Действия над действительными числами: системный подход
Цели и задачи
- Цель: систематизировать знания о множестве действительных чисел и отработать навыки выполнения арифметических действий с иррациональными выражениями в формате заданий ОГЭ.
- Образовательная задача: повторить классификацию чисел, свойства корней и степеней, научиться сравнивать иррациональные числа.
- Развивающая задача: развивать навыки смыслового чтения при анализе условий задач и умение находить рациональные способы вычислений.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений как фактору успеха на государственном экзамене.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории на основе понимания роли математики в ОГЭ.
- Критичность мышления, умение распознавать логические ошибки в вычислениях.
- Способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать объекты, устанавливать аналогии между действиями с рациональными и иррациональными числами.
- Регулятивные: владение навыками самоконтроля и коррекции в процессе решения вычислительных задач.
- Коммуникативные: умение работать в паре, аргументировать свою точку зрения при обсуждении алгоритмов решения.
Предметные
- Знать определение действительного числа и структуру множества R.
- Уметь выполнять действия с корнями (вынесение множителя, внесение под знак корня, освобождение от иррациональности).
- Уметь сравнивать действительные числа, записанные в разной форме (обыкновенные дроби, десятичные дроби, корни).
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование мотивации к изучению алгебры через осознание практической значимости темы для успешной сдачи экзаменов.
- Развитие волевой саморегуляции при выполнении монотонных вычислений.
Регулятивные УУД
- Планирование последовательности действий при упрощении сложных выражений.
- Оценка правильности выполнения действия на уровне адекватной ретроспективной оценки.
Познавательные УУД
- Синтез как составление целого из частей (построение классификации чисел).
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с заданиями из открытого банка ОГЭ (ФИПИ) — №6 и №8.
- Распечатать карточки для парной работы «Найди ошибку» (15 экземпляров).
- Подготовить демонстрационную таблицу «Множества чисел: N, Z, Q, I, R».
- Проверить работу проектора и интерактивной доски.
- Распечатать листы самооценки для каждого ученика.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, обозначить значимость темы в контексте подготовки к ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы работаем с фундаментом всей алгебры — действительными числами. Знаете ли вы, что согласно статистике ФИПИ, около 15% выпускников теряют баллы в первой части ОГЭ именно из-за ошибок в вычислениях с корнями и дробями? Это обидные потери. Сегодня наша задача — превратить эти числа из ваших врагов в союзников. Мы не просто повторим правила, а проведем небольшое исследование, чтобы понять, как упростить себе жизнь на экзамене. Готовы?» | Проверяют наличие учебников и тетрадей. Слушают учителя, настраиваются на серьезную работу. Записывают дату и тему урока в тетрадь. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, цель ясна — минимизировать ошибки. Начнем с того, что вспомним, с какими объектами мы имеем дело».
Этап 2. Актуализация знаний. Приём «Диаграмма Венна» (7 мин)
Цель этапа: восстановить в памяти иерархию числовых множеств и их свойства.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «На доске вы видите круги, обозначающие множества чисел. Давайте вспомним их названия. Кто может сказать, какое множество является самым узким? А куда входят отрицательные числа? Я буду называть число, а вы должны определить его "прописку". Например: число -5. Куда мы его поселим? А число $\sqrt{2}$? А число $0, (3)$? Давайте заполним нашу диаграмму на доске и в тетрадях». Учитель рисует вложенные круги N, Z, Q, R. | Ученики по очереди называют множества: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные. Распределяют числа по множествам. Рисуют схему в тетрадях. |
3 мин | «А теперь вспомним основные свойства. Если я умножу два иррациональных числа, всегда ли получится иррациональное число? Приведите пример-контрпример. Например, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$. Что получится? Является ли результат рациональным?» | Рассуждают: «Нет, не всегда. $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4$. 4 — это рациональное число». Делают вывод о том, что действия над иррациональными числами могут приводить к рациональным результатам. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
Схема вложенности: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Определение: действительные числа — это объединение рациональных и иррациональных чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили теорию. Теперь перейдем к практике, которая часто вызывает затруднения на ОГЭ».
Этап 3. Постановка проблемы и открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: выявить затруднение при сравнении чисел разного вида и найти алгоритм решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Посмотрите на задание на доске (Тип 6 ОГЭ): Сравните числа $3\sqrt{7}$ и $8$. Как это сделать быстро и без калькулятора? Ведь на экзамене калькуляторов нет. Какие есть идеи? Можно ли сравнить их напрямую? Предложите способ, который позволит нам привести их к "единому знаменателю", если можно так выразиться». | Ученики предлагают варианты: «Приблизительно вычислить корень», «Возвести в квадрат». Обсуждают, что возведение в квадрат — самый надежный способ. |
6 мин | «Отлично, возведение в квадрат. Давайте проверим. $(3\sqrt{7})^2 = 9 \cdot 7 = 63$. А $8^2 = 64$. Какой вывод? Теперь давайте усложним задачу. В парах обсудите алгоритм сравнения для чисел: $2\sqrt{10}$, $6$ и $\sqrt{38}$. Запишите их в порядке возрастания. Используйте приём "Думай — обсуждай в паре — делись"». | Работают в парах. Возводят числа в квадрат: 40, 36, 38. Ранжируют их: 6, $\sqrt{38}$, $2\sqrt{10}$. Представитель одной пары объясняет решение у доски. |
Эталон решения
Чтобы сравнить числа вида $a\sqrt{b}$ и $c$, нужно: 1) Внести множитель под знак корня: $\sqrt{a^2 b}$ или возвести оба числа в квадрат. 2) Сравнить полученные подкоренные выражения или квадраты чисел.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы сами вывели универсальный алгоритм. Он спасет вас в заданиях на координатную прямую и выбор верного утверждения».
