Нахождение приближённых значений квадратного корня
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить приближённое значение квадратного корня методом последовательного уточнения с точностью до 0,1 и 0,01, объяснять выбор соседних десятичных чисел и оценивать разумность полученного результата.
- Сформировать представление о расположении числа $\sqrt{a}$ между двумя соседними числами, квадраты которых сравниваются с подкоренным выражением.
- Научить применять алгоритм нахождения приближённого значения квадратного корня и записывать результат с указанной точностью.
- Развивать умение анализировать границы, проверять результат возведением в квадрат, аргументировать способ решения в паре и самостоятельно корректировать ошибку.
- Воспитывать ответственность за точность вычислений, интерес к применению математики в измерениях и уважительное отношение к мнению одноклассников.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность приближённых вычислений при измерениях и работе с реальными данными.
- Проявляют готовность спокойно анализировать ошибку и исправлять собственное решение.
- Развивают учебную самостоятельность, выбирая базовый или повышенный уровень задания.
- Формируют ответственное отношение к точности математической записи.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и совместно планируют алгоритм её решения.
- Извлекают информацию из таблицы квадратов и используют её для построения границ числа.
- Сравнивают способы решения, аргументируют выбор точности и проверяют достоверность результата.
- Работают в паре, распределяют действия, используют математическую речь и осуществляют самоконтроль.
Предметные
- Знают смысл записи $\sqrt{a}\approx b$ и понимают, что приближённое значение может отличаться от точного.
- Умеют находить два соседних числа, между квадратами которых находится подкоренное число.
- Умеют уточнять значение квадратного корня до десятых и сотых.
- Умеют записывать двойное неравенство и проверять полученный результат возведением в квадрат.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения приближённых значений для решения практических задач.
- Проявляют познавательный интерес к поиску способа вычисления без готовой формулы.
- Осознают необходимость точности и аккуратности при математических вычислениях.
- Принимают возможность ошибки как этап проверки и улучшения решения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе возникшего затруднения.
- Планируют последовательность сравнения квадратов и уточнения границ.
- Сверяют результат с эталоном и выявляют место ошибки.
- Оценивают степень достижения цели по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Сравнивают числа и их квадраты, устанавливают причинно-следственную связь.
- Строят математическую модель в виде двойного неравенства.
- Выделяют существенные шаги алгоритма и применяют их к новым примерам.
- Используют таблицу квадратов, вычислительные приёмы и проверку результата.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру, почему число расположено между выбранными границами.
- Задают уточняющие вопросы и корректно возражают при обсуждении решения.
- Распределяют роли в паре: вычислитель, проверяющий, затем меняются ролями.
- Формулируют общий вывод и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с проблемным примером $\sqrt{7}$, таблицей квадратов целых чисел и шкалой от 2 до 3.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «нахожу границы», «уточняю до десятых», «проверяю результат».
- Распечатать мини-эталон алгоритма по одному экземпляру на парту.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному набору на ученика.
- На доске заранее оставить место для темы, алгоритма и двойного неравенства.
- Подготовить калькуляторы для добровольной проверки после выполнения основной части, не используя их как замену рассуждению.
