Квадратный корень. Арифметический квадратный корень
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться распознавать квадратный и арифметический квадратный корень, применять два условия равенства $\sqrt{a}=b$ и вычислять значения корней из целых чисел, десятичных и обыкновенных дробей.
- Сформировать представление о квадратном корне как о числе, квадрат которого равен подкоренному числу, и отличать два квадратных корня уравнения от единственного арифметического корня.
- Научить находить значения выражений с квадратными корнями и объяснять полученный ответ проверкой условий $b\geq0$ и $b^2=a$.
- Развивать умение анализировать условие задачи, выбирать способ решения, работать с математической записью и проверять результат.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, готовность аргументировать ответ и видеть связь математики с практической задачей измерения площади.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность квадратного корня при нахождении стороны квадратного участка по его площади.
- Проявляют интерес к новому математическому обозначению и понимают необходимость точной аргументации.
- Принимают ответственность за самостоятельную проверку вычислений и корректность записи ответа.
- Формируют готовность уважительно обсуждать разные способы решения и исправлять собственные ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и составляют последовательность действий для её решения.
- Извлекают информацию из условия задачи, математических записей и таблицы квадратов чисел.
- Сравнивают квадратный корень и арифметический квадратный корень, выделяя существенный признак неотрицательности.
- Используют самопроверку по эталону, находят и исправляют ошибку в вычислении или обосновании.
- Формулируют устный математический ответ и аргументируют его в паре или перед классом.
Предметные
- Знать определения квадратного корня и арифметического квадратного корня.
- Знать обозначение $\sqrt{a}$, названия знака радикала и подкоренного выражения.
- Уметь определять, имеет ли выражение смысл в действительных числах.
- Уметь вычислять $\sqrt{81}$, $\sqrt{1,21}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{\frac{4}{9}}$, $\sqrt{2\frac{1}{4}}$ и выражения с ними.
- Уметь обосновывать равенство $\sqrt{a}=b$ двумя условиями: $b\geq0$ и $b^2=a$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения корней через задачу о площади и длине стороны.
- Оценивают собственную готовность применять новое понятие и формулируют область затруднения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и принятии решения о необходимости проверки.
- Соблюдают нормы сотрудничества и признают право одноклассника на обоснованное мнение.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемной задачи.
- Планируют алгоритм вычисления корня: определить допустимость, подобрать неотрицательное число, выполнить проверку.
- Контролируют знак результата и соответствие квадрата результата подкоренному числу.
- Оценивают работу по критериям, фиксируют ошибку и выбирают способ её исправления.
- Осуществляют пошаговую самопроверку самостоятельной работы по эталону.
Познавательные УУД
- Выделяют условие и вопрос практической задачи, переводят их в математическую модель $a^2=100$.
- Сравнивают числа $10$ и $-10$ как корни уравнения и выбирают подходящий ответ по смыслу геометрической задачи.
- Классифицируют выражения по наличию или отсутствию смысла в действительных числах.
- Устанавливают связь между квадратом числа и арифметическим квадратным корнем.
- Моделируют алгоритм проверки равенства $\sqrt{a}=b$ в виде двух условий.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах по схеме «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы о знаке корня и допустимости подкоренного выражения.
- Аргументируют выбор ответа математическими равенствами.
- Слушают объяснение партнёра, сопоставляют решения и корректно предлагают исправление.
- Формулируют общий вывод класса и используют математическую терминологию.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с условием задачи о квадратной клумбе площадью $100\ м^2$, схемой квадрата и вопросом о длине стороны.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на парту с выражениями $\sqrt{81}$, $\sqrt{1,21}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{-49}$, $-\sqrt{36}$.
- Распечатать индивидуальные листы самостоятельной работы по одному на каждого ученика: задания трёх уровней.
- Подготовить отдельные карточки «имеет смысл / не имеет смысла» для быстрой классификации выражений.
- Вывесить на доске шпаргалку-напоминание: «$\sqrt{a}=b$ тогда и только тогда, когда $b\geq0$ и $b^2=a$».
- Подготовить таблицу квадратов чисел от $0$ до $11$ и примеров $1,1^2=1,21$, $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$ для демонстрации.
