Корни. Действия с выражениями, содержащими квадратные корни
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться выполнять сложение, вычитание, умножение и деление выражений с квадратными корнями, предварительно выявляя область допустимых преобразований и упрощая корни, с успешностью не менее 70% заданий самостоятельной работы.
- Закрепить понятия арифметического квадратного корня, подобных радикалов и свойства квадратного корня.
- Сформировать умение применять правила действий с корнями и объяснять выбор способа преобразования.
- Развивать умение анализировать выражение, находить ошибки и выбирать задание соответствующего уровня сложности.
- Воспитывать ответственное отношение к самостоятельной работе, готовность проверять результат и аргументировать решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность точных преобразований выражений при решении математических и прикладных задач.
- Проявляют учебную самостоятельность, выбирая посильный уровень задания и принимая ответственность за результат.
- Формируют положительное отношение к преодолению затруднений через проверку и исправление ошибок.
- Оценивают собственный прогресс по понятным критериям, не сравнивая себя с одноклассниками.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований выражения и контролируют каждый шаг.
- Извлекают правило из примеров, сравнивают способы решения и аргументируют выбор.
- Работают с математической записью, выделяют существенные признаки подобных радикалов.
- Сотрудничают в паре, задают уточняющие вопросы и корректно оценивают решение товарища.
- Используют самооценку и эталон решения для коррекции ошибок.
Предметные
- Знать свойства арифметического квадратного корня и условия их применения.
- Уметь упрощать выражения вида $\sqrt{a^2b}$, приводить подобные радикалы и выполнять сложение и вычитание.
- Уметь применять формулы $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ и $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ при допустимых значениях.
- Уметь выполнять смешанные преобразования выражений с корнями и проверять полученный результат.
- Владеть математической записью решения с указанием ограничений, если они необходимы.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться уверенно выполнять выбранный набор преобразований.
- Осознают смысл аккуратной записи как условия обнаружения и предупреждения ошибок.
- Проявляют настойчивость при решении задания повышенного уровня.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм: упростить радикалы, определить вид действия, применить правило, проверить ответ.
- Сверяют решение с эталоном, находят место ошибки и исправляют его.
- Оценивают результат по количеству верно выполненных заданий и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Классифицируют выражения по виду действия и наличию подобных радикалов.
- Устанавливают причинно-следственную связь между свойством корня и преобразованием выражения.
- Моделируют алгоритм решения в виде краткой схемы.
- Анализируют неверное решение и объясняют, на каком шаге нарушено правило.
- Применяют знания в выражениях с несколькими действиями.
Коммуникативные УУД
- Формулируют полный устный комментарий к преобразованию выражения.
- Распределяют роли в паре: решающий и проверяющий, затем меняются ролями.
- Задают вопросы о допустимости применённого свойства.
- Аргументированно сравнивают два способа решения и принимают обоснованное решение группы.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с целью урока, свойствами корней и тремя уровнями практических заданий.
- Распечатать карточки для актуализации — по одной на каждого ученика, 15–30 экземпляров в зависимости от состава класса.
- Подготовить карточки самостоятельной работы трёх уровней: минимального, базового и повышенного — по одной на каждого ученика.
- Разложить на парты листы для взаимопроверки и небольшие карточки с ответами-эталонами.
- Вывести на доску памятку: сначала упростить корни, затем определить действие, выполнить преобразование, проверить результат.
- Подготовить цветные маркеры или магнитные карточки со знаками «+», «−», «×», «÷» для классификации выражений.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 6 минут для коротких практических заданий.
- Организовать возможность выбора уровня задания без публичного объявления уровня ученика.
- Оборудование: доска или интерактивная панель, проектор при наличии, тетради, ручки, карточки и листы самооценки.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую задачу урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и калькулятора не требуется — сегодня мы будем учиться преобразовывать выражения точно. На доске записано выражение $2\sqrt{3}+5\sqrt{3}$. Как вы думаете, можно ли его упростить быстрее, чем обычное числовое выражение?" | Готовят принадлежности, рассматривают выражение, предполагают: «Можно сложить коэффициенты, если корни одинаковые». |
2 мин | Учитель показывает на экране четыре выражения: $\sqrt{12}+\sqrt{27}$, $\sqrt{6}\cdot\sqrt{24}$, $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$, $3\sqrt{5}-\sqrt{20}$, и говорит: "Сегодня мы будем действовать как редакторы математической записи: сначала увидим структуру, затем выберем правило. Подумайте, какое выражение кажется самым простым, а какое требует нескольких шагов. Приём «Выбор»: в конце урока каждый сам выберет уровень тренировки." | Распределяют выражения по предполагаемой сложности, называют: «Сначала нужно разложить подкоренные выражения на множители». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже видите, что корни нельзя преобразовывать механически. Сначала нужно распознать вид выражения и подготовить его к действию. Проверим, каких опорных знаний нам не хватает."
