Теорема Виета и квадратное уравнение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться формулировать теорему Виета и применять её для проверки корней и подбора корней приведённого квадратного уравнения, выполнив не менее 4 из 5 учебных заданий.
- Познакомить учащихся с зависимостью между корнями и коэффициентами квадратного уравнения и вывести формулы теоремы Виета.
- Научить применять теорему Виета для проверки найденных корней и устного подбора корней уравнения вида $x^2+px+q=0$.
- Развивать умение анализировать условие, выдвигать гипотезу, аргументировать способ решения и осуществлять самопроверку.
- Формировать ответственное отношение к совместной работе, готовность выбирать уровень задания и оценивать собственный результат.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску более рационального способа решения квадратных уравнений.
- Осознают ценность проверки результата и математической аргументации.
- Принимают ответственность за выбранный уровень самостоятельного задания.
- Уважительно обсуждают разные способы решения и корректно оценивают вклад одноклассников.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно планируют способ её решения.
- Извлекают информацию из формулы и преобразуют её в алгоритм действий.
- Сравнивают решение по дискриминанту с подбором корней по теореме Виета.
- Контролируют вычисления, находят и исправляют ошибку с помощью эталона.
- Аргументированно представляют решение в паре и используют математическую речь.
Предметные
- Знать формулировку теоремы Виета для уравнения $x^2+px+q=0$.
- Уметь устанавливать сумму и произведение корней квадратного уравнения.
- Уметь подбирать целые корни приведённого квадратного уравнения по коэффициентам $p$ и $q$.
- Уметь проверять найденные корни подстановкой и по формулам Виета.
- Уметь применять теорему Виета при решении и составлении квадратных уравнений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения способа, который экономит время при решении уравнений.
- Выбирают посильный и повышенный уровень задания с учётом собственной готовности.
- Развивают уверенность в возможности обнаружить закономерность самостоятельно.
- Осознают значение точности и самоконтроля для математики и будущей профессиональной деятельности.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность: определить сумму, определить произведение, подобрать числа, проверить.
- Сверяют решение с эталоном и фиксируют причину ошибки.
- Оценивают достижение цели по результатам самостоятельной работы.
- Корректируют способ решения, если подобранные числа не удовлетворяют обоим условиям.
Познавательные УУД
- Выделяют связь между коэффициентами и корнями уравнения.
- Преобразуют выражение $(x-x_1)(x-x_2)$ в стандартный вид.
- Сравнивают и классифицируют пары чисел по сумме и произведению.
- Моделируют условие задачи таблицей «сумма — произведение».
- Используют формулу как средство доказательства и проверки.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру ход подбора корней полными математическими предложениями.
- Задают уточняющие вопросы о знаках и порядке действий.
- Распределяют роли при парной работе: решающий и проверяющий.
- Аргументированно принимают или опровергают предложенную гипотезу.
- Соблюдают правила диалога и корректно формулируют замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: квадратное уравнение, разложение $(x-x_1)(x-x_2)$, формулы теоремы Виета и алгоритм подбора корней.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с парами чисел для мотивационного задания — по одной на парту.
- Распечатать мини-лист самооценки и билет на выход — по одному на каждого ученика.
- Подготовить слайд или плакат с проблемным вопросом: «Можно ли найти корни без дискриминанта?»
- Подготовить таймер на 2–3 минуты для парной и самостоятельной работы.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; включить спокойный короткий музыкальный фрагмент по желанию.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры двух цветов и эталон решений для показа после самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: создать рабочий настрой и показать практическую ценность нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и карточки для работы. Сегодня вы будете не только решать уравнения, но и проверять математическую гипотезу. В конце урока каждый сможет выбрать задание по силам и оценить свой результат." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $x^2-7x+12=0$ и спрашивает: "Представьте, что вам нужно быстро назвать его корни, а времени на полный алгоритм с дискриминантом почти нет. Какие числа могут подойти? Почему? Запомните этот вопрос: к нему мы вернёмся в конце урока." | Предполагают: "3 и 4, потому что их произведение равно 12, а сумма равна 7"; формулируют первую гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже увидели закономерность между числами в уравнении и его корнями. Сейчас проверим, что мы умеем использовать из предыдущих тем и где возникает необходимость в новом правиле."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить понятия квадратного уравнения, корня, дискриминанта и разложения на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Блиц»: "Назовите общий вид квадратного уравнения. Что называют корнем? От чего зависит количество корней? Отвечайте коротко, но точно; если не согласны — объясните." | Отвечают: "$ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$"; "корень — значение переменной, обращающее уравнение в верное равенство"; "количество корней определяется дискриминантом". |
