Степень с целым показателем. Стандартный вид числа
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать положительные числа в стандартном виде $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, определять порядок числа и выполнять простейшие преобразования степеней с целым показателем.
- Образовательная задача: вывести и применить правила определения степени с нулевым и отрицательным целым показателем.
- Развивающая задача: развивать умение анализировать запись числа, выбирать рациональный способ вычисления и проверять результат по порядку величины.
- Коммуникативная задача: учиться объяснять ход рассуждений в паре, задавать уточняющие вопросы и аргументированно оценивать решение.
- Воспитательная задача: показать практическую ценность математической записи в естественных науках, технике и будущей профессиональной деятельности.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать значение математической точности при записи очень больших и очень малых величин.
- Проявлять познавательный интерес к применению степеней в физике, информатике и естественных науках.
- Принимать ответственность за самостоятельный выбор уровня задания и результат собственной работы.
- Формировать уважительное отношение к мнению одноклассников при обсуждении разных способов решения.
Метапредметные
- Уметь выделять существенные признаки стандартного вида числа и преобразовывать информацию из обычной записи в научную.
- Планировать решение, контролировать положение десятичной запятой и корректировать ошибочный результат.
- Работать с таблицей данных и объяснять связь математической модели с физической величиной.
- Участвовать в диалоге, формулировать вывод и аргументировать выбранный способ решения.
Предметные
- Знать определения $a^0=1$ при $a\ne0$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$.
- Уметь вычислять степени с целыми показателями и применять свойства степеней.
- Знать стандартный вид положительного числа $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$ и $n$ — целое число.
- Уметь записывать числа в стандартном виде, находить порядок числа и выполнять обратное преобразование.
- Уметь оценивать правдоподобие ответа по его порядку величины.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель освоения нового способа записи чисел.
- Осознают связь математических знаний с задачами науки, техники и будущей профессии.
- Оценивают собственную готовность применять правила без подсказки.
- Проявляют готовность спокойно принимать ошибку как источник дальнейшего обучения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность преобразования числа в стандартный вид.
- Используют самопроверку по критериям: коэффициент от 1 до 10, показатель целый, значение сохранено.
- Находят и исправляют ошибку в знаке показателя или положении запятой.
Познавательные УУД
- Сравнивают записи одного числа и выделяют общий математический принцип.
- Выводят правило отрицательной степени через связь деления и умножения степеней.
- Моделируют преобразование числа перемещением десятичной запятой.
- Анализируют данные естественно-научного контекста и оценивают порядок величины.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают решение в паре и формулируют общий вывод.
- Задают вопросы о знаке и величине показателя степени.
- Аргументированно сравнивают два способа преобразования.
- Корректно предлагают исправление ошибки одноклассника.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с величинами: масса бактерии, расстояние до звезды, размер клетки и скорость света.
- Распечатать карточки трёх уровней по одной на каждого ученика и карточки для работы в парах по одной на парту.
- Подготовить мини-таблицу с правилами $a^0=1$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ для вывода нового знания.
- Вывести на доску памятку: «1. Перенеси запятую. 2. Посчитай шаги. 3. Выбери показатель. 4. Проверь коэффициент».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и листы для билета на выход.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 5 минут для самостоятельной и парной работы.
- Распечатать таблицу с межпредметными данными по физике и биологии — по одной на группу из четырёх человек.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, маркеры, тетради, линейки и ручки.
