Урок повторения. Квадратные уравнения: от основ до ОГЭ
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о способах решения квадратных уравнений и отработать навыки их применения при решении типовых заданий ОГЭ.
- Образовательные: повторить алгоритмы решения полных и неполных квадратных уравнений, применение формул дискриминанта и теоремы Виета.
- Развивающие: развивать умение выбирать наиболее рациональный способ решения уравнения, навыки самоконтроля и коррекции ошибок.
- Воспитательные: формировать уверенность в своих силах при подготовке к государственной итоговой аттестации, культуру математической записи.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие логического мышления и критичности восприятия информации.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение.
- Регулятивные: умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения, координировать свои действия с партнером при работе в парах.
Предметные
- Владение методами решения квадратных уравнений (через дискриминант, теорему Виета, разложение на множители).
- Умение решать неполные квадратные уравнения различных видов.
- Применение навыков решения уравнений к задачам из открытого банка ФИПИ (ОГЭ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Нравственно-этическая ориентация в рамках подготовки к экзаменам.
- Формирование учебной мотивации.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
- Рефлексия способов и условий действия.
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
- Владение монологической и диалогической формами речи.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать рабочие листы с заданиями формата ОГЭ (задания №9 и №20) по количеству учеников.
- Подготовить презентацию с визуализацией алгоритмов и «ловушек» в квадратных уравнениях.
- Подготовить карточки для приёма «Светофор» (красный, желтый, зеленый) для каждого ученика.
- Выписать на доске ключевые формулы: дискриминант, корни, теорема Виета.
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочую атмосферу, актуализировать значимость темы для успешной сдачи ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня на уроке мы не просто повторяем алгебру, мы занимаемся инвестициями в ваше будущее — в баллы ОГЭ. Квадратные уравнения — это фундамент. Они встречаются в задании №9, в задачах на движение №21, в графиках №22 и даже в геометрии. Сегодня наша задача — отточить навыки до автоматизма, чтобы на экзамене вы не тратили время на раздумья над формулами. Проверьте, у всех ли на столах есть рабочие листы, справочные материалы и хорошее настроение?» | Приветствуют учителя, проверяют готовность рабочих мест, настраиваются на работу. Записывают дату и тему урока в тетради. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы готовы к работе. Начнем с интеллектуальной разминки, чтобы "разбудить" наши знания о коэффициентах и дискриминанте».
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти основные понятия и формулы, необходимые для решения квадратных уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель проводит блиц-опрос с использованием приёма «Толстые и тонкие вопросы»: «Ребята, давайте вспомним теорию. Тонкие вопросы: 1. Как называется уравнение вида ax² + bx + c = 0? 2. Какое условие накладывается на коэффициент 'a'? 3. Сколько корней может иметь квадратное уравнение? Теперь толстые вопросы: 1. Почему при 'a=0' уравнение перестает быть квадратным? 2. Как зависит количество корней от знака дискриминанта? 3. В каких случаях удобнее использовать теорему Виета, а не дискриминант?» | Ученики отвечают на вопросы. Тонкие: «Квадратное уравнение», «a не равно 0», «0, 1 или 2 корня». Толстые: «Если a=0, то слагаемое с квадратом исчезает и уравнение становится линейным», «Если D > 0 — 2 корня, D = 0 — 1 корень, D < 0 — корней нет», «Теорему Виета удобно использовать, если уравнение приведенное (a=1) и коэффициенты целые». |
Эталон ответов
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
1. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
2. Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
3. Теорема Виета для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 \cdot x_2 = q$.
2. Корни: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
3. Теорема Виета для $x^2 + px + q = 0$: $x_1 + x_2 = -p$, $x_1 \cdot x_2 = q$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теорию вспомнили отлично. Теперь перейдем к практике и классификации уравнений, чтобы видеть кратчайший путь к ответу».
Этап 3. Систематизация и закрепление методов решения (10 мин)
Цель этапа: отработать выбор рационального метода решения для различных типов уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает задание на классификацию (приём «Кластер»): «На доске вы видите 4 уравнения: 1) 2x² - 8 = 0; 2) x² + 5x = 0; 3) x² - 6x + 8 = 0; 4) 3x² + 2x - 5 = 0. Распределите их по типам и предложите самый быстрый способ решения для каждого». | Ученики выходят к доске и распределяют: 1) Неполное (b=0) — перенос и извлечение корня. 2) Неполное (c=0) — вынесение x за скобки. 3) Приведенное — теорема Виета. 4) Полное неприведенное — дискриминант. |
5 мин | «Давайте решим уравнение №3 устно по Виету, а №4 письменно через дискриминант. Кто готов прокомментировать решение №4 у доски? Помните про оформление: коэффициенты выписываем отдельно, чтобы не ошибиться в знаках». | Один ученик решает у доски, остальные в тетрадях. Уравнение №3: корни 2 и 4 (в сумме 6, произведение 8). Уравнение №4: a=3, b=2, c=-5. D = 4 - 4*3*(-5) = 4 + 60 = 64. x1 = (-2+8)/6 = 1, x2 = (-2-8)/6 = -10/6 = -5/3. |
Эталон решения уравнения 3x² + 2x - 5 = 0
$a=3, b=2, c=-5$
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $1; -1\frac{2}{3}$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$
$x_1 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$
Ответ: $1; -1\frac{2}{3}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили все основные приёмы. Но на ОГЭ часто встречаются ловушки. Давайте сделаем небольшую паузу и перейдем к решению экзаменационных задач».
