Числовые неравенства
Цели и задачи
- Цель: К концу урока учащиеся смогут формулировать определение числового неравенства, сравнивать числа и выражения с помощью нахождения их разности, а также безошибочно решать задания №7 из открытого банка ОГЭ.
- Образовательная задача: Изучить связь между соотношениями «больше»/«меньше» и знаком разности чисел.
- Развивающая задача: Развивать навыки логического мышления и анализа через сопоставление аналитической записи неравенства с геометрической моделью на координатной прямой.
- Воспитательная задача: Снизить уровень экзаменационной тревожности через отработку алгоритмов самопроверки и знакомство с форматом ГИА.
Планируемые результаты
Личностные
- Формирование ответственного отношения к обучению и готовности к саморазвитию.
- Развитие критического мышления при оценке правильности выполнения заданий формата ОГЭ.
- Повышение учебной мотивации через понимание практической значимости темы для успешной сдачи экзаменов.
Метапредметные
- Познавательные: Умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение и делать выводы.
- Регулятивные: Умение самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных задач.
- Коммуникативные: Умение аргументировать свою позицию и координировать её с позициями партнёров при работе в парах.
Предметные
- Знать определение числового неравенства (a > b, если a - b > 0).
- Уметь сравнивать положительные и отрицательные числа, обыкновенные и десятичные дроби.
- Уметь располагать числа на координатной прямой и определять знак разности по их расположению.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Самоопределение (понимание «зачем мне это нужно» в контексте ОГЭ).
- Смыслообразование (связь между изученным алгоритмом и результатом теста).
Регулятивные УУД
- Целеполагание как постановка учебной задачи.
- Оценка — выделение и осознание того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению.
Познавательные УУД
- Поиск и выделение необходимой информации в тексте определения.
- Анализ объектов с целью выделения признаков (сравнение выражений).
Коммуникативные УУД
- Управление поведением партнёра (контроль, коррекция действий партнёра при взаимопроверке).
- Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.
Подготовка учителя к уроку
- Распечатать карточки с заданием №7 из вариантов ОГЭ (по 1 шт. на каждого ученика).
- Подготовить презентацию с визуализацией координатной прямой и перемещающимися точками.
- Распечатать листы самооценки с критериями «Знаю/Умею/Применяю».
- Подготовить на доске чертёж координатной прямой без разметки для этапа актуализации.
- Проверить наличие цветных маркеров (красный, зеленый) для выделения знаков неравенств на доске.
Ход урока
Этап 1. Мотивация и самоопределение (3 мин)
Цель этапа: создать позитивный настрой, сфокусировать внимание на значимости темы для ГИА.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, девятиклассники! Сегодня мы начинаем одну из самых 'благодарных' тем алгебры. Почему благодарных? Потому что задания на числовые неравенства встречаются в ОГЭ дважды: в первой части это задание на координатную прямую, а во второй — решение систем. Сегодня мы заложим фундамент, который позволит вам забрать эти баллы без лишнего стресса." | Слушают учителя, настраиваются на работу, проверяют наличие учебных принадлежностей. |
2 мин | "Посмотрите на экран. Здесь представлены результаты выполнения задания №7 по нашему региону за прошлый год. Почти 20% учеников допустили ошибку просто из-за невнимательности к знакам. Мы сегодня научимся алгоритму, который исключает такие ошибки. Готовы стать экспертами в неравенствах?" | Анализируют статистику, осознают важность темы, выражают готовность к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Отлично, настрой боевой. Записываем в тетрадях дату и тему урока: 'Числовые неравенства'."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: повторить навыки сравнения чисел, известные из курса 5-6 классов, зафиксировать затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Давайте проведем блиц-опрос. Я называю пару чисел, а вы в тетрадях ставите только знак: >, < или =. 1) -5 и -8; 2) 0,34 и 0,304; 3) 5/8 и 7/9. Теперь проверьте себя по эталону на слайде. Поднимите руку, у кого возникли сложности с третьей парой?" | Выполняют сравнение в тетрадях. Сверяются с ответами. Многие поднимают руки на сравнении обыкновенных дробей. |
2 мин | "Почему с дробями сложнее? Нам пришлось приводить их к общему знаменателю. А что, если я предложу вам сравнить два выражения, например, (a-2)(a+2) и a^2 - 5? Здесь уже просто 'на глаз' не получится. Нам нужен универсальный инструмент." | Формулируют проблему: старых способов сравнения (по разрядам или через знаменатель) недостаточно для буквенных выражений. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что привычные способы не всегда удобны. Сегодня мы откроем универсальный метод сравнения любых объектов в математике."
