Действительные числа
Цели и задачи
- Цель: Сформировать понятие о системе действительных чисел как объединении рациональных и иррациональных чисел, научить классифицировать числа и сравнивать их в формате заданий ОГЭ.
- Образовательные задачи: актуализировать знания о рациональных числах и квадратных корнях из курса 8 класса; дать определение иррационального и действительного числа; изучить иерархию числовых множеств.
- Развивающие задачи: развивать навыки логического мышления через классификацию объектов; формировать умение переводить информацию из одной формы в другую (схемы, таблицы).
- Воспитательные задачи: повысить учебную мотивацию через демонстрацию практической значимости темы для успешной сдачи ОГЭ; воспитывать культуру математической речи.
Планируемые результаты
Личностные
- Готовность к осознанному выбору дальнейшей образовательной траектории (подготовка к ОГЭ).
- Умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.
- Критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания.
Метапредметные
- Познавательные: умение классифицировать числа, строить логическую цепь рассуждений, работать с учебным текстом.
- Регулятивные: умение ставить учебную задачу на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою позицию при обсуждении классификации чисел в парах.
Предметные
- Знать определения рациональных, иррациональных и действительных чисел.
- Уметь распознавать виды чисел по их десятичной записи.
- Владеть навыками сравнения действительных чисел, в том числе содержащих знак корня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Формирование ценности саморазвития и самообразования.
- Развитие навыков сотрудничества со сверстниками.
Регулятивные УУД
- Проектирование маршрута преодоления затруднений в решении задач ОГЭ.
- Самооценка качества овладения новым материалом.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков (рациональность/иррациональность).
- Синтез — составление целого из частей (построение системы чисел R).
Коммуникативные УУД
- Умение слушать и вступать в диалог.
- Интеграция в группу сверстников и продуктивное взаимодействие.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с заданием №6 и №7 из открытого банка ОГЭ (по 1 шт. на парту).
- Подготовить презентацию со схемой «Иерархия числовых множеств».
- Проверить наличие в кабинете демонстрационной числовой прямой.
- Выписать на доске ключевые иррациональные константы: π ≈ 3,14; √2 ≈ 1,41; √3 ≈ 1,73.
- Подготовить учебники алгебры 9 класса (автор Ю.Н. Макарычев или А.Г. Мордкович).
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: психологически настроить учащихся на работу, создать интригу вокруг темы через исторический контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы приступаем к теме, которая является фундаментом всей математики. Знаете ли вы, что в Древней Греции за открытие чисел, о которых мы будем говорить сегодня, одного человека, по легенде, выбросили за борт корабля? Пифагорейцы считали, что мир гармоничен и всё можно выразить через целые числа и их отношения. Но однажды они столкнулись с диагональю квадрата со стороной 1... и их мир рухнул. Сегодня мы выясним, что это за "ужасные" числа и почему без них невозможен современный ОГЭ. Проверьте, готовы ли ваши учебники и тетради?» | Слушают учителя, настраиваются на работу. Проверяют наличие учебных принадлежностей. Выражают удивление историческим фактом, включаются в обсуждение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Итак, наш багаж знаний из 8 класса поможет нам не разделить участь древнего грека, а успешно освоить новые горизонты. Запишите тему урока: "Действительные числа".»
Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: повторить понятия натуральных, целых и рациональных чисел, свойства корней из 8 класса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | «Давайте вспомним структуру чисел, которую вы уже знаете. На доске записан ряд чисел: 5; -3; 0; 1/2; 0,333...; √4; √5. Используем приём "Think-Pair-Share". В течение 1 минуты подумайте сами, какие из этих чисел можно представить в виде дроби m/n, где m — целое, а n — натуральное. Затем обсудите с соседом. Начинаем!» | Индивидуально анализируют ряд чисел. Обсуждают в парах. Отвечают: «5 = 5/1, -3 = -3/1, 0 = 0/1, 1/2 уже дробь, 0,333... = 1/3, √4 = 2 = 2/1. Эти числа рациональные». Замечают, что √5 не поддается такому представлению. |
3 мин | «Верно. Вы вспомнили, что рациональные числа — это те, которые записываются в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. А что же делать с √5? Вспомните из 8 класса, как мы называли такие числа? Можем ли мы точно извлечь из него корень?» | Отвечают: «Это иррациональное число. Точно извлечь нельзя, получится бесконечная непериодическая дробь». Вспоминают алгоритм оценки корня: √4 < √5 < √9, значит 2 < √5 < 3. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
- Q — рациональные числа (m/n, бесконечные периодические дроби).
- I — иррациональные числа (бесконечные непериодические дроби, например: √2, √3, π).
- R = Q ∪ I — действительные числа.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что рациональные числа нам привычны, но мир чисел ими не ограничивается. Настало время объединить всё, что мы знаем, в единую систему.»