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика затруднений (6 мин)
Цель этапа: повторить свойства квадратного корня и выявить готовность к действиям с радикалами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями: $\sqrt{49}$, $\sqrt{72}$, $\sqrt{a^2}$ при $a\geq0$, $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$. Говорит: "Решите индивидуально четыре коротких задания. Не торопитесь: рядом с ответом укажите, какое свойство использовали. Время — две минуты." | Решают задания: «7», «$6\sqrt{2}$», «$a$», «6». Подписывают использованные свойства. |
2 мин | Учитель организует приём «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает вашу уверенность: зелёный — всё понятно, жёлтый — есть один вопрос, красный — нужно разобрать правило. Я не выставляю оценку по цвету, это сигнал для выбора помощи." | Показывают карточку, фиксируют в тетради знак вопроса рядом с непонятным свойством, при необходимости обращаются к соседу. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, и спрашивает: "Почему вынесенный множитель равен 3, а не 9? Как проверить преобразование обратным действием?" | Объясняют: «$18=9\cdot2$, поэтому $\sqrt{18}=\sqrt9\cdot\sqrt2=3\sqrt2$». Проверяют возведением в квадрат или обратным преобразованием. |
Запись в тетрадях
Записывают кратко: $\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$ при $a\geq0$, $b\geq0$; $\sqrt{a^2}=|a|$; чтобы упростить корень, выделяем полный квадрат под знаком корня.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как упрощать корень и выносить множитель. Теперь выясним, почему выражения с одинаковыми и разными радикалами ведут себя по-разному."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать правило выполнения действий с выражениями, содержащими корни.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает пары выражений: $2\sqrt5+3\sqrt5$ и $\sqrt2+\sqrt3$. Говорит: "Попробуйте применить знакомое правило сложения. Можно ли записать второй результат как $\sqrt5$? Обсудите ответ в паре в течение одной минуты и объясните различие." | В парах обсуждают, формулируют: «В первом случае радикалы одинаковые, поэтому складываются коэффициенты; во втором корни разные, поэтому слагаемые не являются подобными». |
2 мин | Учитель принимает ответы и формулирует учебную задачу: "Сегодня нам нужно научиться выполнять четыре действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Общий план такой: упростить корни, привести подобные радикалы, применить свойство умножения или деления, записать ответ в стандартном виде. Сформулируйте цель урока своими словами." | Формулируют цель: «Научиться преобразовывать выражения с корнями и объяснять каждый шаг». Записывают тему и цель урока. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема стала ясной: одно и то же действие требует разных приёмов в зависимости от вида радикалов. Сейчас мы построим общий алгоритм и сразу проверим его на коротких примерах."
