Тема урока: Квадратное уравнение. Решение уравнений, сводящихся к квадратным
Цели и задачи
- Цель: научиться распознавать уравнения, сводящиеся к квадратным (биквадратные и дробно-рациональные), и решать их методом введения новой переменной.
- Образовательная задача: сформировать алгоритм решения биквадратных уравнений и закрепить навыки решения квадратных уравнений через дискриминант и теорему Виета.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать структуру математического выражения, выделять общее и частное, переносить известные способы действия в новые условия.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков сотрудничества в парах и группах, формировать ответственное отношение к подготовке к ОГЭ через решение практико-ориентированных задач.
- Методическая задача: использовать ИКТ-инструменты для мгновенной обратной связи и визуализации процесса замены переменной.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в подготовке к экзаменам.
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Развитие критического мышления через анализ собственных ошибок при решении сложных уравнений.
Метапредметные
- Познавательные: умение выбирать наиболее эффективные способы решения уравнений в зависимости от их вида; владение навыками моделирования.
- Регулятивные: способность ставить цели, планировать шаги алгоритма решения и корректировать свои действия в соответствии с эталоном.
- Коммуникативные: умение аргументированно представлять свою точку зрения в дискуссии, работать в паре при проверке гипотез.
Предметные
- Знать определение биквадратного уравнения и суть метода введения новой переменной.
- Уметь сводить уравнения высших степеней к квадратным с помощью замены.
- Владеть алгоритмом решения дробно-рациональных уравнений, включая проверку области допустимых значений (ОДЗ).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование устойчивой мотивации к изучению нового материала через игровые элементы.
- Осознание важности темы для успешной сдачи ОГЭ.
Регулятивные УУД
- Самостоятельное формулирование цели урока после этапа затруднения.
- Оценка качества и уровня усвоения материала с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте задачи.
- Построение логической цепи рассуждений при переходе от переменной t обратно к x.
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников и продуктивное взаимодействие при решении проблемной задачи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки с заданиями на распознавание квадратных, биквадратных и дробно-рациональных уравнений — по одной на пару и несколько запасных экземпляров.
- Составить краткую памятку с алгоритмом: выбор замены, решение квадратного уравнения, отбор допустимых значений, обратная замена и проверка.
- Подготовить задания для групповой и самостоятельной работы с решениями для быстрой взаимопроверки.
- Проверить на доске или проекторе запись ключевого примера: x^4 - 13x^2 + 36 = 0 и этапы его решения.
- Подготовить листы самооценки с критериями: распознавание вида уравнения, корректность замены, решение полученного уравнения, обратная замена и учёт ограничений.
- Заранее распределить задания по уровням сложности и подготовить подсказки для учащихся, которым нужна дополнительная поддержка.
- Проверить готовность оборудования для демонстрации материалов и предусмотреть печатную замену на случай технических неполадок.
- Подготовить домашнее задание трёх уровней сложности и критерии его оценивания.
Алгоритм решения уравнений, сводящихся к квадратным
1. Определить повторяющееся выражение и выбрать замену переменной.
2. Получить квадратное уравнение относительно новой переменной.
3. Решить квадратное уравнение и отобрать допустимые значения новой переменной.
4. Выполнить обратную замену.
5. Найти все корни исходного уравнения и проверить ответ с учётом ограничений.
1. Определить повторяющееся выражение и выбрать замену переменной.
2. Получить квадратное уравнение относительно новой переменной.
3. Решить квадратное уравнение и отобрать допустимые значения новой переменной.
4. Выполнить обратную замену.
