Функции. Способы задания функции
Цели и задачи
- Цель: сформировать представление о функции как о математической модели зависимости, изучить различные способы задания функций и научиться переходить от одного способа к другому.
- Образовательные: актуализировать понятия «функция», «аргумент», «область определения» и «область значений»; рассмотреть аналитический, табличный, графический и словесный способы задания функции.
- Развивающие: развивать навыки анализа графиков и таблиц, умение устанавливать причинно-следственные связи; формировать элементы функциональной грамотности через решение задач с реальным контекстом.
- Воспитательные: воспитывать ответственное отношение к учебному труду, развивать навыки самоконтроля и подготовки к ОГЭ через решение типовых заданий.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (профильное обучение).
- Умение ясно и точно излагать свои мысли в устной и письменной речи.
- Развитие логического мышления и критичности восприятия информации.
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки функции, работать с информацией, представленной в разных формах (текст, график, таблица).
- Регулятивные: умение самостоятельно ставить цели, планировать пути их достижения, осуществлять самоконтроль в процессе решения задач.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения, работать в парах, слушать партнёра.
Предметные
- Знать определение функции, аргумента, зависимой переменной, области определения и области значений.
- Уметь находить значения функции по заданному значению аргумента и наоборот при различных способах задания.
- Уметь строить и читать графики функций, описывать словами зависимости величин.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование: понимание связи между математическими функциями и реальными процессами в физике, экономике и биологии.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
Познавательные УУД
- Синтез — составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов (построение графика по точкам).
Коммуникативные УУД
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для актуализации знаний (индивидуальные задания на нахождение области определения).
- Распечатать раздаточный материал для работы в парах «Найди соответствие» (график — формула — таблица).
- Подготовить презентацию с примерами зависимостей из физики и биологии.
- Начертить на доске заготовку системы координат для графического способа.
- Подготовить сборники ОГЭ или распечатки заданий №11 (графики функций).
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать условия для возникновения внутренней потребности включения в учебную деятельность.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята! Рад вас видеть. Сегодня мы начинаем изучение одной из самых важных тем школьного курса алгебры, которая пронизывает не только математику, но и физику, химию, биологию и даже экономику. Проверьте, всё ли у вас готово: учебник, тетрадь, линейка и карандаш». | Приветствуют учителя, проверяют наличие необходимых принадлежностей, настраиваются на работу. |
2 мин | «Знаете ли вы, что само слово "функция" происходит от латинского functio — исполнение, совершение? В математике функция — это закон. Как вы думаете, почему в задачах ОГЭ графики функций выделены в отдельный блок? Потому что это универсальный язык описания мира. Сегодня мы научимся на нем говорить». | Слушают учителя, осознают значимость темы для предстоящих экзаменов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы начинаем с того, что уже знаем, но посмотрим на это под новым углом. Открываем тетради, записываем дату и тему урока: "Функции. Способы задания функции"».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить базовые понятия (функция, аргумент, область определения), необходимые для открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Давайте вспомним определение. Что мы называем функцией? Кто может сформулировать своими словами?» Учитель корректирует ответы: «Верно, это зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y. Как мы называем x? А y?» | Отвечают: «Функция — это когда одному числу соответствует другое». Уточняют: «x — независимая переменная или аргумент, y — зависимая переменная или значение функции». |
2 мин | «На доске записаны выражения: 1) y = 5x + 2; 2) y = 1/x; 3) y = √x. Назовите область определения для каждой функции. Есть ли значения x, которые мы не можем подставить?» | Анализируют выражения. Отвечают: «В первом — любое число. Во втором — x не равен 0, так как на ноль делить нельзя. В третьем — x должен быть неотрицательным». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Отлично, фундамент заложен. Но как мы можем представить эту зависимость, кроме формулы? Давайте разбираться».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: рассмотреть различные способы задания функции, выявить их преимущества и недостатки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Первый способ нам хорошо знаком — аналитический (с помощью формулы). Например, путь при равномерном движении: S = v * t. Запишите в тетрадь: 1. Аналитический способ. Плюс: точность. Минус: не всегда наглядно». Учитель предлагает задачу: «Функция задана формулой y = x² - 4x. Найдите значение y при x = 5». | Записывают определение способа. Решают в тетрадях: y(5) = 5² - 4*5 = 25 - 20 = 5. Делают вывод о точности вычислений. |
4 мин | «Второй способ — табличный. Он часто используется в физике при записи результатов эксперимента. Запишите: 2. Табличный способ. Плюс: наглядность для конкретных значений. Минус: мы не знаем, что происходит между точками». Учитель рисует таблицу на 3 значения и просит заполнить для функции y = 2x + 1. | Записывают название способа. Чертят таблицу, вычисляют значения (например, для x = -1, 0, 1) и заполняют её. |
4 мин | «Третий способ — графический. Это самый любимый способ инженеров и врачей (вспомните кардиограмму). Запишите: 3. Графический способ. Плюс: визуализация хода процесса. Минус: низкая точность». Учитель выводит на экран график параболы и просит по графику найти значения функции. | Записывают название способа. Работают с изображением на экране, определяют координаты точек по осям. |
Запись в тетрадях
- Способы задания функции:
- 1. Аналитический (формула) — y = f(x).