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания через практику (10 мин)
Цель этапа: вывести и применить правила действий с корнями на типовых примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников | Колонка 4 |
|---|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает работу «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Рассмотрите $2\sqrt7+5\sqrt7$ и $4\sqrt3-\sqrt{12}$. Сначала упростите каждый корень, затем решите. Обсудите, что общего в этих примерах." После ответов фиксирует: $a\sqrt c+b\sqrt c=(a+b)\sqrt c$. | Решают: $2\sqrt7+5\sqrt7=7\sqrt7$; $4\sqrt3-\sqrt{12}=4\sqrt3-2\sqrt3=2\sqrt3$. Формулируют вывод: «Перед сложением и вычитанием нужно привести радикалы к подобному виду». | |
3 мин | Учитель записывает: "$\sqrt6\cdot\sqrt{24}$" и "$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}$". Говорит: "Здесь сначала применяем свойства умножения и деления, затем упрощаем результат. Следите за тем, чтобы делитель не был равен нулю. Выполним первый пример вместе, второй — по шагам в паре." | Записывают: $\sqrt6\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12$; в парах выполняют $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=\sqrt{25}=5$, проговаривают правило. | |
2 мин | Учитель раздаёт группам по одной карточке: А — $3\sqrt8+\sqrt{18}$; Б — $\sqrt{15}\cdot\sqrt{60}$; В — $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}$. Говорит: "Назначьте решающего и проверяющего. Проверяющий не просто называет ответ, а указывает место применения свойства." | Решают карточки: А: $6\sqrt2+3\sqrt2=9\sqrt2$; Б: $\sqrt{900}=30$; В: $\sqrt{49}=7$. Проверяющие комментируют шаги. | |
2 мин | Учитель обобщает на доске алгоритм: "Первый шаг — разложить подкоренные выражения и вынести полные квадраты. Второй — определить действие. Третий — выполнить действие по правилу. Четвёртый — проверить, можно ли ещё упростить ответ. Запишите этот алгоритм как памятку." | Записывают алгоритм, задают вопросы о случаях, когда радикалы нельзя сложить, и приводят пример $\sqrt2+\sqrt5$. |
Запись в тетрадях
- $a\sqrt c+b\sqrt c=(a+b)\sqrt c$ и $a\sqrt c-b\sqrt c=(a-b)\sqrt c$.
- $\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}$ при $a\geq0$, $b\geq0$.
- $\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac ab}$ при $a\geq0$, $b>0$.
- Алгоритм: упростить корни — определить действие — выполнить действие — проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правила работают только после внимательной подготовки выражения. Теперь проверим, насколько уверенно вы применяете их без подсказки, а уровень задания каждый сможет выбрать сам."
Этап 5. Первичное закрепление с дифференциацией (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в заданиях трёх уровней и получить оперативную обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Минимальный проверяет базовые свойства, базовый содержит смешанные действия, повышенный требует нескольких преобразований. Выберите тот уровень, на котором сможете работать сосредоточенно; при готовности можно перейти выше." | Выбирают карточку, записывают её обозначение в тетради. |
4 мин | Учитель консультирует, задавая вопросы вместо готового решения: "Какой корень нужно упростить первым? Являются ли радикалы подобными? Какое свойство подходит для умножения или деления?" На доске оставляет памятку и таймер. | Выполняют выбранные задания. Минимальный уровень: $2\sqrt3+5\sqrt3$, $\sqrt{12}\cdot\sqrt3$, $\frac{\sqrt{18}}{\sqrt2}$. Базовый: $3\sqrt8-\sqrt{18}$, $\sqrt{12}\cdot\sqrt{27}$, $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}$. Повышенный: $2\sqrt{18}-\sqrt8+\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}$. |
2 мин | Учитель выводит ответы: минимальный — $7\sqrt3$, $6$, $3$; базовый — $3\sqrt2$, $18$, $5$; повышенный — $6\sqrt2-2\sqrt2+5=4\sqrt2+5$. Говорит: "Сверьте не только ответ, но и первый ошибочный шаг. Поставьте рядом плюс, если решение полностью совпало, или вопросительный знак, если нужно разобрать ход." | Проверяют решение по эталону, подчёркивают первый ошибочный шаг, исправляют его и формулируют причину ошибки. |
Эталон решения
Для выражения $3\sqrt8-\sqrt{18}$: $\sqrt8=2\sqrt2$, $\sqrt{18}=3\sqrt2$; значит, $3\sqrt8-\sqrt{18}=3\cdot2\sqrt2-3\sqrt2=6\sqrt2-3\sqrt2=3\sqrt2$. Для выражения повышенного уровня: $2\sqrt{18}-\sqrt8+\frac{\sqrt{50}}{\sqrt2}=2\cdot3\sqrt2-2\sqrt2+5=6\sqrt2-2\sqrt2+5=4\sqrt2+5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы увидели, что выбор уровня не означает отказ от развития: важно выполнить задание качественно и понять ошибку. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько может применить алгоритм без помощи пары."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение действий с корнями и организовать коррекцию.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите вариант А или Б одинаковой сложности. Работайте индивидуально, записывайте все преобразования. Можно использовать памятку, но нельзя подсказывать соседу. На работу — шесть минут." | Выбирают вариант и записывают решение. |