- Приготовить стикеры или сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, доска и маркеры, тетради, линейки, ручки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и проверяет готовность: "Здравствуйте, ребята. Сегодня нам понадобится тетрадь, ручка и готовность рассуждать, а не только выполнять вычисления. Проверьте, что на парте есть всё необходимое. Посмотрите на доску: там изображён квадратный участок земли площадью 100 квадратных метров. Сегодня мы выясним, как по площади найти длину его стороны." | Готовят тетради и ручки, рассматривают изображение квадрата, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает условие: "Мама выделила Маше для клумбы участок квадратной формы. Площадь участка составляет $100\ м^2$. Определите длину стороны. Не спешите называть только число: объясните, почему оно подходит. Какие знания нам уже могут помочь?" Учитель фиксирует предположения на доске. | Формулируют предположения: "Нужно найти число, квадрат которого равен 100", "Подойдёт 10, потому что $10^2=100$"; замечают, что длина стороны должна быть неотрицательной. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели задачу, где нужно восстановить число по его квадрату. Сейчас проверим, достаточно ли нам прежних способов и какое новое понятие поможет записать решение короче и точнее."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства квадрата числа и подготовить учащихся к выявлению нового способа записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует устный счёт: "Запишите в черновике квадраты чисел от 0 до 10, которые помните. Давайте сверим: $0^2$, $1^2$, $2^2$, $3^2$, $4^2$, $5^2$, $6^2$, $7^2$, $8^2$, $9^2$, $10^2$. Что общего у квадратов противоположных чисел?" | Записывают значения, сверяют их с таблицей на доске, отвечают: "$5^2=(-5)^2=25$; квадраты противоположных чисел равны". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Решите уравнение $x^2=81$. Сначала подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите ответ с соседом. Обязательно объясните, почему ответов два." Учитель просит две пары озвучить разные формулировки. | Решают уравнение и обсуждают: "$x=9$ или $x=-9$, потому что $9^2=81$ и $(-9)^2=81$". Формулируют, что квадрат неотрицателен. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что уравнение $x^2=81$ имеет два корня, но в геометрической задаче длина стороны выбирается с учётом смысла. Возникает вопрос: как обозначить именно неотрицательное число, квадрат которого задан?"
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске пары утверждений: $x^2=100$ и $\sqrt{100}=10$. "Сравните эти записи. В первой записи мы ищем все числа, квадрат которых равен 100. Во второй выделяется одно число. Какое условие отличает выбранное число? Почему запись $\sqrt{100}=-10$ неверна?" | Сравнивают записи, отвечают: "У квадратного корня результат неотрицательный; $-10$ не может быть арифметическим корнем". |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: "Как доказать, что запись $\sqrt{a}=b$ верна, и как понять, имеет ли выражение со знаком корня смысл? Сформулируйте цель урока в форме действия." Учитель принимает формулировки и уточняет их. | Формулируют цель: "Узнать определение арифметического квадратного корня, научиться проверять и вычислять корни, отличать допустимые выражения от недопустимых". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена: мы должны не просто назвать ответ, а научиться доказывать его двумя условиями. Переходим к открытию определения, обозначения и алгоритма проверки."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения, обозначения и условия существования арифметического квадратного корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к вводной задаче: "Решим задачу строго. Площадь квадрата задаётся формулой $a^2=S$, поэтому получаем $a^2=100$. Корни уравнения — $10$ и $-10$, поскольку оба числа при возведении в квадрат дают 100. Но сторона не может быть отрицательной, поэтому длина стороны равна 10 метрам. Число 10 называют арифметическим квадратным корнем из 100." | Записывают модель задачи, называют два корня уравнения и выбирают положительную длину стороны: "$a=10\ м$". |
4 мин | Учитель формулирует определения: "Квадратным корнем из числа $a$ называют число, квадрат которого равен $a$. Арифметическим квадратным корнем из числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Запишите обозначение $\sqrt{a}$. Знак называется знаком радикала, выражение под ним — подкоренным выражением, а действие называется извлечением корня." | Записывают определения и терминологию. Подписывают в записи $\sqrt{81}$ знак радикала и подкоренное выражение. |
3 мин | Учитель выводит эталон: "Равенство $\sqrt{a}=b$ верно тогда и только тогда, когда одновременно выполнены два условия: $b\geq0$ и $b^2=a$. Обратите внимание на ноль: он не положительный и не отрицательный, но является неотрицательным. Если $a<0$, выражение в действительных числах смысла не имеет. Проверьте на примере $\sqrt{81}=9$." | Фиксируют два условия, проверяют $9\geq0$ и $9^2=81$. Объясняют: "$\sqrt{-49}$ не имеет смысла, потому что квадрат действительного числа не бывает отрицательным". |
Запись в тетрадях
Квадратный корень из числа $a$ — число, квадрат которого равен $a$. Арифметический квадратный корень — неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Равенство $\sqrt{a}=b$ верно тогда и только тогда, когда $b\geq0$ и $b^2=a$. При $a<0$ выражение не имеет смысла в действительных числах.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь у нас есть точный критерий, а не догадка. Любой ответ будем проверять по знаку и по квадрату. Применим новое правило к конкретным выражениям и научимся видеть типичные ошибки."