- Подготовить таймер и проектор либо интерактивную доску.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость приближённых вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и организует приём «Готовность к исследованию»: «Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня мы не получим готовое правило сразу, а попробуем сами открыть способ вычисления. На доске записано число $\sqrt{7}$. Как вы думаете, можно ли быстро назвать его точное значение?» | Проверяют готовность, рассматривают запись $\sqrt{7}$ и отвечают: «Точного целого значения нет», «Можно определить, между какими числами оно находится». | 1 мин | Учитель показывает на экране квадрат со стороной $\sqrt{7}$ см: «Представьте, что нужно изготовить квадрат площадью 7 квадратных сантиметров. Как узнать длину его стороны, если точное значение корня не выражается целым числом? Где в такой ситуации допустимо приближение?» | Предполагают: «Можно измерить примерно», «Нужно найти число, квадрат которого близок к 7», приводят примеры измерений и расчётов. | 1 мин | Учитель формулирует проблемный вопрос: «Как найти приближённое значение квадратного корня с заранее заданной точностью и доказать, что оно достаточно точное? Запишите дату и тему, а в конце урока мы вернёмся к этому вопросу». | Записывают дату и тему урока, формулируют личную цель: «Научиться находить корень с точностью до десятых или сотых». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что корень может не иметь удобного точного значения, но это не мешает использовать его в вычислениях. Сначала вспомним, какие знания помогут нам построить границы для такого числа».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать таблицу квадратов и свойства квадратного корня, необходимые для поиска границ.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математическая разминка»: «Запишите квадраты чисел от 1 до 5. Затем сравните: какое число находится между 4 и 9, между 9 и 16, между 16 и 25? Почему сравнение квадратов помогает сравнить сами неотрицательные числа?» | Выписывают $1^2=1$, $2^2=4$, $3^2=9$, $4^2=16$, $5^2=25$; отвечают: «Число 7 находится между 4 и 9», «Для неотрицательных чисел большему числу соответствует больший квадрат». | 3 мин | Учитель записывает на доске $4<7<9$ и спрашивает: «Что можно сказать о квадратном корне из 7? Обоснуйте ответ двойным неравенством. А теперь попробуйте расположить $\sqrt{20}$ между соседними целыми числами». | Записывают $2<\sqrt{7}<3$ и объясняют, что $2^2<7<3^2$; для второго примера получают $4<\sqrt{20}<5$, поскольку $16<20<25$. |
Запись в тетрадях
$2<\sqrt{7}<3$, так как $2^2<7<3^2$. Для любого положительного $a$, если $n^2<a<(n+1)^2$, то $n<\sqrt{a}<n+1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились находить целые границы корня. Но промежуток от 2 до 3 слишком широкий, если нужно назвать значение с точностью до десятых. Сейчас выясним, как разделить его на более узкие части».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: зафиксировать затруднение и совместно спланировать открытие алгоритма уточнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников | |||
|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Самостоятельно за 30 секунд предположите, чему примерно равен $\sqrt{7}$. Затем обсудите с соседом, как проверить предположение $2,6$ или $2,7$. Не называйте только ответ — объясните, какие квадраты нужно вычислить». | Сначала записывают личную гипотезу, затем 1 минуту обсуждают в парах и предлагают варианты: «Нужно сравнить $2,6^2$ и $2,7^2$ с 7». | 2 мин | Учитель фиксирует на доске разные предложения и задаёт вопросы: «Какие числа будем проверять? Как понять, что десятичная цифра выбрана верно? Какой порядок действий позволит не перебирать числа хаотично?» | Формулируют план: найти целые границы, проверить десятые доли, выбрать отрезок, затем при необходимости проверить сотые; предлагают цель: «Научиться уточнять корень сравнением квадратов». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Затруднение состоит не в том, чтобы угадать число, а в том, чтобы доказать его положение между точными границами. Мы построили план: границы — проверка десятых — запись результата. Переходим к открытию способа».
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм нахождения приближённого значения квадратного корня до десятых и сотых.