5. Найти все корни исходного уравнения и проверить ответ с учётом ограничений.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: вспомнить способы решения квадратных уравнений, выявить готовность класса к изучению нового материала и создать учебную мотивацию через проблемную ситуацию.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает устно решить два квадратных уравнения: $x^2-5x+6=0$ и $x^2-4=0$. Просит назвать использованный способ решения и кратко напомнить алгоритм. | Решают уравнения, называют корни и объясняют, когда удобно использовать теорему Виета, а когда — дискриминант. |
2 мин | Предлагает сравнить уравнения $x^2-5x+6=0$ и $x^4-5x^2+6=0$. Спрашивает, что в них общего и чем они различаются. | Замечают повторяющуюся структуру: во втором уравнении выражение $x^2$ играет роль новой переменной. Формулируют затруднение: известный алгоритм нельзя применить напрямую. |
1 мин | Подводит к теме урока и формулирует учебную задачу: научиться распознавать уравнения, сводящиеся к квадратным, и решать их с помощью замены переменной. | Записывают тему и формулируют ожидаемый результат: выполнить замену, решить квадратное уравнение и вернуться к исходной переменной. |
Переход к следующему этапу: мы вспомнили алгоритм решения квадратного уравнения и обнаружили уравнение, похожее на него по структуре. Теперь выясним, как с помощью новой переменной свести такое уравнение к знакомому виду.
Этап 2. Выявление затруднения и постановка учебной задачи (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при решении уравнения четвёртой степени и совместно сформулировать учебную задачу — найти способ свести его к квадратному.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает решить уравнение $x^4-13x^2+36=0$. Просит определить его вид, назвать затруднение и найти сходство с уже знакомыми квадратными уравнениями. | Рассматривают структуру уравнения, замечают повторяющееся выражение $x^2$ и объясняют, что обычный алгоритм решения квадратного уравнения напрямую применить нельзя. |
2 мин | Подводит к вопросу: «Как обозначить повторяющееся выражение новой переменной, чтобы получить знакомое уравнение?» Просит сформулировать цель урока и фиксирует её на доске. | Предлагают заменить $x^2$ новой переменной, формулируют цель: научиться сводить уравнения такого вида к квадратным и находить все исходные корни. |
Запись в тетрадях
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Тема: Решение уравнений, сводящихся к квадратным.
Учебная задача: научиться выделять повторяющееся выражение, вводить новую переменную и выполнять обратную замену.
Пример для исследования: $x^4-13x^2+36=0$.
Учебная задача: научиться выделять повторяющееся выражение, вводить новую переменную и выполнять обратную замену.
Пример для исследования: $x^4-13x^2+36=0$.
Переход к следующему этапу: мы обнаружили повторяющееся выражение $x^2$. Теперь проверим, как замена $t=x^2$ превращает исходное уравнение в квадратное, и составим общий алгоритм решения.
Этап 3. Открытие нового знания и построение алгоритма (10 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к самостоятельному открытию способа решения биквадратных уравнений и зафиксировать алгоритм метода введения новой переменной.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
4 мин | Предлагает в парах исследовать уравнение x^4 - 13x^2 + 36 = 0. Просит определить, какое выражение повторяется, и заменить его новой переменной. | Выделяют x^2 и предлагают замену t = x^2. Получают уравнение t^2 - 13t + 36 = 0. |
3 мин | Организует обсуждение решения нового уравнения и обращает внимание на условие t ≥ 0, поскольку t = x^2. | Решают квадратное уравнение: t1 = 4, t2 = 9. Объясняют, что оба значения подходят. |
3 мин | Совместно с классом формулирует полный алгоритм: замена, решение квадратного уравнения, отбор допустимых значений, обратная замена, запись ответа и проверка. | Записывают алгоритм в тетрадь и выполняют обратную замену: x^2 = 4 и x^2 = 9, откуда x = ±2 и x = ±3. |
Алгоритм решения биквадратного уравнения
1. Выполнить замену t = x^2, поэтому t ≥ 0.
2. Получить квадратное уравнение относительно t.
3. Решить его и оставить только неотрицательные значения t.
4. Выполнить обратную замену x^2 = t.
5. Записать все корни и проверить ответ.