Этап 5. Первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление корней и различение знака перед радикалом и подкоренного выражения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт парные карточки: "Работаем по приёму «Математический светофор». Для каждого выражения определите значение или запишите, что оно не имеет смысла. Объяснение должно содержать проверку. Начните с $\sqrt{81}$, $\sqrt{0}$ и $\sqrt{-49}$." | В парах записывают: "$\sqrt{81}=9$, так как $9\geq0$ и $9^2=81$; $\sqrt{0}=0$; $\sqrt{-49}$ не имеет смысла". |
3 мин | Учитель разбирает спорное выражение: "Сравним $\sqrt{36}$ и $-\sqrt{36}$. Где находится знак минус? Он стоит перед радикалом или под ним? Выполним действие по порядку: сначала извлечём корень, затем применим знак минус." | Отвечают: "$\sqrt{36}=6$, а $-\sqrt{36}=-6$"; подчёркивают, что минус перед знаком корня не меняет подкоренное выражение. |
2 мин | Учитель предлагает два примера: "Вычислите $\sqrt{\frac{4}{9}}$ и $\sqrt{2\frac{1}{4}}$. Сначала приведите смешанное число к неправильной дроби и затем проверьте результат." | Записывают: "$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, потому что $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$; $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, поэтому $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\frac{3}{2}$". |
Эталон решения
$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}$, поскольку $\frac{2}{3}\geq0$ и $(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$. Далее $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, поэтому $\sqrt{2\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$, так как $\frac{3}{2}\geq0$ и $(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы научились вычислять корень и не путать знак минус перед радикалом с отрицательным подкоренным выражением. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли применять оба условия без подсказки пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения и алгоритма вычисления корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и объясняет выбор: "Выполните обязательный блок, а затем выберите одно из двух повышенных заданий. В обязательном блоке вычислите $\sqrt{1,21}$, $\sqrt{16}+\sqrt{36}$ и определите смысл выражения $\sqrt{-4}$. В повышенном блоке найдите число, арифметический квадратный корень из которого равен $0,3$, или вычислите $0,5\sqrt{100}+0,25\sqrt{1600}$. Записывайте не только ответ, но и короткое обоснование." | Индивидуально решают: "$\sqrt{1,21}=1,1$; $\sqrt{16}+\sqrt{36}=4+6=10$; $\sqrt{-4}$ не имеет смысла". По выбору решают $x=0,09$ или выражение со значением 15. |
3 мин | Учитель открывает эталон: "$\sqrt{1,21}=1,1$, потому что $1,1\geq0$ и $1,1^2=1,21$. $\sqrt{16}+\sqrt{36}=4+6=10$. В последнем примере сначала извлекаем корни: $0,5\cdot10+0,25\cdot40=15$. Проверьте работу цветной карточкой: зелёная — всё совпало, жёлтая — есть одна ошибка, красная — нужна помощь." | Сверяют каждую строку с эталоном, отмечают цветом результат самопроверки, исправляют ошибки и формулируют, на каком шаге возникло затруднение. |
Эталон решения
Для уравнения $\sqrt{x}=0,3$ возводим обе части в квадрат: $x=0,3^2=0,09$. Для выражения $0,5\sqrt{100}+0,25\sqrt{1600}$: $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{1600}=40$, поэтому $0,5\cdot10+0,25\cdot40=5+10=15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что правильный ответ — это не только число. Важно установить допустимость корня, выбрать неотрицательное значение и подтвердить его квадратом. Осталось связать новое понятие с исходной задачей и сформулировать общий вывод."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (7 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, вернуть учащихся к практической задаче и зафиксировать личный результат урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель возвращает на доску задачу о клумбе: "Почему в уравнении $a^2=100$ появились два корня, а в ответе задачи остался только $10$? Сформулируйте различие между квадратными корнями числа и арифметическим квадратным корнем." | Отвечают: "$10$ и $-10$ — квадратные корни уравнения, но арифметический квадратный корень равен только $10$, потому что он неотрицателен; длина стороны не бывает отрицательной". |
