Уравнение $x^2=a$
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться решать уравнения вида $x^2=a$ при различных значениях $a$, определять число корней и проверять полученный результат подстановкой.
- Познакомить учащихся с алгоритмом решения уравнения $x^2=a$ и обосновать зависимость числа корней от знака числа $a$.
- Сформировать умение применять свойства квадратного корня при решении практических и учебных задач.
- Развивать умение выдвигать гипотезы, анализировать случаи, аргументировать ответ и обнаруживать ошибку в решении.
- Воспитывать ответственное отношение к записи решения, взаимопомощь и готовность самостоятельно выбирать уровень задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску общего способа решения уравнений.
- Осознают ценность проверки результата и математической аргументации.
- Принимают право одноклассника на иной способ рассуждения при условии его обоснования.
- Оценивают собственную готовность решать уравнения вида $x^2=a$.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Извлекают информацию из таблицы, примеров и математической записи.
- Сравнивают случаи $a>0$, $a=0$ и $a<0$, устанавливают причинно-следственные связи.
- Сотрудничают в парах, формулируют и защищают вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют решение.
Предметные
- Знать, что квадрат действительного числа неотрицателен.
- Знать алгоритм решения уравнения $x^2=a$ при $a>0$, $a=0$ и $a<0$.
- Уметь решать уравнения вида $x^2=a$ и записывать оба противоположных корня при $a>0$.
- Уметь объяснять отсутствие действительных корней при $a<0$.
- Уметь выполнять проверку корней подстановкой в исходное уравнение.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают смысл изучения алгоритма как инструмента для решения практических и математических задач.
- Проявляют самостоятельность при выборе обязательного или повышенного уровня задания.
- Формируют ответственное отношение к точности математических записей.
- Оценивают личный вклад в парную работу и результат урока.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Планируют последовательность решения уравнения и проверки.
- Сверяют собственное решение с эталоном, находят и исправляют ошибки.
- Оценивают степень освоения алгоритма с помощью листа самооценки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенный признак: квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
- Классифицируют уравнения по значению правой части.
- Строят математическую модель решения в виде алгоритма.
- Применяют анализ, сравнение, обобщение и проверку подстановкой.
- Работают с информацией, представленной в примерах и таблице.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в ходе проблемного диалога.
- Объясняют партнёру ход решения, используя математические термины.
- Согласовывают общий вывод и представляют его классу.
- Корректно указывают на ошибку в записи и предлагают способ исправления.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с уравнениями $x^2=9$, $x^2=0$, $x^2=-4$ и вопросом: «Сколько решений имеет каждое уравнение?».
- Распечатать карточки для парной работы трёх уровней — по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Распечатать индивидуальные листы с шестью уравнениями и листы самооценки — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить карточки «верно» и «ошибка» — по две на каждого ученика для быстрой обратной связи.
- Вывесить на доске памятку: «Если $a>0$, то $x=\pm\sqrt{a}$; если $a=0$, то $x=0$; если $a<0$, действительных корней нет».
- Подготовить эталон решения для самостоятельной проверки, закрытый до окончания работы.
- Подготовить маркеры, магниты, стикеры и таймер на 3–5 минут.
