Числовые последовательности. Способы задания последовательностей
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут давать определение числовой последовательности, распознавать способы её задания (аналитический, рекуррентный, словесный) и вычислять члены последовательности по заданной формуле, что необходимо для успешного выполнения задания №14 ОГЭ.
- Образовательная задача: Познакомить с понятием n-го члена последовательности и индексацией, разобрать алгоритм нахождения любого члена последовательности.
- Развивающая задача: Развивать навыки анализа числовых рядов и поиска закономерностей, формировать логическое мышление через установление функциональных зависимостей.
- Воспитательная задача: Снизить уровень экзаменационной тревожности через демонстрацию алгоритмичности заданий ОГЭ и их практической применимости.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к осознанному выбору профиля дальнейшего образования.
- Развитие критичности мышления при анализе числовой информации.
- Повышение уверенности в своих силах при подготовке к государственной итоговой аттестации (ОГЭ).
Метапредметные
- Познавательные: умение выделять существенные признаки числовых последовательностей, преобразовывать информацию из одной формы в другую (текст в формулу).
- Регулятивные: умение планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей, осуществлять самоконтроль по эталону.
- Коммуникативные: умение аргументировать свою точку зрения при обсуждении закономерностей в парах.
Предметные
- Знать определение числовой последовательности, n-го члена, индекса.
- Уметь вычислять члены последовательности, заданной формулой n-го члена.
- Уметь находить члены последовательности при рекуррентном способе задания.
- Владеть навыком перевода словесного описания закономерности в математическую модель.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Смыслообразование (связь между изучением последовательностей и их применением в экономике, биологии и на экзамене).
- Нравственно-этическое оценивание усваиваемого содержания.
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно, и того, что еще неизвестно.
- Оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Анализ объектов с целью выделения признаков.
- Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от условий (выбор между перебором и формулой).
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнера — контроль, коррекция, оценка его действий.
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с визуальными рядами (числа Фибоначчи в природе, рост бактерий, банковские проценты).
- Распечатать рабочие листы с прототипами задания №14 ОГЭ (по 1 шт. на каждого ученика).
- Подготовить карточки для приема «Светофор» (красный, желтый, зеленый) для экспресс-диагностики понимания.
- Выписать на доске ключевые термины: «индекс», «n-й член», «рекуррентная формула».
- Обеспечить наличие калькуляторов (если это предусмотрено актуальными правилами ОГЭ в регионе) или черновиков для расчетов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить учащихся на работу, создать психологический комфорт и актуализировать значимость темы для ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых 'жизненных' тем алгебры. Посмотрите на слайд: рост вклада в банке, деление клеток, количество мест в рядах амфитеатра... Что объединяет эти процессы?" | Приветствуют учителя, смотрят на слайд, включаются в диалог. |
2 мин | "Во всех этих примерах мы имеем дело с порядком и закономерностью. В математике это называется числовыми последовательностями. Кстати, в КИМ ОГЭ это задание номер 14. Оно считается одним из самых доступных для получения балла, если знать 'правила игры'. Сегодня мы их изучим." | Слушают, фиксируют тему урока в тетрадях: «Числовые последовательности». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Итак, наша задача сегодня — понять, как устроены эти ряды чисел и как математики записывают правила их построения, чтобы не считать всё вручную."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить понятие функции и области определения, так как последовательность — это частный случай функции.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте вспомним: что такое функция? Мы привыкли к записи y = f(x). А что если мы договоримся, что вместо x мы можем подставлять только натуральные числа: 1, 2, 3...? Давайте попробуем для функции f(n) = 2n + 1 найти значения для n = 1, 2, 3." | Отвечают: «Функция — это зависимость одной переменной от другой». Вычисляют в тетрадях: f(1)=3, f(2)=5, f(3)=7. |
2 мин | "Получился ряд: 3, 5, 7... Можем ли мы предсказать следующее число? Какое оно будет? Почему?" | Отвечают: «9, потому что каждое число больше предыдущего на 2». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Верно. Вы только что сами построили последовательность. Значит, последовательность — это функция, заданная на множестве натуральных чисел."
Этап 3. Постановка проблемы (4 мин)
Цель этапа: создать ситуацию интеллектуального затруднения, мотивирующую к поиску формулы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Представьте ситуацию из ОГЭ: дана последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7... Вас просят найти число, которое стоит на 100-м месте. Как вы будете это делать?" | Предлагают варианты: «Прибавлять по 2 сто раз», «Попробовать составить формулу». |
2 мин | "Прибавлять сто раз — долго и велик риск ошибки. А если нужно найти миллионный член? Нам нужен универсальный способ записи правила. Как нам 'зашифровать' последовательность?" | Осознают недостаточность метода простого перебора, формулируют цель: «Узнать способы записи последовательностей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель нашего исследования сегодня — освоить 'язык' последовательностей: индексы и формулы."
Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: ввести понятия n-го члена, способов задания (аналитический и рекуррентный).
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "В математике члены последовательности обозначают буквами с индексами: \( a_1, a_2, a_3, ..., a_n \). Индекс — это порядковый номер. Запишите в тетрадь: \( a_n \) — n-й член последовательности. n — его номер (n ∈ N)." | Записывают обозначения в тетрадь. Обсуждают, что n не может быть дробным или отрицательным. |
4 мин | "Первый способ — аналитический (формула n-го члена). Например, \( a_n = n^2 \). Как найти пятый член? Просто подставим n=5. Давайте вычислим первые три члена для \( a_n = 3n - 1 \)." | Вычисляют: \( a_1 = 3(1)-1 = 2 \), \( a_2 = 5 \), \( a_3 = 8 \). Понимают, что формула позволяет найти любой член сразу. |
4 мин | "Второй способ — рекуррентный (от лат. recurro — возвращаться). Это когда следующий член выражается через предыдущий. Пример: \( a_1 = 5, a_{n+1} = a_n + 10 \). Как найти второй член? Нужно к первому прибавить 10. А как найти сотый?" | Вычисляют: \( a_2 = 15, a_3 = 25 \). Отвечают: «Чтобы найти сотый, нужно знать 99-й. Это минус этого способа». |
Запись в тетрадях
1. Последовательность — занумерованный ряд чисел.