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4 мин | Учитель организует исследование: «Рассмотрим $\sqrt{7}$. Мы уже знаем, что $2<\sqrt{7}<3$. Проверим десятые. Вычислим $2,6^2=6,76$ и $2,7^2=7,29$. Запишем сравнение $6,76<7<7,29$. Между какими числами теперь находится корень? Обратите внимание: мы не утверждаем, что корень равен 2,6, а устанавливаем границы». | Выполняют вычисления в тетрадях, отвечают: «$2,6<\sqrt{7}<2,7$», объясняют, что $2,6^2<7<2,7^2$. | 3 мин | Учитель продолжает: «Если нужна точность до сотых, уточним границу. Проверим $2,64^2=6,9696$ и $2,65^2=7,0225$. Запишите двойное неравенство и определите, какое значение можно взять с точностью до сотых». | Вычисляют квадраты, записывают $2,64<\sqrt{7}<2,65$ и формулируют: «$\sqrt{7}\approx2,65$ с точностью до сотых», уточняя, что запись зависит от принятого правила округления и найденных границ. | 3 мин | Учитель показывает на доске алгоритм и проговаривает его: «Первый шаг — найти соседние целые границы. Второй — проверить десятичные числа нужного разряда. Третий — записать двойное неравенство. Четвёртый — оформить приближённое значение и указать точность. Пятый — проверить результат возведением в квадрат». Учитель спрашивает: «Почему нельзя написать просто $\sqrt{7}=2,65$?» | Сверяют свои записи с алгоритмом, отвечают: «Потому что 2,65 — приближённое значение, а не точное равенство», выделяют этап проверки. |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) найти соседние целые числа, между квадратами которых находится $a$; 2) подобрать десятичные границы; 3) сравнить их квадраты с $a$; 4) записать двойное неравенство; 5) указать приближённое значение и точность. Пример: $2,64<\sqrt{7}<2,65$, поэтому $\sqrt{7}\approx2,65$ с точностью до сотых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы открыли не таблицу готовых ответов, а способ доказательного уточнения. Теперь проверим его на новом числе, сначала вместе, затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм в паре с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки с заданиями для пар: «Выполните исследование числа $\sqrt{10}$. Сначала найдите целые границы, затем проверьте числа 3,1 и 3,2. Один ученик выполняет вычисления, второй проверяет и задаёт вопрос: “Почему эта граница подходит?” Через минуту поменяйтесь ролями». | В парах вычисляют $3,1^2=9,61$ и $3,2^2=10,24$, записывают $3,1<\sqrt{10}<3,2$ и проговаривают обоснование. | 3 мин | Учитель просит две пары представить решения и задаёт уточнение: «Какое приближённое значение можно записать с точностью до десятых? Что изменится, если нужно получить сотые?» Учитель корректирует запись на доске. | Представляют решения: «$\sqrt{10}\approx3,2$ с точностью до десятых». Объясняют, что для сотых необходимо дополнительно проверить числа между 3,1 и 3,2. | 2 мин | Учитель предлагает выбрать одно из двух заданий: «Вариант А: найти значение $\sqrt{18}$ с точностью до десятых. Вариант Б: найти значение $\sqrt{18}$ с точностью до сотых. Выберите уровень, который позволит вам работать самостоятельно, но с усилием». | Выбирают вариант, находят границы $4<\sqrt{18}<5$, затем выполняют уточнение; сверяют рассуждение с партнёром. |
Эталон решения
Для $\sqrt{18}$: $4^2=16<18<25=5^2$, значит $4<\sqrt{18}<5$. До десятых: $4,2^2=17,64<18$, $4,3^2=18,49>18$, поэтому $4,2<\sqrt{18}<4,3$ и $\sqrt{18}\approx4,2$ с точностью до десятых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы убедились, что алгоритм работает для разных подкоренных чисел. Теперь каждый проверит себя без подсказки, а затем сравнит решение с эталоном».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать самостоятельное применение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные карточки трёх уровней: «Выполните обязательное задание и при готовности переходите к повышенному. Уровень 1: найти $\sqrt{12}$ и $\sqrt{27}$ с точностью до десятых. Уровень 2: найти $\sqrt{12,5}$ с точностью до сотых. Уровень 3: объяснить, какое из чисел 3,5 и 3,6 является более точным приближением к $\sqrt{13}$, не используя калькулятор. Записывайте не только ответ, но и границы». | Индивидуально находят границы и сравнивают квадраты. Для первого задания получают $3,4<\sqrt{12}<3,5$ и $5,1<\sqrt{27}<5,2$; выполняют выбранное усложнение. | 2 мин | Учитель выводит эталон на доску: «Проверьте каждую строку по трём критериям: есть ли целые границы, верно ли вычислены квадраты, указана ли точность. Ошибку обозначьте карандашом, рядом запишите исправление». | Сверяют решения с эталоном, отмечают место ошибки и самостоятельно исправляют вычисление или знак неравенства. | 2 мин | Учитель проводит «Светофор»: «Покажите зелёный стикер, если можете найти корень до десятых без помощи; жёлтый — если получается с подсказкой; красный — если пока трудно определить границы. По цвету выберите вопрос для короткой консультации». | Показывают стикер, формулируют вопрос: «Мне трудно выбрать десятые», «Я ошибаюсь при возведении в квадрат», либо фиксируют готовность к усложнению. |
Эталон решения
Для $\sqrt{12}$: $3^2=9<12<16=4^2$, затем $3,4^2=11,56<12$ и $3,5^2=12,25>12$, значит $3,4<\sqrt{12}<3,5$, поэтому $\sqrt{12}\approx3,5$ с точностью до десятых. Для $\sqrt{27}$: $5^2=25<27<36=6^2$, $5,1^2=26,01<27$, $5,2^2=27,04>27$, значит $\sqrt{27}\approx5,2$ с точностью до десятых.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная проверка показала, что главное место ошибки — не сам квадратный корень, а выбор и проверка границ. Осталось связать новый алгоритм с практической задачей и сформулировать, что именно мы теперь умеем».