Этап 4. Физкультминутка (2 мин)
Цель этапа: снять физическое и эмоциональное напряжение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Встаньте, пожалуйста. Мы проведем математическую зарядку. Я называю утверждение. Если оно верное — вы поднимаете руки вверх и потягиваетесь. Если ложное — делаете наклон вперед, касаясь руками пола. 1. В уравнении x²-5x+6=0 коэффициент c равен 6. (Верно) 2. Дискриминант уравнения x²+x+1=0 положителен. (Ложно) 3. Уравнение x²=9 имеет только один корень. (Ложно) 4. Квадратное уравнение всегда имеет корни. (Ложно)» | Выполняют упражнения в соответствии с истинностью утверждений. Улыбаются, расслабляют мышцы шеи и спины. |
Этап 5. Практикум: решение заданий формата ОГЭ (10 мин)
Цель этапа: отработать специфические задачи ОГЭ, включая выбор меньшего/большего корня в ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
10 мин | Учитель раздает рабочие листы. «Ребята, посмотрите на задание №9 из ваших листов. Типичная формулировка: "Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней". Решаем уравнение: x² - 9x + 18 = 0. Работаем в парах. Один находит корни по Виету, другой через дискриминант. Сравните результаты и выберите, что пойдет в бланк ответов». | Работают в парах. Находят корни: x1 = 3, x2 = 6. Обсуждают: в ответ нужно записать 3, так как просят меньший корень. Проверяют друг друга. |
Задание для самостоятельного разбора (с ответом)
Уравнение: $5x^2 + 9x + 4 = 0$. Найти больший корень.
Решение: $D = 81 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.
$x_1 = \frac{-9 + 1}{10} = -0.8$; $x_2 = \frac{-9 - 1}{10} = -1$.
Большее число: $-0.8$.
Ответ: $-0.8$.
Решение: $D = 81 - 4 \cdot 5 \cdot 4 = 81 - 80 = 1$.
$x_1 = \frac{-9 + 1}{10} = -0.8$; $x_2 = \frac{-9 - 1}{10} = -1$.
Большее число: $-0.8$.
Ответ: $-0.8$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самая частая ошибка в №9 — это не ошибка в счете, а невнимательное чтение вопроса (записать больший или меньший корень). Будьте бдительны!»
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | «Сейчас вы выполните мини-тест на 3 задания. На листах задания разного уровня сложности. Выбирайте те, в которых уверены. На выполнение — 6 минут. После этого я выведу ответы на экран для самопроверки». | Индивидуально решают задачи. Выбирают уровень сложности. Фиксируют ответы. |
2 мин | Учитель выводит ответы на слайд. «Возьмите зеленые ручки. Если ответ совпал — ставим плюс. Если нет — обводим в кружок и ищем ошибку. Поднимите зеленые карточки те, у кого все 3 задания верно». | Сверяют свои решения с эталоном. Анализируют ошибки. Сигнализируют учителю о результатах с помощью карточек «Светофор». |
Задания теста
- 1. Решите уравнение x² - 64 = 0. (Ответ: -8; 8)
- 2. Найдите сумму корней уравнения x² - 10x + 21 = 0. (Ответ: 10)
- 3. Решите уравнение 2x² - 5x + 2 = 0. (Ответ: 0.5; 2)
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вижу много зеленых карточек, это радует. Тем, у кого возникли трудности с неприведенными уравнениями, стоит еще раз повторить таблицу умножения и формулу дискриминанта».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, дать инструкции по домашнему заданию.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой метод решения квадратных уравнений кажется вам самым надежным и почему? | Осознание личных предпочтений и уровня владения алгоритмами. |
В чем заключалась ваша основная ошибка сегодня (если она была)? | Рефлексия ошибок для предотвращения их в будущем (самоанализ). |
Какое задание из ОГЭ по этой теме вызывает наибольший страх? | Выявление зон затруднения для планирования следующих уроков. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — выполнены верно все задания самостоятельной работы, нет ошибок в оформлении и вычислениях.
- «4» — допущена одна негрубая ошибка в вычислениях или не полностью выполнено задание №3.
- «3» — верно решены только неполные уравнения или одно полное уравнение с ошибкой в выборе корня для ответа.
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Мы убедились, что квадратные уравнения — это не страшно, если знать алгоритм и быть внимательным к деталям. Помните, что на ОГЭ нет мелочей: минус, потерянный при возведении в квадрат, может стоить балла. Но я уверен, что ваша системная подготовка принесет плоды. На следующем уроке мы разберем более сложные дробно-рациональные уравнения. Спасибо за работу!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | № 455, 458 (учебник Макарычев) | Решить 6 уравнений через дискриминант для закрепления навыка счета. |
Средний (повышающий) | РешуОГЭ: вариант №123456 (задания 9) | Решить 5 прототипов задания №9 из открытого банка ОГЭ. |
Продвинутый (дополнительный) | Карточка: уравнения с параметром | Найти значения 'k', при которых уравнение x² + kx + 9 = 0 имеет один корень. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если дискриминант равен 25, чему будет равен корень из него в формуле иксов?» (Ответ: 5).
