Умножение алгебраических дробей
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться умножать алгебраические дроби, предварительно раскладывая многочлены на множители и сокращая дробь, а также выполнять проверку допустимых значений переменных.
- Научиться формулировать правило умножения алгебраических дробей и применять его при решении не менее четырёх примеров.
- Закрепить навыки разложения многочленов на множители и сокращения дробей.
- Развивать умение анализировать выражение, выбирать рациональный порядок действий и объяснять преобразования.
- Воспитывать аккуратность математической записи, самостоятельность и готовность аргументировать собственное решение.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют ответственное отношение к точности математической записи и проверке полученного результата.
- Осознают практическую ценность алгоритмов преобразования выражений для дальнейшего изучения функций, уравнений и математического моделирования.
- Формируют положительную мотивацию к самостоятельному поиску способа решения.
- Принимают возможность выбора уровня сложности задания и оценивают собственный прогресс.
- Развивают готовность спокойно анализировать ошибку и использовать её для коррекции решения.
Метапредметные
- Извлекают необходимую информацию из записи выражения и преобразуют её в последовательность действий.
- Планируют решение, контролируют промежуточные шаги и проверяют ограничения на переменные.
- Сравнивают разные способы умножения и обосновывают выбор наиболее рационального.
- Формулируют математические выводы в устной и письменной форме.
- Используют символическую запись как средство моделирования и коммуникации.
Предметные
- Знать правило умножения алгебраических дробей и условие существования дроби.
- Уметь раскладывать числители и знаменатели на множители перед умножением.
- Уметь сокращать произведение алгебраических дробей с указанием недопустимых значений переменной.
- Уметь выполнять умножение дробей с многочленами и одночленами.
- Уметь находить и исправлять ошибки в решении, связанные с сокращением слагаемых.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель урока через выявленное затруднение при преобразовании дробных выражений.
- Проявляют самостоятельность при выборе базового или повышенного задания.
- Осознают значение аккуратной записи для достоверности математического результата.
- Принимают конструктивную обратную связь и используют её для исправления ошибок.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную задачу на основе анализа примера.
- Планируют порядок действий: область допустимых значений, разложение на множители, умножение, сокращение.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по эталону.
- Находят ошибку, объясняют её причину и корректируют решение.
- Оценивают степень достижения цели по результатам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки алгебраической дроби.
- Применяют формулы разложения на множители и свойства степеней.
- Сравнивают правильное сокращение множителей с ошибочным сокращением слагаемых.
- Строят алгоритм умножения на основе аналогии с обыкновенными дробями.
- Проверяют результат подстановкой допустимого числового значения.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру назначение каждого шага решения.
- Формулируют вопросы по непонятному преобразованию.
- Аргументируют, почему сокращение слагаемых является ошибкой.
- Согласовывают общий вариант правила в паре.
- Корректно оценивают математическое рассуждение одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску и мел или маркеры; заранее оставить свободное место для записи алгоритма и эталона решения.
- Подготовить для каждого ученика тетрадь, ручку, линейку; дополнительные материалы и карточки не используются.
- Записать на доске до начала урока два выражения для актуализации: $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}$ и $\frac{x+2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x+3}$.
- Подготовить на доске памятку: «ОДЗ → разложить на множители → перемножить → сократить → записать ответ».
- Заранее продумать три варианта самостоятельной работы: обязательный, повышающий и дополнительный; задания записываются учителем на доске.
- Подготовить линейку для выделения множителей и цветной мел для обозначения сокращаемых множителей.
- Подготовить список контрольных вопросов для устной проверки в конце урока.
- Проверить, что на доске достаточно места для записи решений учеников и итоговой рефлексии.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, показывающую необходимость нового способа преобразования дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность к работе: тетрадь открыта, ручка лежит справа, на доске хорошо видны записи. Сегодня мы будем не просто выполнять действия, а искать способ сделать сложное выражение короче и понятнее. В конце урока каждый сможет выбрать задание по силам и проверить себя." | Проверяют готовность, записывают дату и оставляют место для темы урока. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $\frac{x+2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x+3}$ и говорит: "Посмотрите на это произведение. Какие части можно было бы сократить? Можно ли сразу зачеркнуть $x-1$ в разных дробях? А что обязательно нужно указать до сокращения? Сегодня нам предстоит выяснить, как выполнить такое преобразование без потери условий." | Рассуждают, предполагают: "Можно сократить множители $x-1$", "Нужно указать, что $x\neq1$", формулируют затруднение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что внешне знакомое действие требует аккуратности: сначала нужно понять, что является множителем, и проверить допустимые значения. Теперь восстановим знания, которые помогут нам открыть новый алгоритм."