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести определение числового неравенства через разность чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте проведем эксперимент. Возьмем числа 10 и 7. Мы знаем, что 10 > 7. Найдите их разность. Какой у неё знак? А теперь возьмем 3 и 5. 3 < 5. Найдите разность 3 - 5. Какой знак теперь? Сделайте предположение: как связаны знак разности и результат сравнения?" | Вычисляют: 10 - 7 = 3 (положительное), 3 - 5 = -2 (отрицательное). Выдвигают гипотезу: если разность положительна, первое число больше. |
5 мин | "Верно! Это и есть математическое определение. Запишем в тетрадь: Число a больше числа b, если разность a - b — положительное число. Число a меньше числа b, если разность a - b — отрицательное число. Если же a - b = 0, то a = b. Давайте изобразим это на координатной прямой. Если a > b, где точка a будет находиться относительно b?" | Записывают определение в рамку. Рисуют координатную прямую. Отвечают: "Точка a будет находиться правее точки b". |
3 мин | "Применим наш метод к той 'трудной' паре из начала урока. Сравним (a-2)(a+2) и a^2 - 5. Составим их разность. Раскройте скобки и упростите." | Записывают: (a-2)(a+2) - (a^2 - 5) = a^2 - 4 - a^2 + 5 = 1. Делают вывод: так как 1 > 0, то первое выражение больше второго. |
Запись в тетрадях
Определение:
1. a > b, если a - b > 0
2. a < b, если a - b < 0
3. a = b, если a - b = 0
1. a > b, если a - b > 0
2. a < b, если a - b < 0
3. a = b, если a - b = 0
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть мощный инструмент — метод разности. Он работает всегда: и с числами, и с буквами."
Этап 4. Первичное закрепление и работа с форматом ОГЭ (8 мин)
Цель этапа: отработать применение определения на типовых задачах экзамена.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Переходим к практике. Посмотрите на задание на доске (типичное №7 ОГЭ): На координатной прямой отмечены точки a, b и c. Известно, что a < b < c. Какое из следующих утверждений верно: 1) a - b > 0; 2) b - c > 0; 3) a - c < 0? Используйте наше новое правило. Если a левее b, то какой знак у разности a - b?" | Анализируют чертеж. Рассуждают: "Если a < b, то a - b < 0. Значит, первое утверждение неверно. Если b < c, то b - c < 0. Второе неверно. Если a < c, то a - c < 0. Третье верно". |
4 мин | "Работаем в парах. У вас на столах карточки с заданием: 'Сравните значения выражений 5(x+1) и 5x + 3 при любом значении x'. Один из вас находит разность, второй делает вывод на основе знака. Затем поменяйтесь ролями для второго примера." | Работают в парах. Проговаривают алгоритм: "Находим разность: 5x + 5 - (5x + 3) = 2. Так как 2 > 0, то 5(x+1) > 5x + 3". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы отлично справились с переходом от теории к практике. Теперь проверим, насколько уверенно вы чувствуете себя один на один с задачей."