- 2. Табличный (пары значений x и y).
- 3. Графический (множество точек на координатной плоскости).
- 4. Словесный (описание правила словами).
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одну и ту же функцию можно представить по-разному. Теперь давайте научимся переходить от одного способа к другому, как это требуется в заданиях ОГЭ».
Этап 4. Первичное закрепление и межпредметные связи (8 мин)
Цель этапа: применить полученные знания в знакомой и измененной ситуации, показать связь математики с физикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте решим задачу из физики. Скорость тела задана формулой v(t) = 10 + 2t. Задайте эту функцию таблицей для первых пяти секунд движения. О чем говорит число 10? А число 2?» | Работают в тетрадях. Составляют таблицу для t = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Отвечают: «10 — это начальная скорость, 2 — ускорение». |
4 мин | «А теперь задание "на засыпку". Словесный способ: "Каждому натуральному числу x поставлен в соответствие его остаток от деления на 2". Задайте эту функцию формулой или таблицей. Является ли это функцией?» | Обсуждают в парах. Приходят к выводу: «Да, это функция. Значения y могут быть только 0 или 1. Если x четное, y=0, если нечетное, y=1». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, функции окружают нас повсюду. Теперь проверим, как вы справитесь самостоятельно».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала, коррекция ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздает карточки с заданием в формате ОГЭ (аналог задания №11): «Даны три графика и три формулы. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которыми они заданы. Обоснуйте свой выбор для одного из графиков». | Индивидуально выполняют задание на карточках. Сопоставляют вид графика (линейная функция, парабола, гипербола) с видом уравнения. |
3 мин | Учитель выводит правильные ответы на экран. «Проверьте себя. Если у вас всё верно — поставьте "+", если есть ошибка — обведите её и исправьте. Кто может объяснить, почему гипербола не может пересекать оси координат?» | Сверяют свои ответы с эталоном. Один ученик объясняет: «Потому что в формуле x в знаменателе, а на ноль делить нельзя, значит, график не касается оси Y». |
Эталон решения
Для функции $y = \frac{k}{x}$: если $k > 0$, ветви в I и III четвертях. Для функции $y = ax^2 + bx + c$: если $a < 0$, ветви направлены вниз. Для функции $y = kx + b$: $b$ — точка пересечения с осью $OY$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство справилось успешно. Те, у кого возникли трудности, обратите внимание на типы формул — это ключ к успеху на экзамене».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, оценить уровень достижения целей, дать инструкции по выполнению ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Использует прием «Светофор»: «Поднимите зеленую карточку, если вам всё понятно и вы сможете объяснить тему другу; желтую — если всё понятно, но есть сомнения; красную — если тема осталась трудной». Задает вопросы из таблицы рефлексии. | Оценивают свою работу с помощью карточек. Отвечают на вопросы учителя, формулируют главные выводы урока. |
3 мин | «Записываем домашнее задание. Оно будет дифференцированным. Обратите внимание на творческое задание — оно поможет вам увидеть математику в жизни». Разъясняет пункты задания. | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — Верно выполнены все задания самостоятельной работы, приведено логичное обоснование соответствия графиков и формул, нет ошибок в вычислениях.
- «4» — Допущена 1 негрубая ошибка в вычислениях или при обосновании выбора графика, при этом соответствие установлено верно.
- «3» — Ученик верно сопоставил только 2 из 3 графиков, испытывает затруднения в нахождении области определения функции.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой из способов задания функции показался вам самым удобным и почему? | Выявление субъективных предпочтений и уровня понимания наглядности способов. |
С какими трудностями вы столкнулись при чтении графика? | Определение зон затруднения для планирования следующего урока. |
Где в реальной жизни вы встречали табличный способ задания зависимости? | Проверка сформированности межпредметных связей и функциональной грамотности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы сделали важный шаг в изучении функций. Мы поняли, что функция — это не просто значки в тетради, а способ описания изменений вокруг нас. На следующем уроке мы перейдем к более детальному изучению свойств функций, которые помогут нам строить сложные графики. Помните: математика — это язык, на котором написана книга природы. Спасибо за работу, урок окончен!»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 задачи на нахождение значений функции по формуле и 2 задачи на чтение графика (определение координат точек). | Закрепление алгоритма вычислений и навыка работы с графической информацией. |
Средний (повышающий) | Составить таблицу значений и построить график функции вида y = |x| или кусочно-заданной функции (из 2-х линейных частей). | Развитие навыка построения графиков более сложных функций, подготовка к части 2 ОГЭ. |
Продвинутый (дополнительный) | Найти в учебнике физики или географии пример зависимости, представленной графиком или таблицей, и попробовать задать её формулой (приблизительно). | Формирование исследовательской компетенции и межпредметных связей. |
Контрольные вопросы: 1. Может ли одному значению аргумента соответствовать два значения функции? 2. Как по формуле определить, что графиком является прямая? 3. В чем главное преимущество аналитического способа перед графическим?