2 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: "Назовите три шага работы с выражением $\sqrt{a}$. Я буду записывать ваши формулировки в виде схемы на доске." | Формулируют: "1) проверить, что $a\geq0$; 2) подобрать неотрицательное число $b$; 3) проверить $b^2=a$". |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: "Запишите одним предложением, что такое арифметический квадратный корень, и одним примером покажите, как проверить ответ. Отдельно укажите вопрос, который ещё требует повторения." | Пишут определение и пример, например: "$\sqrt{81}=9$, потому что $9\geq0$ и $9^2=81$"; фиксируют индивидуальное затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня мы перешли от поиска числа по его квадрату к точному математическому понятию арифметического квадратного корня. Вы научились проверять корень по двум условиям и видеть, когда выражение не имеет смысла. На следующем уроке будем использовать эти правила в более сложных преобразованиях."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все обязательные задания, правильно вычислены корни $\sqrt{1,21}$, $\sqrt{16}+\sqrt{36}$, корректно объяснено отсутствие смысла у $\sqrt{-4}$ и выполнено выбранное повышенное задание с обоснованием.
- "4" — верно выполнены обязательные задания, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка в повышенном задании либо неполно записано обоснование.
- "3" — верно выполнены не менее двух обязательных заданий, ученик понимает неотрицательность арифметического корня, но допускает ошибки в вычислениях или проверке.
- Ниже базового уровня — не различены квадратный и арифметический корни, не выполнена проверка условий или неверно определён смысл выражения; требуется повторная работа по алгоритму.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что такое арифметический квадратный корень и чем он отличается от корней уравнения $x^2=a$? | Проверка понимания ключевого различия между двумя понятиями. |
Какие два условия нужно проверить, чтобы равенство $\sqrt{a}=b$ было верным? | Выявление осознания алгоритма обоснования. |
Почему выражение $\sqrt{-49}$ не имеет смысла, а $-\sqrt{36}$ равно $-6$? | Диагностика понимания роли знака минус и допустимости подкоренного выражения. |
Какое задание оказалось самым сложным и на каком шаге возникло затруднение? | Определение индивидуальных точек затруднения для коррекции обучения. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы выяснили, что квадратный корень связан с восстановлением числа по его квадрату, а арифметический корень всегда является неотрицательным. Запомните главное: для проверки равенства $\sqrt{a}=b$ нужно убедиться в двух условиях — $b\geq0$ и $b^2=a$. Типичная ошибка — считать, что знак минус перед радикалом находится под корнем, или забывать о недопустимости отрицательного подкоренного выражения. На следующем уроке мы продолжим работать с арифметическими квадратными корнями и будем применять их свойства при преобразовании выражений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 заданий на вычисление арифметических квадратных корней из квадратов целых чисел, десятичной дроби, нуля и обыкновенной дроби; отдельно определить, имеет ли смысл выражение с отрицательным подкоренным числом. | Закрепляет определения и проверку условий; при проверке смотреть на знак результата и наличие обоснования. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения, аналогичных разобранным на уроке: сумма и разность корней, выражение с коэффициентом перед радикалом, корень из смешанного числа и нахождение числа по заданному значению его арифметического корня. | Формирует алгоритм последовательного вычисления и переход от записи $\sqrt{x}=b$ к равенству $x=b^2$. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о квадратной площадке или участке, площадь которого является неотрицательным числом; записать уравнение, указать оба квадратных корня и обосновать выбор арифметического корня по смыслу. | Развивает применение понятия в реальном контексте, математическое моделирование и аргументацию выбора ответа. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что называют арифметическим квадратным корнем? Может ли он быть отрицательным? При каком условии выражение с радикалом не имеет смысла? Как проверить равенство $\sqrt{a}=b$?»