- Обеспечить проектор или интерактивную доску; при отсутствии оборудования использовать заранее подготовленную запись на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и вызвать интерес к проблеме числа решений уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске три записи: $x^2=9$, $x^2=0$, $x^2=-4$. «Здравствуйте, ребята. Проверьте готовность: тетрадь, ручка и карточка для работы должны лежать перед вами. Сегодня мы попробуем ответить на вопрос, почему похожие уравнения могут иметь разное число решений». | Готовят принадлежности, читают записи на доске, формулируют предположения: «У первого, вероятно, два корня; у второго один; у третьего, возможно, решений нет». | 1 мин | Учитель обращается к классу: «Представьте, что вы проверяете программу, которая автоматически решает уравнения. Как понять, что она не потеряла корень? Почему ответа только $3$ для первого уравнения недостаточно?» | Высказывают версии: «Нужно проверить подстановкой», «У числа $3$ есть противоположное число $-3$, и их квадраты одинаковы». | 1 мин | Учитель фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как решать уравнение $x^2=a$ и определять число его действительных корней?» | Записывают или проговаривают проблемный вопрос, принимают цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что одной привычной записи ответа может быть недостаточно. Сейчас восстановим необходимые свойства квадратов и выясним, от чего зависит число корней».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства квадрата числа и квадратного корня, необходимые для открытия нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Математическая разминка»: «Вычислите устно квадраты чисел $0$, $2$, $-2$, $5$, $-5$. Что вы замечаете? Может ли квадрат действительного числа быть отрицательным?» | Вычисляют: $0^2=0$, $2^2=4$, $(-2)^2=4$, $5^2=25$, $(-5)^2=25$; формулируют: «Квадрат действительного числа неотрицателен». | 2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Как называется неотрицательное число, квадрат которого равен $a$? Чему равен $\sqrt{25}$? Верно ли, что $\sqrt{25}=\pm5$?» | Отвечают: «Арифметический квадратный корень», «$\sqrt{25}=5$», «Нет, арифметический корень неотрицателен; противоположное число появляется при решении уравнения». | 1 мин | Учитель предлагает карточки «верно» и «ошибка»: «Покажите знак для утверждений: $(-7)^2=49$; $\sqrt{16}=\pm4$; $\sqrt{0}=0$». Кратко комментирует результаты. | Поднимают карточки, исправляют ошибку: «$\sqrt{16}=4$», объясняют различие между корнем и корнями уравнения. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Квадрат любого действительного числа неотрицателен. Если $a>0$, то числа $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$ имеют квадрат $a$».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили два ключевых факта: квадрат не бывает отрицательным, а противоположные числа имеют одинаковые квадраты. Теперь проверим, как эти факты помогают решить общее уравнение».
Этап 3. Выявление затруднения и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость общего алгоритма решения уравнения $x^2=a$ и сформулировать план открытия.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Решите в тетради три уравнения: $x^2=16$, $x^2=0$, $x^2=-9$. Сначала думайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите решение с соседом». | Решают индивидуально, затем сравнивают записи в парах. Предполагают: «В первом корни $4$ и $-4$, во втором $0$, в третьем действительных корней нет». | 1 мин | Учитель спрашивает: «Какая запись может привести к ошибке в первом уравнении? Почему нельзя написать только $x=\sqrt{16}$?» | Отвечают: «Будет потерян корень $-4$, потому что $(-4)^2=16$». | 1 мин | Учитель возвращает проблемный вопрос: «Что нам нужно установить, чтобы решить любое уравнение $x^2=a?»» | Формулируют план: «Рассмотреть знак $a$, найти корни при положительном $a$, отдельно исследовать ноль и отрицательное число, затем проверить ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План принят: исследуем три случая по знаку правой части и оформим их в единый алгоритм. Начнём с положительного значения $a$, где возникает пара противоположных корней».