доске. | Формулируют цель: «Научиться находить значения переменных, при которых дробь имеет смысл». Составляют план: 1. Узнать определение рациональной дроби. 2. Понять, чем она отличается от целого выражения. 3. Вывести алгоритм нахождения допустимых значений переменной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отличный план. Приступаем к его реализации. Начнём с определений».
Этап 4. Реализация проекта (открытие нового знания) (12 мин)
Цель этапа: ввести понятие рациональной дроби и алгоритм нахождения ОДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Откройте учебники на странице 5. Прочитайте определение рациональной дроби. Используя приём "Инсерт", отметьте галочкой то, что вам уже известно, и плюсом — новое. Итак, рациональная дробь — это выражение вида A/B, где A и B — многочлены. Чем она отличается от целого выражения? Правильно, наличием переменной в знаменателе. Давайте запишем это в тетрадь». | Работают с текстом учебника. Отвечают: «В целых выражениях в знаменателе только числа, а в рациональных дробях — буквы (переменные)». Записывают определение и примеры в тетрадь. |
6 мин | «Теперь самое важное для ОГЭ. Дробь имеет смысл только тогда, когда её знаменатель не равен нулю. Рассмотрим пример: (5x + 10) / (x - 4). Чтобы найти допустимые значения, мы должны решить уравнение: знаменатель ≠ 0. То есть x - 4 ≠ 0, значит x ≠ 4. Как мы запишем ответ? Мы можем использовать слова "любое число, кроме 4" или числовой промежуток. Давайте вместе составим алгоритм нахождения ОДЗ». | Вместе с учителем формулируют алгоритм: 1. Выписать знаменатель. 2. Приравнять его к нулю. 3. Найти корни этого уравнения. 4. Исключить эти корни из области всех чисел. Записывают пример решения в тетрадь. |
Запись в тетрадях
- Рациональная дробь — дробь, числитель и знаменатель которой являются многочленами.
- Допустимые значения переменных — это значения, при которых знаменатель дроби не обращается в нуль.
- Пример: (x+3)/(x(x-5)). ОДЗ: x ≠ 0 и x ≠ 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Алгоритм у нас в руках. Теперь проверим его в деле».
Этап 5. Первичное закрепление (работа в парах) (7 мин)
Цель этапа: отработать навык нахождения ОДЗ в процессе коммуникации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Работаем в парах. У вас на столах карточки с заданием "Найди пару". В левой колонке — дроби, в правой — их допустимые значения. Но будьте осторожны: есть лишние варианты! Используйте приём "Подумай — обсуди в паре — поделись". У вас 4 минуты на выполнение и 3 минуты на проверку». Учитель обходит класс, консультируя пары. | Ученики обсуждают выражения в парах. Например: для дроби 7/(x^2 - 9) они должны решить уравнение x^2 - 9 = 0 и найти два исключаемых значения: 3 и -3. Записывают соответствия. После окончания времени одна пара зачитывает ответы, остальные проверяют по эталону на слайде. |
Эталон решения (для карточки)
1) 5/(x-8) → x ≠ 8; 2) x/(x^2+4) → x — любое число (т.к. x^2+4 всегда > 0); 3) 10/(x(x+1)) → x ≠ 0 и x ≠ -1.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство пар справились. Особое внимание обратите на случай x^2+4: знаменатель никогда не станет нулём, значит, дробь имеет смысл всегда».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения темы на базе заданий ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «А теперь — момент истины. Перед вами три задания из банка ОГЭ. Выполните их самостоятельно. Задание 1: При каких значениях x выражение (x-5)/(2x-10) не имеет смысла? Задание 2: Найдите ОДЗ выражения 1/(x^2-25). Задание 3 (повышенный уровень): Найдите значение выражения (a+b)/a при a=0,5, b=1,5». Учитель выводит эталон на экран через 5 минут. | Ученики самостоятельно решают задачи в тетрадях. Задание 1: 2x-10=0 => x=5. Задание 2: x^2-25≠0 => x≠5, x≠-5. Задание 3: (0,5+1,5)/0,5 = 2/0,5 = 4. После появления эталона проводят самопроверку, ставят себе плюс или минус рядом с каждым заданием. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Кто решил все три задачи верно? Поднимите руки. Отлично! Те, у кого были ошибки, не расстраивайтесь — теперь вы знаете, на что обратить внимание при подготовке».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги, оценить уровень достижения целей и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Наш урок подходит к концу. Давайте вернёмся к нашей таблице KWL. Что мы запишем в колонку "Узнал"? Заполните ваши "Билеты на выход" и сдайте мне. Домашнее задание дифференцировано, выберите свой уровень сложности. Обратите внимание на задание из раздела "Межпредметные связи" — оно поможет вам на уроках физики». Учитель диктует номера из учебника. | Заполняют последнюю колонку таблицы. В «Билетах на выход» пишут: 1. Что было самым сложным? 2. Какое правило я запомнил лучше всего? Записывают домашнее задание в дневники. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно определил все рациональные выражения в самостоятельной работе, безошибочно нашёл ОДЗ для всех типов знаменателей (линейных и квадратичных).
- «4» — допущена одна ошибка в вычислениях при нахождении корней знаменателя или не полностью указана ОДЗ (потерян один из двух корней).
- «3» — ученик понимает принцип «знаменатель не равен нулю», но допускает грубые ошибки в решении уравнений или путает целые и рациональные выражения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
В каких случаях рациональная дробь превращается в «опасную зону»? | Проверка усвоения ключевого понятия о равенстве знаменателя нулю. |
Какое задание из формата ОГЭ сегодня показалось самым простым? | Снижение уровня тревожности и фиксация успеха. |
Где в реальной жизни (или других предметах) мы можем встретить рациональные выражения? | Осознание межпредметных связей и практической значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня вы сделали важный шаг в подготовке к экзамену. Мы научились видеть ограничения там, где другие их не замечают. Помните: в математике, как и в жизни, важно знать свои границы и правила, по которым работает система. На следующем уроке мы научимся сокращать эти дроби, делая сложные выражения простыми. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 5, 8, 12 (учебник) | Нахождение ОДЗ простых рациональных дробей. |
Средний (повышающий) | № 15, 18 + задание на карточке | Задания с квадратичным знаменателем и модулем. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача из ОГЭ №12 (формулы) | Выразить переменную из физической формулы и найти её ОДЗ. |
Контрольный вопрос: может ли область допустимых значений рациональной дроби состоять из всех действительных чисел? Приведите пример.
