Квадратичная функция, ее график и свойства
Цели и задачи
- Цель: Сформировать умение находить координаты вершины параболы и строить график квадратичной функции, систематизировав знания о базовых функциях для успешного решения заданий ОГЭ.
- Образовательная задача: изучить алгоритм нахождения вершины параболы $x_0 = -b/2a$, научиться определять направление ветвей и ось симметрии.
- Развивающая задача: развивать навыки математического моделирования и анализа графической информации с помощью ИКТ-инструментов.
- Воспитательная задача: способствовать развитию навыков командной работы и критического мышления при взаимопроверке.
- Методическая задача: подготовить учащихся к выполнению задания №11 ОГЭ (соответствие графиков и формул).
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Умение устанавливать причинно-следственные связи между коэффициентами функции и положением её графика.
- Навыки использования электронных образовательных ресурсов (GeoGebra/Desmos) для визуализации математических объектов.
- Способность организовывать учебное сотрудничество в парах и группах.
Предметные
- Знать определение квадратичной функции и свойства параболы.
- Уметь находить координаты вершины параболы и записывать уравнение её оси симметрии.
- Владеть навыками распознавания графиков функций $y = kx, y = kx + b, y = k/x, y = x^2, y = \sqrt{x}, y = |x|$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ответственного отношения к учению на основе мотивации к обучению и познанию.
- Развитие навыков самооценки на основе критерия успешности учебной деятельности.
Регулятивные УУД
- Умение самостоятельно планировать пути достижения целей.
- Осуществление самоконтроля и коррекции своих действий в соответствии с меняющейся ситуацией.
Познавательные УУД
- Создание и преобразование моделей и схем для решения задач.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (существенных и несущественных).
Коммуникативные УУД
- Умение аргументировать свою точку зрения при работе в паре.
- Адекватное использование речевых средств для решения различных коммуникативных задач.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить интерактивную презентацию с динамическими моделями в GeoGebra.
- Распечатать карточки для игры «Математическое лото: Узнай функцию» (15 комплектов на парты).
- Распечатать рабочие листы с заданиями формата ОГЭ №11 (на каждого ученика).
- Проверить работу проектора и наличие интернет-соединения для демонстрации ЭОР.
- Подготовить шаблоны парабол из прозрачного пластика или плотной бумаги для этапа моделирования.
- Сформировать подборку заданий разного уровня сложности (базовый, повышенный).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологический настрой учащихся, создание ситуации интриги через визуальный образ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы продолжаем покорять вершины алгебры. Посмотрите на экран. Что объединяет струю фонтана, траекторию полета мяча в баскетболе и форму моста Золотые Ворота?" | Приветствуют учителя, смотрят на слайды с изображениями фонтанов, баскетболиста и моста. Отвечают: "У них похожая форма", "Это кривые линии", "Это параболы". |
2 мин | "Верно! Это парабола — график квадратичной функции. В 9 классе это одна из самых важных тем, которая встречается в ОГЭ минимум в двух задачах. Сегодня мы научимся не просто узнавать её, но и находить её 'сердце' — вершину, не строя бесконечные таблицы значений. Готовы стать исследователями?" | Настраиваются на работу, открывают тетради, записывают дату и тему урока: «Квадратичная функция и её график». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прежде чем строить новое, нужно проверить прочность фундамента. Вспомним те функции, которые мы уже знаем."