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: индивидуальный контроль усвоения материала.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | "Перед вами мини-тест из трех заданий. 1. Сравните числа -2/3 и -3/4 методом разности. 2. На координатной прямой точка m правее точки n. Определите знак разности n - m. 3. Выберите верное утверждение для чисел x и y, если x - y = -0,001. Приступайте, время пошло!" | Самостоятельно решают задачи в тетрадях. |
2 мин | "Время вышло. Посмотрите на экран, там правильные ответы и краткие пояснения. Оцените свою работу: если всё верно — поставьте себе '5' на полях, если одна ошибка — '4'. Если ошибок больше — подчеркните те моменты, где возникли трудности." | Сверяют свои решения с эталоном. Заполняют листы самооценки. |
Эталон решения
1. $-2/3 - (-3/4) = -8/12 + 9/12 = 1/12$. Разность $>0$, значит $-2/3 > -3/4$.
2. Если $m$ правее $n$, то $m > n$, значит $n - m < 0$.
3. Разность $-0,001 < 0$, значит $x < y$.
2. Если $m$ правее $n$, то $m > n$, значит $n - m < 0$.
3. Разность $-0,001 < 0$, значит $x < y$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что большинство из вас уловили суть метода. Те, у кого возникли вопросы, не волнуйтесь — мы закрепим это в домашней работе."
Этап 6. Рефлексия и домашнее задание (10 мин)
Цель этапа: подвести итоги, зафиксировать новые знания и дать инструкции по ДЗ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Давайте подведем итоги. Мы сегодня использовали приём 'Толстые и тонкие вопросы'. Тонкий вопрос: Как математически записать, что a меньше b? Толстый вопрос: Почему для сравнения выражений с переменными метод разности удобнее, чем подстановка конкретных чисел?" | Отвечают на вопросы. Тонкий: "a - b < 0". Толстый: "Потому что подстановка одного числа не доказывает, что неравенство верно для всех x, а разность дает общий результат". |
3 мин | "Запишем домашнее задание. Оно разделено на уровни сложности. Выберите тот, который вам сейчас по силам, но я рекомендую попробовать зайти на уровень выше." | Записывают задание в дневники, задают уточняющие вопросы. |
3 мин | "И последнее — 'Билет на выход'. На маленьком листочке напишите один самый важный вывод, который вы сделали сегодня на уроке, и сдайте мне, когда будете выходить. Это поможет мне понять, что нужно повторить завтра." | Пишут краткие резюме и сдают учителю. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — ученик верно выполнил все 3 задания самостоятельной работы, привел обоснование через нахождение разности, не допустил вычислительных ошибок.
- «4» — выполнено 2 задания из 3 без ошибок, ИЛИ во всех заданиях верный ход рассуждения, но допущена одна арифметическая ошибка.
- «3» — верно выполнено только 1 задание, ИЛИ ученик понимает принцип (находит разность), но не может сделать верный вывод о знаке неравенства.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг в алгоритме сравнения выражений кажется тебе самым сложным? | Выявление проблемных зон в алгебраических преобразованиях (раскрытие скобок, приведение подобных). |
Насколько увереннее ты чувствуешь себя при виде задания №7 ОГЭ по шкале от 1 до 10? | Оценка психологического комфорта и готовности к экзамену. |
Сможешь ли ты объяснить другу, почему -100 < 1, используя метод разности? | Проверка осознанности усвоения определения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы сделали важный шаг к успешной сдаче ОГЭ. Мы узнали, что за простыми знаками 'больше' и 'меньше' стоит четкая логика разности чисел. Помните: в математике, как и в жизни, чтобы понять, что больше, иногда нужно просто найти разницу. На следующем уроке мы разберем свойства неравенств, которые помогут нам решать сложные системы. Спасибо за работу, вы сегодня были настоящими исследователями!"
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 5 задач на сравнение пар чисел (отрицательные дроби, десятичные дроби) методом разности. | Закрепление базового навыка вычисления разности и применения определения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания формата ОГЭ №7: выбор верного утверждения на основе расположения точек на прямой. | Адаптация к экзаменационным формулировкам и развитие визуального анализа. |
Продвинутый (дополнительный) | Доказать неравенство вида (x-3)^2 > x(x-6) для любого значения x. | Подготовка к решению заданий повышенной сложности второй части экзамена. |
Контрольный вопрос: Если разность двух чисел равна -5, какое из чисел расположено на координатной прямой правее?