Пример: x^4 - 13x^2 + 36 = 0. При t = x^2 получаем t^2 - 13t + 36 = 0, откуда t = 4 или t = 9. Тогда x = ±2 или x = ±3. Ответ: -3; -2; 2; 3.
2. Получить квадратное уравнение относительно t.
3. Решить его и оставить только неотрицательные значения t.
4. Выполнить обратную замену x^2 = t.
5. Записать все корни и проверить ответ.
Пример: x^4 - 13x^2 + 36 = 0. При t = x^2 получаем t^2 - 13t + 36 = 0, откуда t = 4 или t = 9. Тогда x = ±2 или x = ±3. Ответ: -3; -2; 2; 3.
Завершение этапа: учитель просит учащихся сформулировать, почему при обратной замене нельзя ограничиваться только положительным корнем. Класс делает вывод: из равенства x^2 = t при t > 0 следуют два корня, x = ±√t.
Этап 4. Физкультминутка и математическая разминка (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, переключить внимание и быстро закрепить умение распознавать линейные, квадратные и биквадратные уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает игру «Сигнал вида уравнения». Если уравнение линейное, ученики поднимают одну руку; если квадратное — кладут руки на пояс; если биквадратное — хлопают один раз. Последовательно показывает уравнения: 1) 2x + 3 = 0; 2) x^2 - 4 = 0; 3) x^4 - 5x^2 + 4 = 0; 4) 5x = 10; 5) x^2 + x + 1 = 0. После каждого примера кратко просит объяснить выбор. | Определяют вид каждого уравнения и подают соответствующий сигнал: линейное — 1 и 4, квадратное — 2 и 5, биквадратное — 3. Объясняют, по какой степени переменной и структуре выражения распознали вид уравнения. В конце формулируют вывод: внешняя форма уравнения помогает выбрать способ решения. |
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения уравнений, сводящихся к квадратным, научиться объяснять последовательность действий и своевременно выявлять типичные ошибки.
Время | Действия учителя | Действия учеников |
|---|---|---|
1 мин | Объединяет учащихся в пары и предлагает распределить роли: решающий и проверяющий. Напоминает алгоритм: определить вид уравнения, выбрать замену, решить квадратное уравнение, выполнить обратную замену и проверить ограничения. | Распределяют роли и проговаривают порядок действий. |
4 мин | Предлагает решить два задания: $x^4-5x^2+4=0$ и $(x^2-3)^2-5(x^2-3)+6=0$. Просит проверяющего задавать вопросы по каждому шагу, не подсказывая готовый ответ. | В парах решают уравнения. В первом вводят замену $t=x^2$, во втором — $t=x^2-3$, затем выполняют обратную замену. |
2 мин | Организует взаимопроверку по краткому эталону и просит отметить место возможной ошибки: замена, решение квадратного уравнения, обратная замена или проверка. | Сверяют решения, объясняют расхождения и исправляют ошибки. Одна-две пары кратко представляют ход решения классу. |
Завершение этапа: учитель подчёркивает, что одна и та же схема работает для разных выражений, если правильно выделить повторяющуюся часть. Класс формулирует вывод: после обратной замены необходимо учитывать все ограничения и проверять найденные корни.
