Функции. Свойства функции
Цели и задачи
- Цель: научиться определять основные свойства функции (область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства и монотонности) по графику и аналитическому выражению в объеме, необходимом для успешного выполнения заданий ОГЭ.
- Образовательная задача: систематизировать знания об определении функции и её базовых характеристиках, отработать алгоритм чтения графиков.
- Развивающая задача: развивать навыки логического мышления, анализа визуальной информации и самоконтроля при выполнении тестовых заданий.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к подготовке к итоговой аттестации и уверенность в своих силах через дифференцированный подход.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания значимости математики.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
- Навыки адаптации к стрессовым ситуациям (подготовка к ОГЭ).
Метапредметные
- Умение самостоятельно определять цели обучения и планировать пути их достижения.
- Способность классифицировать объекты, устанавливать аналогии и причинно-следственные связи.
- Владение навыками смыслового чтения графической информации (перевод с графического языка на аналитический).
Предметные
- Знать определения функции, области определения и области значений.
- Уметь находить нули функции и промежутки знакопостоянства.
- Уметь определять промежутки возрастания и убывания функции по графику.
- Владеть навыками решения задач формата ОГЭ (задание 11).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к изучению темы через осознание её практической значимости для экзамена.
- Развитие адекватной самооценки на основе критериев успешности.
Регулятивные УУД
- Умение соотносить свои действия с планируемыми результатами.
- Осуществление контроля своей деятельности в процессе достижения результата (самопроверка по эталону).
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в графических моделях.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Умение организовывать учебное сотрудничество с учителем и сверстниками.
- Аргументация своего мнения при обсуждении свойств функции.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки для актуализации знаний (входной контроль) — 25 шт.
- Подготовить интерактивную презентацию с графиками функций (линейная, квадратичная, обратная пропорциональность).
- Создать в онлайн-сервисе (например, LearningApps или Quizizz) мини-тест на определение свойств функции.
- Распечатать дифференцированные карточки для самостоятельной работы (3 уровня сложности).
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учеников на продуктивную работу, связать тему с предстоящим экзаменом ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая пронизывает весь курс математики и занимает важное место в экзаменационных листах ОГЭ. Это функции и их свойства. Как вы думаете, почему в КИМах так много заданий на графики?" | Приветствуют учителя, настраиваются на работу. Отвечают: "Потому что графики наглядны", "Они показывают процессы в динамике", "Это задание №11 и №22". |
2 мин | "Верно. Умение 'читать' график — это навык, который пригодится вам не только на экзамене, но и в анализе любых данных в будущем. Сегодня наша задача — превратиться в исследователей и научиться извлекать из 'картинки' максимум информации. Начнем с проверки нашего 'багажа'." | Слушают учителя, осознают значимость темы. Готовят рабочие места. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Прежде чем строить новое, нужно убедиться, что фундамент крепок. Проверим, насколько хорошо вы помните основные понятия."
Этап 2. Актуализация знаний. Входной контроль (7 мин)
Цель этапа: проверить знание базовых определений (D(f), E(f), нули функции) с помощью раздаточного материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "У вас на столах лежат карточки №1. В них 4 коротких задания: определить область определения функции по формуле, найти нули функции в уме и соотнести график с областью значений. У вас ровно 5 минут. Приступайте." | Индивидуально работают с карточками, записывают ответы. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран — там выведен эталон ответов. Проведите самопроверку по принципу 'плюс-минус'. Поднимите руки те, у кого нет ни одной ошибки." | Сверяют свои ответы с экраном, фиксируют ошибки, поднимают руки. |
Пример заданий карточки №1
- 1. Найдите область определения функции y = 5 / (x - 4).
- 2. Найдите нули функции y = 2x + 10.
- 3. По графику (изображена парабола ветвями вверх, вершина в (0, -3)) определите E(f).
- 4. Верно ли, что область определения — это значения, которые принимает переменная y?
Карточка | Задания | Ответы для самопроверки |
|---|---|---|
Карточка 1. Базовый уровень | 1. Найдите область определения функции y = 3/(x + 2). 2. Найдите нули функции y = 4x − 12. 3. По графику параболы с вершиной в точке (0; −2), ветви которой направлены вверх, определите область значений. 4. Укажите промежутки, на которых функция положительна, если её график расположен выше оси Ox при x > 1. | 1. x ≠ −2. 2. x = 3. 3. E(f) = [−2; +∞). 4. x > 1. |
Карточка 2. Средний уровень | 1. Найдите область определения функции y = √(5 − x). 2. Определите нули функции y = x² − 9. 3. По графику функции укажите промежутки возрастания и убывания, если вершина параболы находится в точке (2; −4), а ветви направлены вверх. 4. Укажите промежутки знакопостоянства функции y = −2x + 6. | 1. x ≤ 5. 2. x = −3 и x = 3. 3. Убывает на (−∞; 2), возрастает на (2; +∞). 4. y > 0 при x < 3; y < 0 при x > 3. |
Карточка 3. Повышенный уровень | 1. Для функции y = (x − 1)² − 4 найдите нули, область значений и промежутки убывания и возрастания. 2. Для функции y = 6/x укажите область определения и область значений. 3. Объясните, почему точка x = 2 является границей промежутков монотонности функции y = −(x − 2)² + 5. | 1. Нули: x = −1 и x = 3; E(f) = [−4; +∞); убывает на (−∞; 1), возрастает на (1; +∞). 2. D(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); E(f) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞). 3. При x = 2 функция достигает максимума, поэтому слева возрастает, а справа убывает. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Эталон решения
1. \( x
eq 4 \) или \( D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \); 2. \( x = -5 \); 3. \( E(f) = [-3; +\infty) \); 4. Нет (это значения x).
eq 4 \) или \( D(f) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty) \); 2. \( x = -5 \); 3. \( E(f) = [-3; +\infty) \); 4. Нет (это значения x).