- Освободить небольшой участок класса для физкультминутки; заранее выбрать безопасные упражнения без перемещения по кабинету.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в учебную деятельность и показать практическую проблему записи очень больших и очень малых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и линейки. Сегодня нам понадобятся внимание и готовность объяснять собственный способ решения. Вы сможете выбрать базовый или повышенный вариант самостоятельной работы." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа $0{,}00000000000000000016$ и $150000000000000000000$. "Попробуйте быстро прочитать эти записи. Почему учёные и инженеры редко используют такие длинные цепочки нулей? Где вы могли встретить подобные величины?" | Читают числа, предполагают: "Так легко ошибиться", "Такие записи встречаются в физике, информатике, биологии". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что обычная запись не всегда удобна. Сегодня мы найдём компактный и точный способ записывать очень большие и очень малые числа."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить правила действий со степенями и подготовить основу для введения целых показателей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске $2^3$, $10^4$, $10^0$ и спрашивает: "Что означает показатель степени? Как представить $10^4$ в виде произведения? Чему должна быть равна нулевая степень, если сохраняется правило $a^m:a^n=a^{m-n}$?" Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись». | Индивидуально формулируют ответ, затем обсуждают в парах. Отвечают: "$10^4=10\cdot10\cdot10\cdot10$", "$10^0=1$, потому что $10^3:10^3=10^0=1$". |
2 мин | Учитель предлагает вычислить $10^3:10^5$ двумя способами: "Сначала примените правило вычитания показателей, затем сократите произведение. Сравните результаты и объясните, почему появляется дробь." | Записывают $10^3:10^5=10^{-2}$ и одновременно $\frac{10^3}{10^5}=\frac{1}{10^2}$. Формулируют: "$10^{-2}=\frac{1}{10^2}$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили нулевую степень и увидели смысл отрицательного показателя. Теперь зафиксируем новое правило и применим его к реальным числам."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (3 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового способа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает сравнить записи $0{,}0000047$ и $4{,}7\cdot10^{-6}$. "Обе записи обозначают одно число. Какая из них удобнее? Как понять знак показателя без угадывания? Какой коэффициент допустим в стандартном виде? Сформулируйте цель урока и предложите план действий." | Обсуждают в парах и формулируют цель: "Научиться записывать числа в виде произведения числа от 1 до 10 и степени десяти". Предлагают план: определить коэффициент, посчитать перемещение запятой, выбрать знак показателя, проверить результат. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно не просто передвинуть запятую, а сохранить значение числа и объяснить знак показателя. Переходим к открытию правила."
Этап 4. Открытие нового знания (9 мин)
Цель этапа: вывести определение стандартного вида числа и алгоритм преобразования записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает пары: $45000=4{,}5\cdot10^4$ и $0{,}00032=3{,}2\cdot10^{-4}$. "Посмотрите, в каждом случае коэффициент записан одной цифрой перед запятой. В первом числе запятая переместилась влево на четыре позиции, во втором — вправо на четыре позиции. Как это связано со знаком показателя?" | Переносят запятую, считают позиции, отвечают: "Для большого числа показатель положительный, для числа меньше единицы — отрицательный". |
3 мин | Учитель формулирует и записывает определение: "Число записано в стандартном виде, если оно представлено как $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, а $n$ — целое число. Число $n$ называют порядком числа. Запишите определение и подчеркните два условия." | Записывают определение, выделяют условие для коэффициента и показатель степени, приводят пример $7{,}1\cdot10^3$. |
2 мин | Учитель предлагает проверить запись $45\cdot10^2$: "Можно ли считать её стандартным видом? Что нужно изменить, чтобы коэффициент оказался в нужном промежутке?" | Находят ошибку: коэффициент 45 не удовлетворяет условию. Исправляют: $45\cdot10^2=4{,}5\cdot10^3$. |
Запись в тетрадях
- $a^0=1$ при $a\ne0$.
- $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$.
- Стандартный вид: $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, $n\in\mathbb Z$.
- При числе больше 10 показатель положительный; при числе от 0 до 1 показатель отрицательный.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели определение и увидели, что знак показателя определяется направлением перемещения запятой. Теперь проверим новое правило сначала вместе, затем самостоятельно."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметное применение (4 мин)
Цель этапа: снять напряжение, сохранить внимание и связать стандартный вид числа с данными физики и биологии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Встаньте рядом с партой. На вдохе поднимите руки вверх, на выдохе опустите. Затем покажите руками направление движения запятой: вправо — шаг на месте вправо, влево — шаг на месте влево. Выполним четыре спокойных цикла." | Выполняют упражнения, соблюдая дистанцию и темп, проговаривают: "Большое число — показатель положительный; малое число — отрицательный". |
2 мин | Учитель раздаёт группам таблицу: диаметр клетки $2\cdot10^{-5}$ м, скорость света $3\cdot10^8$ м/с, масса пылинки $7\cdot10^{-7}$ кг. "Выберите одну величину, прочитайте её и объясните, почему стандартная запись удобнее обычной. Одна группа представляет ответ." | В группах выбирают величину, объясняют её смысл и отвечают: "Стандартная запись сокращает количество нулей и показывает порядок величины". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили работоспособность и увидели, что стандартный вид нужен не только на уроке алгебры. Теперь применим алгоритм к учебным заданиям и проверим точность вычислений."