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм решения уравнения $x^2=a$ для трёх случаев и связать его с понятием квадратного корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске $x^2=25$. «Найдём все числа, квадрат которых равен $25$. Какое неотрицательное число подходит? А какое противоположное ему число? Запишем оба ответа и проверим каждый подстановкой». | Называют $5$ и $-5$, записывают $x=5$ или $x=-5$, выполняют проверку: $5^2=25$, $(-5)^2=25$. | 2 мин | Учитель обобщает: «Если $a>0$, арифметический квадратный корень $\sqrt a$ — один из корней. Но противоположное число $-\sqrt a$ имеет тот же квадрат. Поэтому решение записываем так: $x=\pm\sqrt a$. Обратите внимание: знак $\pm$ означает два значения». | Записывают формулу и проговаривают: «При $a>0$ уравнение имеет два корня: $x_1=\sqrt a$ и $x_2=-\sqrt a$». | 2 мин | Учитель рассматривает случай $a=0$: «Решим $x^2=0$. Какое число при возведении в квадрат даёт ноль? Можно ли получить второй, отличный от него, корень?» | Отвечают: «Только $x=0$; противоположное нулю число совпадает с нулём». Записывают: «При $a=0$: $x=0$, один корень». | 2 мин | Учитель рассматривает $x^2=-9$: «Предположим, что корень существует. Что можно сказать о квадрате этого действительного числа? Сравните это с правой частью». | Рассуждают: «Квадрат действительного числа неотрицателен, а $-9<0$, поэтому равенство невозможно». Записывают: «При $a<0$ действительных корней нет». | 1 мин | Учитель оформляет на доске памятку: «$a>0$: $x=\pm\sqrt a$; $a=0$: $x=0$; $a<0$: действительных корней нет». «Сверьте формулировку с вашими выводами и задайте вопросы». | Сверяют записи, формулируют общий алгоритм и задают уточняющие вопросы. |
Запись в тетрадях
Записывают алгоритм: «1. Привести уравнение к виду $x^2=a$. 2. Определить знак $a$. 3. Если $a>0$, записать $x=\pm\sqrt a$; если $a=0$, записать $x=0$; если $a<0$, указать, что действительных корней нет. 4. Выполнить проверку».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы получили общий алгоритм и объяснили, почему число корней определяется знаком правой части. Теперь применим правило сначала вместе, а затем вы попробуете выполнить решение самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на типовых примерах с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает решить у доски уравнение $x^2=49$. «Назовите первый шаг. Какой случай рассматриваем? Запишите решение полностью, а не только ответ. После записи выполним проверку обоих корней». | Ученик у доски записывает: $a=49>0$; $x=\pm\sqrt{49}$; $x=\pm7$; $x_1=7$, $x_2=-7$. Класс проверяет: $7^2=49$, $(-7)^2=49$. | 2 мин | Учитель предлагает парную проверку уравнения $x^2=0$. «Один ученик объясняет число корней, второй следит за записью; затем поменяйтесь ролями. Почему нельзя записать два разных корня?» | В парах записывают $x=0$, один корень, объясняют: «Противоположное число нулю — сам ноль». | 2 мин | Учитель показывает решение ученика: $x^2=-16$, $x=\pm4$. «Найдите ошибку методом “Редактор”: проверьте знак правой части и предложите исправленную запись». | Находят ошибку: «Квадрат не может быть отрицательным». Исправляют: «Действительных корней нет». |
Эталон решения
Для $x^2=49$: $49>0$, поэтому $x=\pm\sqrt{49}=\pm7$. Ответ: $x_1=7$, $x_2=-7$. Проверка: $7^2=49$, $(-7)^2=49$. Для $x^2=0$: $x=0$. Для $x^2=-16$: поскольку $-16<0$, действительных корней нет.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В типовых примерах важно не перепутать арифметический корень с двумя корнями уравнения и обязательно посмотреть на знак числа $a$. Переходим к индивидуальной работе, где каждый проверит себя».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки и говорит: «Выберите базовый или повышенный вариант. Базовый вариант обязателен для всех, повышенный можно взять, если базовый выполнен уверенно. Решайте с развёрнутой записью и проверяйте положительные корни». Базовый вариант: $x^2=36$, $x^2=1$, $x^2=0$, $x^2=-25$. Повышенный вариант: $x^2=\frac{49}{16}$, $x^2=0{,}04$, $x^2=-0{,}36$. | Индивидуально решают выбранный вариант, записывают число корней и выполняют проверку там, где она возможна. | 2 мин | Учитель открывает на доске эталон: $x^2=36\Rightarrow x=\pm6$; $x^2=1\Rightarrow x=\pm1$; $x^2=0\Rightarrow x=0$; $x^2=-25$ — корней нет. Для повышенного варианта: $x=\pm\frac74$, $x=\pm0{,}2$, корней нет. | Сверяют каждую строку, отмечают совпадения галочкой, исправляют ошибки другим цветом. | 1 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Зелёная карточка — могу решить сам, жёлтая — нужна ещё одна тренировка, красная — не понимаю различие случаев». Просит двух учеников назвать типичную ошибку. | Показывают карточку, формулируют затруднение: «Забываю отрицательный корень» или «Пишу корни при отрицательном $a$». |
Запись в тетрадях
В тетради сохраняют исправленный вариант самостоятельной работы и кратко отмечают причину собственной ошибки, если она была.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самопроверка показала, что алгоритм работает для целых, дробных и десятичных значений. Осталось включить его в более широкий контекст и убедиться, что вы умеете объяснить выбор ответа».