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вижу, что с базой мы справились. Но свойства функции — это не только точки, это целые интервалы поведения. Переходим к исследованию."
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (8 мин)
Цель этапа: ввести понятия промежутков знакопостоянства и монотонности через проблемный диалог и использование ИКТ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Посмотрите на интерактивную доску. Перед вами график функции, описывающей изменение температуры за сутки. Как математически описать периоды, когда было выше нуля? А периоды, когда становилось холоднее?" Учитель использует инструмент 'маркер' для выделения частей графика. | Отвечают: "Выше нуля — это когда график над осью X", "Холоднее — это когда линия идет вниз". Пытаются сформулировать определения. |
5 мин | "Давайте введем строгие термины. Промежутки знакопостоянства — это значения x, при которых y > 0 или y < 0. А промежутки монотонности — это где функция возрастает или убывает. Важный вопрос: в каких единицах мы записываем ответ — в 'иксах' или 'игреках'?" | Обсуждают в парах (Think-Pair-Share). Делают вывод: "Все свойства-интервалы мы считываем по оси OX, кроме области значений". |
Запись в тетрадях
- Нули функции: y = 0.
- y > 0 (выше оси Ox), y < 0 (ниже оси Ox).
- Функция возрастает: x↑ => y↑ (график 'идет в горку').
- Функция убывает: x↑ => y↓ (график 'идет под горку').
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть полный набор инструментов для анализа. Проверим их в действии на практике."
Этап 4. Первичное закрепление и практика (10 мин)
Цель этапа: отработать умение определять свойства функции на различных графиках, включая задания типа ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Работаем с интерактивным тренажером на экране. Я вызываю одного ученика к доске, он выделяет нужный промежуток, остальные проверяют в тетрадях. Задание: найти промежутки убывания для функции y = -x² + 4x." | Ученик у доски анализирует график, остальные записывают решение. Обсуждают, включается ли точка вершины в промежуток. |
5 мин | "Теперь выполним задание в формате ОГЭ №11. На слайде три графика и три набора свойств (например, 'функция возрастает на всей области определения', 'функция имеет нуль в точке x=2'). Соотнесите их." | Работают самостоятельно, затем сверяют ответы с соседом. Один ученик объясняет логику выбора. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справляетесь с общими задачами. Пришло время проверить свои силы индивидуально на разных уровнях сложности."
Этап 5. Дифференцированная самостоятельная работа (10 мин)
Цель этапа: закрепить материал, предоставив ученикам выбор уровня сложности заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | "Раздаю карточки трех цветов. Зеленая — базовый уровень (чтение простых графиков), Желтая — средний (графики с 'выколотыми' точками), Красная — повышенный (аналитическое нахождение свойств без графика). Выберите свой уровень. У вас 8 минут." | Выбирают карточку, выполняют задания. Ученики, выбравшие красный уровень, могут консультироваться с учителем шепотом. |
2 мин | "Положите ручки. На обратной стороне карточек есть QR-коды (или просто ответы под скретч-слоем). Проверьте себя и поставьте себе предварительную оценку по критериям на доске." | Проверяют работы, проводят самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, над чем еще стоит поработать дома. Подведем итоги нашего исследования."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учениками результатов своей деятельности, постановка задач на самоподготовку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте воспользуемся приемом 'Светофор'. Поднимите зеленую карточку, если вы чувствуете, что свойства функций теперь для вас — открытая книга. Желтую — если есть сомнения в промежутках монотонности. Красную — если тема осталась туманной. Также ответьте на вопросы в таблице рефлексии." | Поднимают карточки, заполняют краткую анкету рефлексии в тетрадях. |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно также дифференцировано. Обратите внимание на задание №22 из сборников ОГЭ — это ваш 'билет' на высокую оценку в будущем." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — работа выполнена полностью без ошибок, верно определены все 5 свойств функции на сложном графике.
- "4" — допущены 1-2 неточности в определении промежутков (например, неверно включены/исключены граничные точки) или не полностью выполнено задание повышенного уровня.
- "3" — верно определены только базовые свойства (D(f), E(f), нули), допущены ошибки в определении монотонности.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство функции оказалось самым трудным для поиска на графике? | Выявление типичных затруднений (обычно это промежутки знакопостоянства). |
В чем разница между поиском нулей функции и области определения? | Проверка осознанности различий между аргументом и значением функции. |
Насколько уверенно я чувствую себя при решении задания №11 ОГЭ? | Субъективная оценка готовности к экзаменационному формату. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы проделали большую работу. Мы не просто смотрели на графики, мы научились видеть за ними математическую логику. Помните, что функция — это язык, на котором говорит природа и техника. Если вы освоите этот язык сейчас, то на ОГЭ графики станут вашими лучшими союзниками, а не врагами. На следующем уроке мы перейдем к более сложным случаям — кусочно-заданным функциям. Спасибо за урок!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на чтение графиков: определить область определения, нули и промежутки возрастания для линейной и квадратичной функций. | Закрепление базового алгоритма чтения графиков. |
Средний (повышающий) | Построить график функции y = 6/x и описать все изученные сегодня свойства аналитически и графически. | Отработка связи между формулой, графиком и свойствами. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти в открытом банке заданий ОГЭ задачу №22 (построение графика с модулем) и попробовать описать его свойства. | Подготовка к части с развернутым ответом, развитие навыков работы с модулем. |
Контрольный вопрос: Чем отличается область определения функции от области её значений при взгляде на график?