Этап 2. Актуализация опорных знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать правила умножения дробей, разложения многочленов на множители и сокращения алгебраических дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала самостоятельно вспомните правило умножения обыкновенных дробей. Запишите его одной фразой. Затем сравните формулировки с соседом и выберите наиболее точную." | Записывают правило, обсуждают в парах, формулируют: "Чтобы умножить дроби, нужно перемножить числители и знаменатели". |
2 мин | Учитель записывает $\frac{3}{5}\cdot\frac{10}{9}$ и спрашивает: "Как выполнить вычисление рационально? Что можно сделать до перемножения? Объясните, почему сокращение допустимо именно здесь." | Устно сокращают $10$ и $5$, затем $3$ и $9$, получают $\frac{2}{3}$; объясняют, что сокращают общие множители числителя и знаменателя. |
2 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Разложите на множители выражения $x^2-9$, $x^2+5x$, $2x+6$. Назовите формулы или вынесенный общий множитель, который использовали." | Отвечают: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2+5x=x(x+5)$, $2x+6=2(x+3)$; называют разность квадратов и вынесение общего множителя. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили три опоры: умножение числителей и знаменателей, разложение на множители и сокращение общих множителей. Теперь проверим, достаточно ли этого для алгебраических дробей и какой шаг нельзя пропускать."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить ошибочный способ сокращения и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает два решения: $\frac{x+2}{x-1}\cdot\frac{x-1}{x+3}=\frac{x+2}{x+3}$ и $\frac{x+2}{x+3}\cdot\frac{x-1}{x-1}=\frac{x+2}{x+3}$. "Оба рассуждения выглядят похоже. Какое действие действительно выполнено? Можно ли сокращать выражения $x+2$ и $x+3$ как слагаемые? Найдите место, где требуется осторожность." | Сравнивают записи, замечают необходимость объединить дроби в произведение множителей, отвечают: "Сокращать можно только множители, а не отдельные слагаемые". |
2 мин | Учитель направляет формулирование цели: "Закончите фразу: к концу урока я смогу... Какие шаги должны войти в наше правило? Запишем общий план на доске и будем проверять его по ходу работы." | Формулируют цель: "умножать алгебраические дроби, раскладывать на множители, сокращать и учитывать ОДЗ"; предлагают последовательность действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема определена: нельзя механически сокращать любые похожие записи. Нам нужен точный алгоритм, который объясняет, что делать с числителями, знаменателями и ограничениями на переменную. Переходим к его открытию."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести правило умножения алгебраических дробей и применить его к выражению с разложением многочленов на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель обращается к классу: "Начнём с общего вида. Если числители и знаменатели — выражения, то аналогия с обыкновенными дробями подсказывает: числители перемножаются между собой, знаменатели — между собой. Запишем: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, где $b\neq0$ и $d\neq0$. Почему после этого часто нельзя сразу остановиться?" | Записывают формулу, отвечают: "Произведение можно сократить после разложения на множители", "Нужно проверить, что знаменатели не равны нулю". |
4 мин | Учитель подробно разбирает пример: "Рассмотрим $\frac{x^2-9}{x^2-4}\cdot\frac{x-2}{x+3}$. Сначала фиксируем ОДЗ: $x^2-4\neq0$, значит $x\neq2$ и $x\neq-2$; кроме того, $x+3\neq0$, значит $x\neq-3$. Теперь разложим: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Получаем произведение множителей и сокращаем только множители." | Записывают преобразования, проговаривают: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x-2}{x+3}=\frac{x-3}{x+2}$, фиксируют ограничения $x\neq2,-2,-3$. |
3 мин | Учитель задаёт вопрос Сократовского диалога: "Какие пять шагов повторились? Что произойдёт, если в числителе останется сумма? Можно ли сократить $x+3$ в выражении $x+3$ и $x+2$? Сформулируйте правило своими словами." | Называют шаги: ОДЗ, разложение, умножение, сокращение, запись ответа. Отвечают: "Сумму сначала нужно представить как произведение, если это возможно"; формулируют правило. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают: «Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Перед преобразованием находят ОДЗ. Многочлены по возможности раскладывают на множители, затем сокращают только общие множители и записывают ответ с ограничениями на переменную».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто: алгебраическая дробь подчиняется тому же принципу, что и обыкновенная, но требует разложения на множители и контроля ОДЗ. Теперь проверим алгоритм на примерах с проговариванием каждого шага."