Этап 2. Актуализация знаний. Игра «Математическое лото» (7 мин)
Цель этапа: повторение графиков изученных функций и их аналитического вида через игровую форму.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "У вас на партах лежат конверты с игрой 'Математическое лото'. В паре вам нужно соотнести карточку с формулой функции и карточку с её графическим изображением. Среди них: прямая, гипербола, парабола $y=x^2$, ветвь параболы $y=\sqrt{x}$ и 'уголок' модуля." | Работают в парах, раскладывают карточки, обсуждают: "Так, $k/x$ — это гипербола, ищем две ветви", "А $y=kx+b$ — это прямая, не проходящая через начало координат". |
3 мин | Организует фронтальную проверку через интерактивную доску. "Поднимите руку, у кого функция $y=k/x$ совпала с графиком в 1 и 3 четвертях? Почему так произошло? А теперь посмотрите на график $y=x^2$. Как он изменится, если мы добавим к нему еще слагаемые $bx$ и $c$?" | Один ученик у доски соединяет линии, остальные проверяют себя. Отвечают на вопросы о коэффициентах. Высказывают предположения о трансформации графика $y=x^2$ в общую квадратичную форму. |
2 мин | "Посмотрите на доску: даны три формулы: 1) $y=2x^2$, 2) $y=-x^2+4$, 3) $y=x^2-6x+5$. Какая из них кажется вам самой сложной для построения по точкам? Почему?" | Анализируют формулы. Выбирают третью, так как там есть и $x^2$, и $x$, и свободное число. Отмечают, что непонятно, где будет центр графика. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Действительно, строить график $y=ax^2+bx+c$ 'вслепую' долго. Нам нужен четкий алгоритм и знание координат вершины."
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения вершины параболы и исследовать влияние коэффициентов с помощью метода моделирования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем мини-исследование в GeoGebra. На экране вы видите параболу $y=ax^2+bx+c$. Я буду менять ползунок коэффициента 'a'. Что происходит? А теперь ползунок 'c'? Заметьте, как перемещается вершина. Существует формула, позволяющая найти абсциссу вершины мгновенно: $x_0 = -b/(2a)$. Запишем её в рамку." | Наблюдают за изменениями графика на экране. Делают выводы: 'a' отвечает за направление ветвей и 'узкость', 'c' — за пересечение с осью Y. Записывают формулу $x_0 = -b/(2a)$ в тетрадь. |
3 мин | "А как найти ординату $y_0$? Если мы знаем 'икс', как найти 'игрек'? Правильно, подставить! Запишем алгоритм из 3 шагов: 1. Найти $x_0$. 2. Найти $y_0$, подставив $x_0$ в функцию. 3. Отметить точку $(x_0; y_0)$ и провести через неё ось симметрии $x = x_0$." | Записывают алгоритм. Один ученик проговаривает его вслух. В тетрадях появляется схема: Вершина $V(x_0; y_0)$. |
3 мин | "Применим это для нашей 'сложной' функции $y=x^2-6x+5$. Посчитаем вместе: $a=1, b=-6$. Чему равно $x_0$?" | Считают: $x_0 = -(-6)/(2*1) = 3$. Подставляют: $y_0 = 3^2 - 6*3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Фиксируют: вершина в точке $(3; -4)$. |
Запись в тетрадях
Квадратичная функция: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).
График — парабола.
1) Ветви: вверх ($a > 0$), вниз ($a < 0$).
2) Вершина: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3) Ось симметрии: прямая $x = x_0$.
График — парабола.
1) Ветви: вверх ($a > 0$), вниз ($a < 0$).
2) Вершина: $x_0 = -\frac{b}{2a}$, $y_0 = y(x_0)$.
3) Ось симметрии: прямая $x = x_0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь, когда у нас есть карта (алгоритм), мы можем уверенно двигаться по координатной плоскости."
Этап 4. Первичное закрепление и дифференцированная работа (10 мин)
Цель этапа: отработка навыка нахождения вершины на заданиях разного уровня сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "На доске три уровня заданий. Выберите тот, с которым справитесь. Зеленый (базовый): $y=x^2-4x+3$. Желтый (средний): $y=-2x^2+8x-5$. Красный (продвинутый): $y=\frac{1}{2}x^2+x-4.5$. Нужно найти вершину и определить направление ветвей." | Выбирают уровень сложности, решают в тетрадях. Более сильные ученики успевают решить два уровня. Консультируют друг друга шепотом. |
5 мин | "А теперь перейдем к формату ОГЭ. Перед вами рабочие листы с заданием №11. Даны 3 графика и 3 формулы. Используя наши знания об 'a' (ветви) и 'c' (пересечение с Y), установите соответствие. Внимание на экран — самопроверка по эталону." | Выполняют задание №11. Анализируют графики: "У графика А ветви вниз, значит $a < 0$, это подходит к формуле 2". Сверяют ответы с эталоном на слайде, ставят себе плюс или минус. |
Эталон решения (для желтого уровня)
$y = -2x^2 + 8x - 5$
$a = -2$ (ветви вниз)
$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
$y_0 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$
Вершина: $(2; 3)$.