2 мин | Учитель записывает $x^2-5x+6=0$ и просит решить известным способом: "Сначала назовите коэффициенты, затем вычислите дискриминант и корни. Следите за знаками." | Называют $a=1$, $b=-5$, $c=6$; вычисляют $D=25-24=1$; получают $x_1=2$, $x_2=3$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Можно ли по найденным корням восстановить их сумму и произведение? Что получится для примера?" На доске фиксирует ответы без формулировки теоремы. | Вычисляют $x_1+x_2=5$, $x_1x_2=6$; замечают связь с коэффициентами $-b/a$ и $c/a$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем находить корни и уже заметили две устойчивые связи. Теперь выясним, являются ли они случайностью или следуют из самого вида квадратного уравнения."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия теоремы Виета.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните два уравнения: $x^2-7x+12=0$ и $x^2+7x+12=0$. Как изменятся корни? Можно ли предсказать их, не вычисляя дискриминант? Сначала подумайте 30 секунд, затем обсудите в паре." | Индивидуально предлагают пары чисел, затем обсуждают: для первого подходят $3$ и $4$, для второго $-3$ и $-4$; объясняют роль знака среднего коэффициента. |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какой вопрос нам необходимо решить? Сформулируйте цель урока. Какой план поможет её достичь?" Учитель принимает формулировки и записывает общий план: вывести связи, сформулировать правило, применить и проверить. | Формулируют: "Узнать связь корней с коэффициентами и научиться быстро решать подходящие уравнения"; предлагают план из трёх–четырёх шагов. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно доказать наблюдаемую закономерность и превратить её в рабочий алгоритм. Переходим к открытию нового знания через преобразование произведения множителей."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить формулы теоремы Виета для приведённого квадратного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: "Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$. Если корни известны, левую часть можно представить так: $(x-x_1)(x-x_2)$. Раскройте скобки и сравните коэффициенты с исходным уравнением." | Раскрывают скобки: $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$; сравнивают коэффициенты при $x$ и свободные члены. |
3 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Какой коэффициент стоит при $x$ после раскрытия? С чем он совпадает? Какой свободный член? Сделайте общий вывод для суммы и произведения корней." | Отвечают: "Коэффициент при $x$ равен $-(x_1+x_2)$ и совпадает с $p$"; "свободный член равен $x_1x_2$ и совпадает с $q$"; формулируют $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. |
3 мин | Учитель оформляет «Шпаргалку-напоминание»: "Для приведённого уравнения $x^2+px+q=0$ сумма корней равна $-p$, а произведение — $q$. Обратите внимание: правило действует именно для приведённого уравнения. Для общего вида нужно разделить коэффициенты на $a$." Учитель показывает проверку на $x^2-7x+12=0$. | Записывают теорему, проговаривают: $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=12$; называют корни $3$ и $4$ и проверяют обе связи. |
Запись в тетрадях
Теорема Виета: если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, то $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. Для уравнения $ax^2+bx+c=0$: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1x_2=\frac{c}{a}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не просто запомнили формулы, а вывели их из разложения на множители. Теперь проверим правило на простых примерах и научимся превращать две связи в последовательность действий."
Этап 5. Физкультминутка «Сумма и произведение» (2 мин)
Цель этапа: снять напряжение, сохранить внимание и повторить формулы в двигательном формате.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партами. Если я называю сумму корней для приведённого уравнения, поднимите руки вверх; если произведение — потянитесь в стороны. Для $x^2-6x+8=0$ сумма равна 6, произведение 8. Повторим: сумма — вверх, произведение — в стороны. Сделайте два глубоких вдоха, разомните плечи и садитесь." | Поднимают руки на слово «сумма», разводят руки на слово «произведение», называют: "сумма 6, произведение 8"; выполняют разминку и возвращаются к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулы уже прозвучали и в записи, и в движении. Теперь применим их к решению, где корни можно подобрать устно."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм подбора корней с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель разбирает задачу: "Решим уравнение $x^2-9x+20=0$. По теореме Виета нужны два числа с суммой 9 и произведением 20. Какие пары произведения 20 вы знаете? Какая из них подходит? После подбора обязательно выполните проверку." | Называют пары $1$ и $20$, $2$ и $10$, $4$ и $5$; выбирают $4$ и $5$; записывают $x_1=4$, $x_2=5$, проверяют сумму и произведение. |
2 мин | Учитель предлагает парную задачу: "Решите $x^2+2x-15=0$. Один ученик подбирает числа, второй проверяет знаки и обе формулы. Через две минуты обменяйтесь ролями." | В парах подбирают $3$ и $-5$, поскольку сумма $-2$, произведение $-15$; записывают корни и проверку. |
2 мин | Учитель просит две пары представить разные решения и задаёт вопрос: "Почему в последнем уравнении корни имеют разные знаки? Что подсказывает произведение?" | Представляют решения; объясняют: "Произведение отрицательное, поэтому корни разных знаков; их сумма должна быть $-2$". |
Эталон решения