2. Способы задания:
а) Аналитический: \( a_n = f(n) \) (пример: \( a_n = 2^n \))
б) Рекуррентный: \( a_{n+1} = f(a_n) \) (пример: \( a_{n+1} = a_n - 3 \))
в) Словесный: «Последовательность простых чисел».
2. Способы задания:
а) Аналитический: \( a_n = f(n) \) (пример: \( a_n = 2^n \))
б) Рекуррентный: \( a_{n+1} = f(a_n) \) (пример: \( a_{n+1} = a_n - 3 \))
в) Словесный: «Последовательность простых чисел».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы изучили теорию. Теперь перейдем к практике, которая ждет вас на экзамене."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать навык вычисления членов последовательности на типовых задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Работаем с рабочими листами. Задание 1: Последовательность задана формулой \( c_n = n^2 - 2n \). Найдите шестой член этой последовательности. Кто хочет пойти к доске?" | Один ученик у доски, остальные в тетрадях: \( c_6 = 6^2 - 2*6 = 36 - 12 = 24 \). Сверяют результаты. |
3 мин | "Задание 2 (рекуррентный способ): \( b_1 = -4, b_{n+1} = 1 / b_n \). Найдите \( b_3 \). Будьте внимательны с дробями!" | Самостоятельно вычисляют: \( b_2 = 1/(-4) = -0,25 \); \( b_3 = 1/(-0,25) = -4 \). Замечают, что последовательность зациклилась. |
Эталон решения
\( b_1 = -4 \)
\( b_2 = 1 / b_1 = 1 / (-4) = -0,25 \)
\( b_3 = 1 / b_2 = 1 / (-0,25) = -4 \)
Ответ: -4.
\( b_2 = 1 / b_1 = 1 / (-4) = -0,25 \)
\( b_3 = 1 / b_2 = 1 / (-0,25) = -4 \)
Ответ: -4.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Как видите, главное здесь — аккуратность в вычислениях и понимание того, какое число куда подставлять."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: проверить уровень усвоения материала и готовность к выполнению заданий формата ОГЭ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Сейчас небольшой мини-тест на 3 минуты. В нем три задания: найти член по формуле, найти номер члена и рекуррентный расчет. Работаем индивидуально." | Выполняют тест на карточках. Примеры заданий: 1) \( a_n = 5n+2, a_7=? \); 2) \( b_1=2, b_{n+1}=3b_n, b_3=? \). |
2 мин | "Посмотрите на экран. Там ответы и критерии. Оцените свою работу. Поднимите зеленые карточки те, у кого все верно." | Сверяют ответы, ставят себе баллы, сигнализируют о результате карточками. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Если у вас есть ошибки — не страшно, мы только начали. Главное — вы увидели, где именно возникло затруднение."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, провести качественную рефлексию и дать дифференцированное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте подведем итог. Примените прием 'Толстые и тонкие вопросы'. Я задаю тонкий: как обозначается номер члена последовательности? Кто задаст 'толстый' вопрос классу?" | Отвечают: «Буквой n». Ученик задает толстый вопрос: «В чем принципиальное различие между аналитическим и рекуррентным способами?» |
3 мин | "Запишите домашнее задание. Оно в трех вариантах сложности. И обратите внимание на задание из открытого банка ОГЭ — оно в обязательном блоке." | Записывают задание, задают уточняющие вопросы. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания теста и практической части, нет вычислительных ошибок, продемонстрировано понимание обоих способов задания.
- «4» — верно выполнены 2 задания из 3 в тесте, допущена одна негрубая вычислительная ошибка, но алгоритм подстановки понят верно.
- «3» — верно выполнено только 1 задание (обычно на аналитическую формулу), есть путаница в индексах или рекуррентном пересчете.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какая запись последовательности показалась вам проще: формулой или через предыдущий член? | Выявление субъективных предпочтений и когнитивных стилей учащихся. |
В каком месте вычислений вы почувствовали себя неуверенно? | Диагностика пробелов в базовых вычислительных навыках (дроби, степени). |
Насколько вы оцениваете свою готовность к 14-му заданию ОГЭ по 10-балльной шкале? | Формирование адекватной самооценки и мониторинг экзаменационной тревожности. |
Завершающее слово учителя
"Ребята, сегодня мы сделали первый шаг в изучении последовательностей. Вы увидели, что математика — это не хаос, а строгий порядок, который можно описать одной короткой формулой. На следующем уроке мы познакомимся с 'королевой' последовательностей — арифметической прогрессией. Если сегодня вы разобрались с индексами \( a_n \), то прогрессия не составит для вас труда. Спасибо за работу, до встречи!"
Домашнее задание
Уровень сложности | Задания | Описание |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Учебник: № 560, 562; Прототип ОГЭ №14 (карточка) | Отработка навыка вычисления по готовой формуле n-го члена. |
Средний (повышающий) | Учебник: № 565, 567 | Задачи на нахождение номера члена последовательности (решение уравнений). |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовательское задание: «Числа Фибоначчи» | Найти рекуррентную формулу чисел Фибоначчи и привести 2 примера их проявления в природе. |
Контрольный вопрос перед выходом: «Если \( a_n = 2n \), чему равен \( a_{10} \)?» (Ожидаемый ответ хором: «20!»)