Этап 3. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: ввести понятие действительных чисел, построить иерархическую схему множеств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Откройте учебник на параграфе "Действительные числа". Прочитайте определение. Обратите внимание на приём "Инсерт": читая, ставьте на полях карандашом знаки: "+" — знал, "!" — новое, "?" — хочу спросить. Обратите внимание на связь с геометрией: каждой точке на числовой прямой соответствует ровно одно действительное число. Это и есть межпредметная связь с физикой и техникой — любые измерения (длина, масса, время) выражаются именно действительными числами.» | Работают с текстом учебника, делают пометки. Осознают, что любое измерение в реальности (например, диагональ экрана или число Пи в формуле длины окружности) требует выхода за пределы рациональных чисел. |
5 мин | «Давайте построим "Матрешку" числовых множеств. У вас на столах лежат заготовки Mind Map. В центре — самое маленькое множество, далее шире и шире. Какое множество будет самым внутренним? Правильно, натуральные числа (N). Что его окружает? Целые (Z). Затем рациональные (Q). И наконец, всё это вместе с иррациональными (I) образует множество действительных чисел (R). Заполните схему.» | Рисуют в тетрадях круги Эйлера или иерархическую схему: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Подписывают примеры чисел для каждого слоя: N (1, 2...), Z (-5, 0...), Q (0.5, 1/3...), R (√2, π). |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть полная картина числового мира. Но как это поможет нам на экзамене? Переходим к практике.»
Этап 4. Первичное закрепление и работа с ОГЭ (10 мин)
Цель этапа: отработать навыки сравнения и классификации чисел на типовых заданиях экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Посмотрите на карточки. Задание №7 ОГЭ: "Между какими целыми числами заключено число √27?". Как мы будем рассуждать? Вспоминаем программу 8 класса. Ищем ближайшие квадраты целых чисел. Кто готов прокомментировать у доски?» | Ученик у доски: «Ближайший квадрат меньше 27 — это 25 (√25 = 5). Ближайший квадрат больше 27 — это 36 (√36 = 6). Значит, 5 < √27 < 6. Ответ: между 5 и 6». Остальные записывают решение. |
5 мин | «Теперь задание на сравнение: что больше, 2√3 или 3,5? Здесь нам нужно либо возвести в квадрат, либо оценить корень. Давайте используем метод внесения под знак корня. 2√3 = √(4*3) = √12. А 3,5 = √12,25. Сравниваем подкоренные выражения.» | Сравнивают: 12 < 12,25, следовательно √12 < √12,25, значит 2√3 < 3,5. Делают вывод о важности точных преобразований. |
Эталон решения
Сравнение $2\sqrt{3}$ и $3,5$:
1) $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
2) $3,5 = \sqrt{3,5^2} = \sqrt{12,25}$
3) $\sqrt{12} < \sqrt{12,25} \Rightarrow 2\sqrt{3} < 3,5$.
1) $2\sqrt{3} = \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}$
2) $3,5 = \sqrt{3,5^2} = \sqrt{12,25}$
3) $\sqrt{12} < \sqrt{12,25} \Rightarrow 2\sqrt{3} < 3,5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Как видите, иррациональные числа — это не абстракция, а конкретные значения, которые мы можем сравнивать и располагать на прямой.»
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения темы в условиях, приближенных к экзаменационным.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Выполните мини-тест на листочках. 3 задания: 1) Выберите иррациональное число из списка (√16, √2, 0.25, 1/7). 2) Расположите в порядке возрастания: 4, √15, 3.8. 3) Верно ли утверждение, что любое целое число является действительным? Время пошло!» | Выполняют работу индивидуально. 1) √2. 2) √15 (≈3.87), значит: 3.8, √15, 4. 3) Да, верно. |
2 мин | «Посмотрите на слайд с ответами. Оцените себя: 3 правильных — "5", 2 — "4". Если возникли ошибки — подчеркните это место, это ваша зона роста перед ОГЭ.» | Сверяют ответы, ставят себе предварительную оценку, фиксируют ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Большинство справилось. Те, у кого возникли трудности с корнями — обязательно повторите таблицу квадратов, это ваш главный инструмент.»
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: подвести итоги урока, провести рефлексию деятельности и дать дифференцированное задание.
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое числовое множество является самым широким из изученных сегодня? | Проверка усвоения иерархии (множество R). |
В чем главное отличие рационального числа от иррационального в виде десятичной записи? | Осознание признака периодичности/непериодичности. |
Какое задание из карточки ОГЭ показалось самым простым, а какое — запутанным? | Субъективная оценка готовности к экзамену. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик безошибочно классифицирует числа, верно сравнивает значения с корнями, активно участвовал в построении Mind Map.
- «4» — допущена 1 ошибка в сравнении чисел или классификации, работа в тетради аккуратная.
- «3» — ученик понимает разницу между Q и I, но допускает ошибки в вычислениях или оценке корней.
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы с вами упорядочили свои знания о числах. Помните, что математика — это язык, на котором написана книга природы, и действительные числа — это алфавит этого языка. На следующем уроке мы научимся выполнять операции над ними более сложного уровня. Вы сегодня отлично поработали, особенно те, кто не побоялся выходить к доске и рассуждать вслух. До встречи!»
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Параграф 12, № 12.5, 12.8 | Классификация чисел и простейшее сравнение по учебнику. |
Средний (повышающий) | Сборник ОГЭ, вариант 1-5, задание №7 | Решение реальных экзаменационных задач на координатную прямую. |
Продвинутый (дополнительный) | Эссе «Число π — почему оно иррационально?» | Мини-исследование истории числа Пи и его роли в физике и геометрии. |
Контрольный вопрос: «Существует ли число, которое является одновременно рациональным и иррациональным? Подумайте над этим дома.»