Этап 7. Включение в систему знаний и применение (5 мин)
Цель этапа: применить новый алгоритм в задаче с реальным контекстом и развить умение аргументировать ответ.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: «Площадь квадратной клумбы равна $81\ м^2$. Обозначим длину её стороны через $x$. Составьте уравнение и найдите возможное значение $x$. Почему отрицательный корень не подходит для длины?» | Составляют $x^2=81$, находят математические корни $x=\pm9$, затем учитывают смысл величины: длина положительна, поэтому $x=9\ м$. Объясняют: «$-9$ не может быть длиной». | 2 мин | Учитель задаёт вопрос на перенос: «Чем отличается ответ в чистом уравнении $x^2=81$ от ответа в задаче о длине стороны? Где используется дополнительное условие?» | Формулируют: «Уравнение имеет два действительных корня, но в задаче выбираем положительный из-за смысла длины». |
Эталон решения
Пусть $x$ — длина стороны квадратной клумбы, тогда $x^2=81$. Так как $81>0$, $x=\pm\sqrt{81}=\pm9$. По смыслу задачи $x>0$, поэтому длина стороны равна $9\ м$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В математической модели мы получили оба корня, но жизненный смысл задачи помог выбрать допустимый. Теперь зафиксируем, что именно каждый из вас освоил и что ещё требует тренировки».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить индивидуальный результат и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки: «Закончите три фразы: “Если $a>0$, то…”, “Если $a=0$, то…”, “Если $a<0$, то…”. Затем ответьте: “Какую ошибку я теперь умею предотвращать?”» | Заполняют лист: «$x=\pm\sqrt a$», «$x=0$», «действительных корней нет». Записывают личную трудность или сильную сторону. | 1 мин | Учитель сообщает домашнее задание по уровням и говорит: «Перед выходом ответьте устно на контрольный вопрос: сколько действительных корней может иметь уравнение $x^2=a$ и от чего это зависит?» | Формулируют ответ: «Два корня при $a>0$, один при $a=0$, ни одного при $a<0$». Записывают выбранный уровень домашнего задания. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы открыли не просто формулу, а способ рассуждать по знаку правой части и проверять смысл ответа. На следующем уроке будем применять этот алгоритм в более сложных уравнениях, которые сначала нужно привести к виду $x^2=a».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены все четыре задания базового варианта или не менее трёх заданий повышенного варианта, правильно определено число корней, запись содержит необходимые рассуждения и выполнена проверка.
- «4» — верно решены три задания базового варианта, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на понимание алгоритма.
- «3» — верно решены два задания базового варианта, учащийся различает случаи $a>0$, $a=0$, $a<0$, но допускает ошибки при вычислении корня или записи пары корней.
- Ниже базового уровня — алгоритм пока не применён устойчиво; необходим разбор ошибки и повторное выполнение двух аналогичных заданий.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как изменяется число действительных корней уравнения $x^2=a$ при изменении знака $a$? | Проверка понимания классификации трёх случаев. |
Почему при $a>0$ нужно записывать два корня? | Выявление понимания связи противоположных чисел и их квадратов. |
Какая ошибка в решении сегодня была для вас наиболее вероятной? | Диагностика типичных индивидуальных затруднений. |
Насколько самостоятельно вы можете решить новое уравнение такого вида? | Субъективная оценка освоения алгоритма и планирование коррекции. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы установили, что уравнение $x^2=a$ решается не одним универсальным ответом без анализа, а по трём случаям, связанным со знаком числа $a$. Самая частая ошибка — записать только положительный корень или искать корни при отрицательной правой части. Проверка подстановкой и анализ смысла задачи помогают сделать ответ надёжным. На следующем уроке мы будем приводить более сложные уравнения к виду $x^2=a$ и применять этот алгоритм».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 уравнений вида $x^2=a$: два с положительным целым $a$, одно с $a=0$, два с отрицательным $a$ и одно с дробным положительным $a$. Для положительных значений выполнить проверку обоих корней. | Закрепляет классификацию по знаку правой части и аккуратную запись ответа; при проверке обратить внимание на наличие отрицательного корня. |
Средний (повышающий) | Решить 4 уравнения вида $x^2=a$ с дробными и десятичными значениями $a$, а также 2 задачи с реальным контекстом, где найденный корень обозначает длину или время. | Развивает вычислительные навыки и умение учитывать область допустимых значений величины; проверить преобразование корня и смысл ответа. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных уравнения вида $x^2=a$: одно с двумя корнями, одно с одним корнем и одно без действительных корней. Решить их и написать краткое объяснение выбора числа корней. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке оценить корректность примеров и объяснений. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Почему квадрат действительного числа не может быть отрицательным? Сколько корней имеет уравнение $x^2=64$? Как изменится ответ для $x^2=-64$? Почему в задаче о длине стороны квадрата выбирают только положительный корень?»