Для $x^2+2x-15=0$: $x_1+x_2=-2$, $x_1x_2=-15$. Пара чисел $3$ и $-5$ имеет сумму $3+(-5)=-2$ и произведение $3\cdot(-5)=-15$. Следовательно, $x_1=3$, $x_2=-5$. Проверка: $3^2+2\cdot3-15=0$ и $(-5)^2+2\cdot(-5)-15=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы внимательно учитываем два условия сразу: сумму и произведение. Сейчас каждый проверит себя самостоятельно, а затем сравнит решение с эталоном."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное умение применять теорему Виета и корректировать ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. Базовый обязателен для всех, повышенный можно взять при готовности. Записывайте не только корни, но и две проверки: сумму и произведение. Работайте индивидуально." | Выбирают карточку и записывают выбранный уровень. |
5 мин | Учитель наблюдает, задаёт направляющие вопросы без сообщения ответа: "Каково требуемое произведение? Какой знак должна иметь сумма? Проверьте обе пары чисел, а не только одну." | Базовый: решают $x^2-8x+15=0$ и $x^2+5x+6=0$. Повышенный: решают $x^2-3x-18=0$ и составляют уравнение с корнями $-2$ и $7$. Продвинутый: находят ошибку в решении уравнения $x^2-5x+6=0$, где указаны корни $-2$ и $-3$, и объясняют её. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "$x^2-8x+15=0$: корни 3 и 5; $x^2+5x+6=0$: корни -2 и -3; $x^2-3x-18=0$: корни 6 и -3; для корней -2 и 7 уравнение $x^2-5x-14=0$. Сверьте решение, отметьте одну сильную сторону и одну ошибку." | Проверяют решения по эталону, ставят знаки «+» или «?» у этапов алгоритма, исправляют вычислительные ошибки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что теорема Виета помогает и решать уравнения, и составлять их по заданным корням. Осталось связать новый способ с прежним алгоритмом и сформулировать, когда он особенно удобен."
Этап 8. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способ, сравнить его с дискриминантом и осознать результат обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает мини-дискуссию: "Сравните два способа решения. Когда теорема Виета удобнее дискриминанта? Когда подбор может быть нерациональным? Приведите аргумент, а не только ответ." | Формулируют: "Виета удобна, когда корни — небольшие целые числа; дискриминант универсальнее, если подобрать числа трудно". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на три вопроса: сформулируйте теорему Виета; назовите корни $x^2-10x+21=0$; укажите типичную ошибку при подборе." | Записывают: $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$; корни 3 и 7; ошибка — проверять только сумму или не учитывать знаки. |
1 мин | Учитель подводит итог: "Покажите пальцами от 1 до 3, насколько уверенно вы умеете применять теорему: 1 — нужна помощь, 2 — решаю с проверкой, 3 — могу объяснить другому." | Показывают уровень готовности и сдают билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы сами вывели формулы, применили их к решению и увидели границы метода. На следующем уроке мы продолжим работу с квадратными уравнениями и рассмотрим более сложные случаи."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба базовых задания или выбранное задание повышенного уровня, записаны условия по теореме Виета, выполнены проверки суммы и произведения, объяснены знаки корней.
- «4» — верно решены два задания, но допущена одна неточность в записи формулы или проверке, не повлиявшая на найденные корни.
- «3» — верно решено одно базовое задание либо найдены корни двух уравнений без полного обоснования и проверки; понимание формулы проявляется с помощью учителя.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о сумме и произведении корней? | Выявление осознания формул теоремы Виета. |
Какой шаг алгоритма оказался самым трудным: подбор чисел, работа со знаками или проверка? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
В каком случае теорема Виета удобнее дискриминанта? | Проверка понимания границ и условий применения способа. |
Можете ли вы объяснить решение уравнения партнёру? Что для этого ещё нужно повторить? | Субъективная оценка освоения темы и готовности к сотрудничеству. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы установили связь между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами не через запоминание, а через преобразование выражения. Теорема Виета позволяет быстро находить целые корни, но при подборе нельзя забывать одновременно проверять сумму и произведение. Если корни подобрать трудно, мы вернёмся к универсальному способу через дискриминант. На следующем уроке продолжим решать квадратные уравнения и сравним несколько стратегий выбора способа."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 приведённых квадратных уравнения подбором корней по теореме Виета: два уравнения с положительным произведением и два с отрицательным; для каждого записать сумму и произведение корней. | Закрепляет формулы и алгоритм; при проверке обратить внимание на знаки и обязательную проверку подстановкой. |
Средний (повышающий) | Решить 3 квадратных уравнения, в том числе одно с коэффициентом при $x$, равным нулю, и составить одно приведённое уравнение по заданным корням. | Формирует перенос способа на разные случаи; проверить правильность коэффициента $p$ и свободного члена $q$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-исследование из 3 пар квадратных уравнений: для каждой пары подобрать корни, сравнить сумму и произведение и объяснить, как изменение одного коэффициента влияет на корни. | Развивает анализ и создание математической модели; при проверке оценить аргументацию, точность вычислений и сформулированный вывод. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как связаны сумма корней с коэффициентом $p$? Как связаны произведение корней и свободный член? Почему для подбора нужно проверять сразу два условия? Когда предпочтительнее использовать дискриминант?»