$a = -2$ (ветви вниз)
$x_0 = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$
$y_0 = -2 \cdot 2^2 + 8 \cdot 2 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$
Вершина: $(2; 3)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с анализом. Но математика — это еще и искусство. Переходим к творчеству!"
Этап 5. Творческое задание «Парабола в дизайне» (10 мин)
Цель этапа: реализация межпредметных связей и метода моделирования через групповую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Разделимся на группы по 4 человека. Представьте, что вы — архитектурное бюро. Вам нужно спроектировать фасад здания или арку моста, используя графики функций. У вас есть шаблоны парабол $y=x^2$ и $y=0.5x^2$." | Формируют группы, получают листы А3, маркеры и шаблоны. |
6 мин | "Ваша задача: на координатной плоскости составить композицию из минимум 3 функций (например, парабола, прямая и модуль). Запишите формулы ваших линий. Помните о симметрии!" | Создают рисунок (например, лицо робота, мост или горы). Рассчитывают, куда нужно сдвинуть вершину параболы, чтобы 'глаза' или 'арки' оказались в нужных местах. Подписывают функции. |
2 мин | "Представьте свои работы. Какая группа использовала самое необычное сочетание функций?" | Вывешивают работы на доску. Кратко комментируют: "Мы использовали параболу для улыбки и два модуля для ушей". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что функции — это не просто сухие цифры, а инструмент созидания. Подведем итоги нашего урока."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Наш урок подходит к концу. Проведем рефлексию 'Три М'. Назовите два момента, которые у вас сегодня получились лучше всего, и один момент, который требует доработки. Также заполните 'Билет на выход': найдите вершину функции $y=x^2+2x-3$ и сдайте мне." | Формулируют свои успехи и трудности. Выполняют мини-задание на листочках («Билет на выход») и сдают учителю при выходе из класса. |
2 мин | Озвучивает домашнее задание, поясняя уровни. "Спасибо за работу! Сегодня вы стали на шаг ближе к успешному ОГЭ." | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно найдены координаты вершин во всех предложенных заданиях (включая продвинутый уровень), задание №11 ОГЭ выполнено без ошибок, активно работал в группе.
- «4» — Верно найдены координаты вершин базового и среднего уровней, в задании №11 допущена 1 ошибка, принимал участие в творческом задании.
- «3» — Верно выполнен только базовый уровень нахождения вершины, есть затруднения в использовании формулы $x_0$, задание №11 выполнено частично верно.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая часть формулы $y = ax^2 + bx + c$ больше всего влияет на 'поведение' параболы? | Проверка понимания значимости коэффициентов (аналитическое мышление). |
В какой момент решения задания №11 ОГЭ вы почувствовали себя уверенно? | Выявление психологического комфорта и осознание опорных знаний. |
Что было труднее: считать координаты или соотносить их с картинкой? | Диагностика доминирующего типа восприятия (дискретный или визуальный). |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы с вами проделали большой путь: от простых прямых и гипербол до исследования 'характера' параболы. Мы увидели, что вершина — это ключ к пониманию всей функции. Если вы сегодня научились её находить, значит, задание №11 на экзамене вам больше не страшно. На следующем уроке мы научимся строить параболу целиком, находя точки пересечения с осями. Не забудьте, что алгебра — это язык, на котором говорит природа, от брошенного камня до орбиты планеты. До встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: №121, №123 (а, б) | Найти координаты вершин парабол и направление ветвей. |
Средний (повышающий) | ОГЭ-тренажер: задание №11 (5 вариантов) | Установить соответствие между графиками и коэффициентами. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательская задача | При каких значениях 'k' вершина параболы $y=x^2-kx+1$ лежит на оси OX? |
Контрольный вопрос: "Как быстро определить, пересекает ли парабола ось Y в положительной или отрицательной области, глядя только на формулу?"