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм на двух примерах и предупредить типичные ошибки сокращения слагаемых.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает $\frac{2x}{x+1}\cdot\frac{x^2-1}{4x}$ и говорит: "Работаем по цепочке. Первый ученик называет ограничения, второй — разложение, третий — возможные сокращения, четвёртый — итог. Не пропускайте объяснение, почему каждый шаг разрешён." | Называют $x\neq-1$ и $x\neq0$; раскладывают $x^2-1=(x-1)(x+1)$; сокращают $x$, $x+1$; получают $\frac{x-1}{2}$. |
2 мин | Учитель предлагает пример $\frac{x^2+3x}{x^2-9}\cdot\frac{x-3}{x}$. "Подумайте, какие выражения нужно разложить. Следите за тем, чтобы не сокращать отдельные слагаемые." | Разлагают $x^2+3x=x(x+3)$ и $x^2-9=(x-3)(x+3)$; указывают $x\neq0,3,-3$; получают $\frac{x}{x+3}$. |
2 мин | Учитель просит провести взаимопроверку по критериям «ОДЗ — разложение — сокращение — ответ»: "Обменяйтесь тетрадями с соседом на одну минуту. Поставьте знак рядом с каждым верным шагом и устно назовите одну сильную сторону решения." | Сверяют решения, отмечают четыре критерия, формулируют замечание: "Верно указано ОДЗ" или "Не разложен многочлен на множители". |
Эталон решения
$\frac{2x}{x+1}\cdot\frac{x^2-1}{4x}=\frac{2x}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{4x}=\frac{x-1}{2}$, где $x\neq0$ и $x\neq-1$. Второй пример: $\frac{x^2+3x}{x^2-9}\cdot\frac{x-3}{x}=\frac{x(x+3)}{(x-3)(x+3)}\cdot\frac{x-3}{x}=\frac{x}{x+3}$, где $x\neq0$, $x\neq3$, $x\neq-3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы убедились, что алгоритм работает, если соблюдать порядок действий. Особенно внимательно проверяем два места: разложены ли многочлены и не исчезли ли ограничения после сокращения. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно умеет применять новый способ."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель предлагает выбор: "Выберите один из трёх уровней. Обязательный уровень выполняют все, повышенный можно выбрать при готовности, дополнительный — для тех, кто хочет проверить себя на сложном выражении. В каждой работе обязательно записывайте ОДЗ и промежуточное разложение." | Выбирают уровень, переписывают задания выбранного варианта. |
6 мин | Учитель записывает задания на доске. Базовый: $\frac{x^2-16}{x+4}\cdot\frac{3}{x-4}$. Повышенный: $\frac{x^2-5x}{x^2-25}\cdot\frac{x+5}{2x}$. Дополнительный: $\frac{a^2-4a+4}{a^2-4}\cdot\frac{a+2}{a-2}$. Учитель напоминает: "Если выражение не раскладывается полностью, так и оставьте его. Не выполняйте сокращение слагаемых." | Решают индивидуально, записывают ОДЗ, раскладывают многочлены, сокращают множители, оформляют ответ. |
3 мин | Учитель открывает эталон на доске: базовый ответ $\frac{3}{1}=3$, где $x\neq-4,4$; повышенный ответ $\frac{x-5}{2(x-5)}=\frac12$, где $x\neq0,5,-5$; дополнительный ответ $1$, где $a\neq-2,2$. "Сверьте не только ответ, но и ограничения. Отметьте место первой ошибки и исправьте его." | Сверяют решение по шагам, выделяют ошибку при необходимости, исправляют запись, ставят себе отметку по критериям. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм уже можно применять без подсказки. Сейчас свяжем его с общей системой преобразований и выясним, какой шаг чаще всего определяет правильность всего решения."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, выявить типичные ошибки и оценить достижение цели урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Покажите мысленно или отметьте в тетради цветом свой уровень. Зелёный — могу выполнить все шаги сам; жёлтый — путаюсь в ОДЗ или разложении; красный — нужна совместная тренировка. Затем назовите один шаг, который считаете самым важным." | Оценивают себя, называют: "Самое важное — разложить на множители", "Нельзя забывать ОДЗ", "Сокращать можно только множители". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Что перемножаем при умножении дробей? Почему сначала раскладываем многочлен? Что нельзя сокращать? Какие значения переменной исключаем?" | Отвечают полными фразами: "Перемножаем числители и знаменатели"; "Разложение позволяет увидеть общие множители"; "Нельзя сокращать слагаемые"; "Исключаем значения, обращающие исходные знаменатели в ноль". |