6 мин | Учитель раздаёт варианты. Вариант А: $\sqrt{48}+2\sqrt{12}$; $\sqrt{14}\cdot\sqrt{56}$; $\frac{\sqrt{108}}{\sqrt3}$. Вариант Б: $3\sqrt{20}-\sqrt{45}$; $\sqrt{18}\cdot\sqrt8$; $\frac{\sqrt{200}}{\sqrt8}$. Наблюдает за записями и отмечает типичные ошибки. | Решают. Ответы варианта А: $8\sqrt3$, $28$, $6$. Ответы варианта Б: $3\sqrt5$, $12$, $5$. Выполняют проверку упрощением каждого корня. |
3 мин | Учитель организует самопроверку: "Возьмите лист с эталоном. Сначала сравните ответы, затем найдите несовпадение по строкам. Если ошибка есть, зачеркните только неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Сверяют работу, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных заданий и отмечают результат в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала ваш личный результат. Ошибка — это не итог, а указатель: где именно нужно потренироваться. Завершим урок короткой рефлексией и зафиксируем следующий шаг."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить освоенные способы действий, оценить результат и получить разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: "За одну минуту запишите продолжение трёх фраз: «Теперь я умею…», «Самый важный шаг алгоритма…», «Мне нужно потренировать…». Затем покажите цвет светофора." | Заполняют три фразы, показывают зелёный, жёлтый или красный сигнал, называют один конкретный навык. |
2 мин | Учитель возвращается к выражению из начала урока и спрашивает: "Как теперь упростить $\sqrt{12}+\sqrt{27}$? Почему нельзя сразу сложить 12 и 27 под одним корнем?" После ответов объявляет домашнее задание трёх уровней. | Отвечают: $\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$; объясняют, что сложение подкоренных выражений не является правилом сложения корней. |
1 мин | Учитель говорит: "Перед выходом назовите соседу один шаг алгоритма и одну типичную ошибку, которую сегодня научились замечать." | По очереди формулируют шаг и ошибку: «нельзя складывать разные радикалы», «нужно сначала вынести полный квадрат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть структуру выражения с корнем, выбирать подходящее свойство и проверять результат. На следующем уроке мы продолжим преобразования и применим их при решении уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, преобразования записаны последовательно, свойства применены корректно, ответ упрощён до стандартного вида.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнено одно задание из трёх либо получены правильные ответы в двух заданиях при существенных пропусках в записи; ученик понимает хотя бы одно свойство после коррекции.
- Ниже базового уровня — ученик вместе с учителем разбирает первый ошибочный шаг и выполняет аналогичное задание с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нужно сделать с корнями перед сложением и вычитанием? | Проверить понимание подготовки выражения и приведения подобных радикалов. |
Какое свойство помогло выполнить умножение или деление? | Выявить осознание связи между видом действия и правилом преобразования. |
На каком шаге самостоятельной работы возникло затруднение? | Выявить конкретную точку затруднения в алгоритме. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Проверить самооценку и сформировать ответственное отношение к выбору сложности. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились не просто считать выражения с корнями, а распознавать их структуру и выбирать точное правило. Запомните типичную ошибку: разные радикалы нельзя складывать или вычитать, пока они не приведены к подобному виду. Всегда начинайте с упрощения корней и заканчивайте проверкой результата. На следующем уроке мы продолжим преобразования и увидим, как эти приёмы помогают решать уравнения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения: два на сложение и вычитание подобных радикалов, одно на умножение и одно на деление корней. В каждом решении записать промежуточное упрощение. | Закрепить базовый алгоритм; при проверке смотреть на правильность выделения полного квадрата и стандартный вид ответа. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 смешанных выражений с двумя-тремя действиями, включая скобки и предварительное упрощение корней; одно решение подробно прокомментировать словами. | Научиться выбирать порядок действий и контролировать несколько преобразований подряд. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два выражения с корнями: одно, в котором после упрощения радикалы становятся подобными, и одно, в котором сложение невозможно; решить их и объяснить различие. | Развивать анализ, математическую аргументацию и умение создавать собственные примеры. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему $\sqrt{12}=2\sqrt3$?», «Можно ли заменить $\sqrt2+\sqrt5$ на $\sqrt7$?», «Какое свойство используется при вычислении $\sqrt6\cdot\sqrt{24}$?»