Этап 7. Включение в систему знаний, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: применить алгоритм в жизненном контексте, оценить достижение цели и сообщить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает практический мини-кейс: «Площадь квадратной плитки равна $0,5\ \text{м}^2$. Длина её стороны равна $\sqrt{0,5}$ м. Без калькулятора определите её приблизительно до десятых. Между какими числами расположится сторона?» | Сравнивают $0,7^2=0,49$ и $0,8^2=0,64$, записывают $0,7<\sqrt{0,5}<0,8$ и делают вывод: «Длина стороны примерно 0,7 м». | 2 мин | Учитель раздаёт лист самооценки и задаёт вопросы: «Что было первым шагом алгоритма? Как доказать, что приближение разумно? Какая ошибка чаще всего встречалась?» Учитель предлагает завершить одно предложение: «Теперь я могу…». | Заполняют лист самооценки, отвечают: «Сначала ищу целые границы», «Сравниваю квадраты», «Нельзя ставить знак равенства вместо приближения». | 1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень и, если хотите, добавьте повышающий или дополнительный. Перед выходом ответьте на контрольный вопрос: почему для $\sqrt{7}$ верно $2,6<\sqrt{7}<2,7$?» | Записывают домашнее задание, устно объясняют контрольный вопрос: «Потому что $2,6^2<7<2,7^2$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы сами открыли способ нахождения приближённых значений квадратного корня: от целых границ к десятым и сотым. Не забывайте различать точное равенство и приближение и обязательно проверяйте границы возведением в квадрат. На следующем уроке продолжим применять приближённые вычисления в более сложных задачах».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все обязательные задания, найдены целые и десятичные границы, вычисления квадратов записаны корректно, указана требуемая точность и выполнена проверка.
- «4» — верно выполнено большинство заданий, алгоритм применён правильно, но допущена одна вычислительная ошибка или неполно оформлена проверка.
- «3» — найдены целые границы хотя бы для одного числа и показано понимание сравнения квадратов, однако уточнение до десятых выполнено с помощью учителя или содержит две ошибки.
- Ниже базового уровня — не определены границы или нарушена логика сравнения; ученик получает индивидуальное задание на восстановление алгоритма.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг алгоритма нахождения приближённого значения квадратного корня? | Проверка понимания структуры алгоритма и предупреждение механического подбора десятичных чисел. |
Как доказать, что $2,6<\sqrt{7}<2,7$? | Выявление умения связывать двойное неравенство с квадратами границ. |
На каком шаге вы сегодня испытывали затруднение? | Выявление индивидуальных точек затруднения для последующей коррекции. |
Где в жизни может понадобиться приближённое значение корня? | Осознание практической значимости темы и проверка личностной мотивации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились находить приближённые значения квадратного корня не угадыванием, а последовательным сравнением квадратов. Вы увидели, что точность результата зависит от того, насколько узкими являются найденные границы. Типичная ошибка — записать знак равенства там, где требуется знак приближения, или забыть указать точность. На следующем уроке мы применим этот алгоритм в задачах с измерениями и вычислениями».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на нахождение $\sqrt{a}$ с точностью до десятых для подкоренных чисел от 5 до 50; для каждого записать целые границы, два сравнения квадратов и приближённый ответ. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на правильность границ, знаки неравенств и указание точности. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 задания на нахождение квадратных корней с точностью до сотых, включая одно подкоренное число, записанное десятичной дробью; оформить подробное обоснование. | Развивает умение последовательно уточнять границы; проверить аккуратность вычисления квадратов десятичных чисел. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о стороне квадрата или диагонали прямоугольника, в которой требуется найти квадратный корень и округлить результат до десятых; объяснить выбор точности. | Формирует функциональную и математическую грамотность; проверить связь между условием, формулой, приближением и единицами измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Почему для нахождения границ квадратного корня сравнивают квадраты чисел? Чем отличается запись $\sqrt{a}=b$ от записи $\sqrt{a}\approx b$? Какие два действия обязательно выполнить после выбора десятичного приближения?»