1 мин | Учитель просит завершить фразу: "Сегодня я научился...; при решении мне нужно внимательнее..." и собирает устные ответы нескольких учеников. | Формулируют индивидуальный итог и называют следующий шаг для улучшения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы самостоятельно вывели и проверили правило умножения алгебраических дробей. Вы увидели, что правильный ответ начинается не с сокращения, а с анализа ОДЗ и разложения на множители. Запишите домашнее задание, выбрав уровень, который соответствует вашей сегодняшней уверенности."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, указаны ограничения на переменные, многочлены разложены корректно, сокращены только множители, запись последовательная и аккуратная.
- «4» — правильно выполнена основная часть преобразований, но допущена одна неточность в оформлении ОДЗ или промежуточной записи, не повлиявшая на общий способ решения.
- «3» — правильно применено правило умножения хотя бы в одном примере, но имеются ошибки в разложении на множители, ОДЗ или сокращении; решение можно восстановить после подсказки.
- Ниже «3» — алгоритм пока не освоен: ученик путает числители и знаменатели, сокращает слагаемые или не учитывает недопустимые значения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как сформулировать правило умножения алгебраических дробей одним предложением? | Проверка осознания основного предметного содержания урока. |
На каком шаге решения выражения $\frac{x^2-9}{x^2-4}\cdot\frac{x-2}{x+3}$ требуется наибольшая внимательность? | Выявление понимания роли разложения на множители и ОДЗ. |
Какую ошибку при сокращении дробей вы теперь сможете распознать? | Диагностика понимания различия между множителями и слагаемыми. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Формирование адекватной самооценки и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились умножать алгебраические дроби и увидели, что главный порядок действий таков: ОДЗ, разложение на множители, умножение, сокращение и запись ответа. Самая частая ошибка — сокращение слагаемых вместо множителей, поэтому всегда проверяйте структуру выражения. Вы уже умеете превращать громоздкое произведение в короткую дробь, сохраняя математический смысл записи. На следующем уроке мы продолжим преобразования дробных выражений и будем использовать этот алгоритм в более сложных комбинациях действий."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 примера на умножение алгебраических дробей: два выражения с разностью квадратов и два выражения с вынесением общего множителя. В каждом примере указать ОДЗ и выполнить сокращение множителей. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на ОДЗ, разложение и отсутствие сокращения слагаемых. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 примеров, содержащих произведение двух алгебраических дробей и несколько способов разложения многочленов; в двух примерах выполнить проверку результата подстановкой допустимого числового значения. | Развивает самостоятельный выбор способа преобразования и навык проверки результата. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных примера на умножение алгебраических дробей: один с полным сокращением, второй без сокращения, затем решить их и объяснить, почему выбранные значения переменной недопустимы. | Формирует умение создавать математические выражения, аргументировать ОДЗ и видеть структуру произведения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что перемножается при умножении алгебраических дробей? Зачем находить ОДЗ? Что можно сокращать? Какой первый шаг нужно выполнить, если числитель или знаменатель является многочленом?»