Этап 6. Самостоятельная работа и взаимопроверка (8 мин)
Цель этапа: проверить умение самостоятельно распознавать уравнения, сводящиеся к квадратным, выбирать замену переменной и выполнять обратную замену.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Раздаёт индивидуальные карточки двух уровней. Объясняет: в каждом задании нужно указать замену, решить полученное квадратное уравнение и выполнить обратную замену. Напоминает о проверке допустимых значений в дробно-рациональном уравнении. | Получают карточки и выбирают уровень по своей готовности. Записывают план решения. |
5 мин | Предлагает задания: 1) x^4 - 5x^2 + 4 = 0; 2) (x^2 - 3)^2 - 5(x^2 - 3) + 6 = 0; 3) (x^2 - 4)/(x - 2) = 0. Для тех, кто испытывает затруднения, показывает опорную схему: замена — квадратное уравнение — обратная замена — проверка. | Самостоятельно решают задания. В первом и втором уравнениях вводят подходящую замену, в третьем учитывают ОДЗ и проверяют найденные корни. |
2 мин | Организует взаимопроверку по эталону на доске. Просит отметить, на каком шаге возникла ошибка: выбор замены, решение квадратного уравнения, обратная замена или ОДЗ. | Обмениваются работами, сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки и формулируют, что нужно повторить. |
Завершение этапа: учитель собирает карточки или фиксирует результаты взаимопроверки. Кратко разбирает типичные ошибки: потеря корней при обратной замене, выбор недопустимого значения и отсутствие проверки ОДЗ.
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (4 мин)
Цель этапа: проверить осознанность освоения алгоритма решения уравнений, сводящихся к квадратным, выявить затруднения и определить следующий шаг в обучении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Предлагает заполнить мини-лист рефлексии: 1) Какую замену переменной я сегодня научился выбирать? 2) Какой шаг алгоритма выполняю уверенно? 3) На каком шаге нужна дополнительная тренировка? | Индивидуально отвечают на вопросы и отмечают один из вариантов: «могу объяснить», «могу решить с опорой», «нужно повторить». |
1 мин | Просит оценить готовность по трём критериям: распознаю вид уравнения, решаю квадратное уравнение после замены, выполняю обратную замену с учётом ограничений. | Показывают карточку или ставят отметку напротив каждого критерия, формулируют одно затруднение. |
1 мин | Подводит итог: «Сегодня мы научились превращать уравнение, сводящееся к квадратному, в знакомую задачу. Если есть затруднение, повторите алгоритм: замена — решение — обратная замена — проверка». Сообщает домашнее задание и критерии его выполнения. | Записывают домашнее задание, задают вопросы и формулируют личную цель для следующей работы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — Ученик верно определил замену, решил полученное квадратное уравнение и выполнил обратную замену без ошибок во всех предложенных задачах (включая тест).
- "4" — Верно выполнен алгоритм решения биквадратного уравнения, но допущена одна вычислительная ошибка или забыт один из корней при извлечении квадрата.
- "3" — Ученик понимает принцип замены переменной, верно составил квадратное уравнение, но не смог довести решение до конца или допустил ошибки в нахождении дискриминанта.
Рефлексия (для учителя)
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме решения биквадратного уравнения самый опасный? | Выявление понимания необходимости проверки условия t >= 0. |
Где в реальной жизни нам может встретиться четвертая степень? | Оценка осознания межпредметных связей (геометрия, физика). |
Оцени свою работу сегодня по шкале от 1 до 10. Почему именно столько? | Развитие навыка самоанализа и честной самооценки. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами совершили важное открытие: даже самое сложное уравнение можно 'укротить', если найти к нему правильный ключ — замену переменной. Этот метод пригодится вам не только в 9 классе на ОГЭ, но и в старшей школе при изучении тригонометрии и логарифмов. Вы работали как настоящая команда исследователей. Помните: математика — это не про заучивание, а про умение видеть структуру в хаосе. До встречи на следующем уроке, где мы будем решать задачи с параметрами!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 биквадратных уравнения с целыми корнями, используя алгоритм из тетради. | Закрепление механического навыка введения переменной и обратной замены. |
Средний (повышающий) | Решить 2 уравнения, где в качестве замены выступает целое выражение в скобках, например (x-2)^2. | Развитие навыка распознавания паттернов и работы со сложной заменой. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти и решить задачу из открытого банка ОГЭ (часть 2), где требуется решить уравнение методом замены. | Подготовка к высокобалльной части экзамена и работа с реальными КИМ. |
Контрольный вопрос: "Может ли биквадратное уравнение иметь ровно три корня? Обоснуйте свой ответ."