Этап 4. Первичное закрепление. Парная работа «Найди ошибку» (8 мин)
Цель этапа: отработать внимательность и знание свойств действий над числами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
8 мин | «Сейчас я раздам вам карточки. На них приведены решения четырех задач из ОГЭ, но в каждом решении допущена ровно одна типичная ошибка. Ваша задача в парах — найти эту ошибку, обвести её красной ручкой и записать рядом верное решение. Ошибки могут быть в знаках, в свойствах степеней или в извлечении корня. Время пошло — 5 минут на работу, 3 минуты на проверку». Учитель проходит по рядам, консультирует. | Ученики в парах анализируют записи. Находят ошибки типа $\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ или $(-3)^2 = -9$. Исправляют их, аргументируя друг другу правила. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Видеть чужие ошибки — это первый шаг к тому, чтобы не совершать свои. Какие правила чаще всего нарушались в карточках?»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: индивидуальная проверка усвоения материала в условиях, приближенных к экзамену.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | «Теперь — момент истины. Перед вами мини-тест из 5 заданий. 2 задания на вычисления (№6), 2 на свойства корней и степеней (№8) и 1 на сравнение. Работаем самостоятельно. Помните: на ОГЭ у вас не будет соседа, только ваши знания». Учитель выводит задания на экран. | Ученики решают задачи в тетрадях. Стараются выполнять вычисления рационально. |
3 мин | «Время вышло. Возьмите зеленые ручки. На экране — эталоны решений и ответы. Проверьте себя. Если всё верно — ставьте "5", если одна ошибка — "4". Если больше — подчеркните те места, где возникли трудности». | Проводят самопроверку по эталону. Фиксируют свои результаты в листах самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Поднимите руки, кто справился без ошибок? Отлично. Те, у кого есть ошибки — не расстраивайтесь, мы как раз для этого здесь».
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осознание учащимися своей учебной деятельности, самооценка результатов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте подведем итоги. В начале урока мы говорили, что числа могут быть врагами. Стали ли они чуть понятнее? Какой приём сегодня вам показался самым полезным? Заполните, пожалуйста, таблицу рефлексии в ваших листах». Учитель инициирует короткое обсуждение. | Заполняют листы самооценки. Высказываются: «Самым полезным было возведение в квадрат для сравнения», «Я понял, что путаю свойства сложения и умножения корней». |
3 мин | «Ваше домашнее задание дифференцированное. Обратите внимание на таблицу на доске. Выберите тот уровень, который вам сейчас по силам, но я рекомендую попробовать продвинутый тем, кто сегодня получил "5" за тест. Запишите номера в дневники». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 5 заданий самостоятельной работы, в тетради отсутствуют исправления, алгоритмы применены рационально.
- «4» — верно выполнены 4 задания, допущена одна вычислительная ошибка при верном ходе рассуждений.
- «3» — верно выполнены 3 задания, или допущены ошибки в применении свойств корней при верном сравнении чисел.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство корней я сегодня вспомнил и применил? | Осознание конкретных предметных знаний. |
В каком шаге алгоритма сравнения чисел я могу ошибиться? | Выявление зон риска и самоконтроль. |
Насколько уверенно я чувствую себя перед заданиями №6 и №8 ОГЭ? | Эмоциональная оценка готовности к экзамену. |
Завершающее слово учителя
«Ребята, сегодня мы проделали большую работу. Действительные числа — это не просто абстракция, это инструмент. Помните, что на ОГЭ важна не только скорость, но и дисциплина ума. Если вы сомневаетесь — проверьте себя возведением в квадрат или подстановкой. На следующем уроке мы перейдем к более сложным выражениям с переменными, где эти навыки нам очень пригодятся. Спасибо за работу, до встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 12.5, 12.10; ОГЭ №6 (10 примеров из РешуОГЭ) | Отработка стандартных навыков сложения и умножения иррациональных чисел. |
Средний (повышающий) | Учебник: № 12.25, 12.28; ОГЭ №8 (5 примеров со степенями) | Задания на комбинирование свойств корней и отрицательных степеней. |
Продвинутый (дополнительный) | Задача: Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ | Творческое задание на применение формул сокращенного умножения в иррациональных выражениях. |