Этап 6. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм преобразования чисел в стандартный вид через проговаривание каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает карточку с числами $720000$, $0{,}000091$ и $5{,}6\cdot10^3$. "Работаем в парах. Для каждого числа назовите коэффициент, число перемещений запятой и показатель. Запишите преобразование и взаимно проверьте по памятке." | В парах получают $7{,}2\cdot10^5$, $9{,}1\cdot10^{-5}$ и определяют, что третье число уже записано в стандартном виде. Проговаривают шаги. |
3 мин | Учитель разбирает ошибку на доске: ученик записал $0{,}00064=6{,}4\cdot10^4$. "Согласны ли вы? Не называйте только ответ — укажите, на каком шаге нарушен алгоритм, и предложите проверку умножением." | Находят ошибку в знаке показателя, исправляют: $0{,}00064=6{,}4\cdot10^{-4}$. Проверяют: $6{,}4\cdot0{,}0001=0{,}00064$. |
Эталон решения
$0{,}00064$: переносим запятую вправо до получения $6{,}4$; перенос выполнен на 4 позиции; исходное число меньше 1, поэтому показатель отрицательный; получаем $6{,}4\cdot10^{-4}$. Проверка: $6{,}4\cdot10^{-4}=6{,}4\cdot0{,}0001=0{,}00064$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает, если мы контролируем три признака: коэффициент от 1 до 10, целый показатель и сохранение значения. Переходим к самостоятельной проверке, где каждый выберет подходящий уровень."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение правилами степени с целым показателем и стандартного вида числа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке есть базовый и повышенный маршрут. Базовый выполняют все; кто готов проверить себя сложнее, добавляет повышенный пункт. Работайте молча, сначала решите, затем проверьте по памятке." | Выбирают маршрут, записывают номер карточки и приступают к работе. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый уровень: представить в стандартном виде $630000$, $0{,}0000082$, $4{,}9\cdot10^{-3}$. Повышенный уровень: вычислить $(10^{-2})\cdot(10^5)$ и объяснить результат; исправить запись $81\cdot10^{-4}$. | Индивидуально выполняют задания. Получают: $6{,}3\cdot10^5$, $8{,}2\cdot10^{-6}$, третья запись уже стандартная; $(10^{-2})\cdot(10^5)=10^3$; $81\cdot10^{-4}=8{,}1\cdot10^{-3}$. |
2 мин | Учитель выводит эталон и просит провести самопроверку: "Поставьте плюс рядом с верным решением, точку рядом с решением, которое требует исправления. Отметьте, где именно возникло затруднение: коэффициент, знак показателя или свойства степеней." | Сверяют решения, исправляют ошибки, отмечают затруднение в листе самооценки. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной алгоритм освоен. Осталось включить новое знание в систему и ещё раз ответить на вопрос, зачем нужен стандартный вид."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить индивидуальные затруднения и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Покажите зелёный стикер, если можете самостоятельно записать число в стандартном виде; жёлтый — если нужна ещё одна тренировка; красный — если пока не понимаете знак показателя. Объясните один выбранный цвет соседу." | Поднимают стикер, объясняют партнёру причину выбора, называют конкретное затруднение или успешный шаг. |
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Запишите одним предложением определение стандартного вида и преобразуйте $0{,}0000035$. Дополнительно ответьте: почему показатель отрицательный?" | Записывают: $3{,}5\cdot10^{-6}$, объясняют: "Запятая переместилась вправо на шесть позиций, исходное число меньше единицы". |
2 мин | Учитель формулирует домашнее задание: "Выберите уровень по таблице. В тетради обязательно запишите не только ответы, но и количество перемещений запятой. Перед выходом проверьте себя вопросами: коэффициент от 1 до 10? Показатель целый? Значение числа сохранилось?" | Записывают домашнее задание и контрольные вопросы, задают уточняющие вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы вывели правила целых показателей и научились компактно записывать очень большие и очень малые числа. На следующем уроке мы будем выполнять действия с числами в стандартном виде и оценивать порядок результата."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все три базовых задания и не менее двух повышенных, корректно определены знак и значение показателя, приведена проверка одного преобразования.
- "4" — верно выполнены все базовые задания, допущена не более одной ошибки в повышенном задании или оформлении проверки.
- "3" — верно выполнены не менее двух базовых заданий, определён стандартный вид хотя бы одного числа, но допущена ошибка в знаке показателя или количестве переносов запятой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a\cdot10^n$ и какие ограничения накладываются на $a$? | Проверка осознания определения стандартного вида. |
Как определить знак показателя степени по исходной записи числа? | Выявление понимания связи между величиной числа и направлением переноса запятой. |
На каком шаге вы сегодня ошибались или испытывали сомнение? | Выявление точек затруднения в алгоритме для последующей коррекции. |
Где стандартный вид числа может пригодиться вне урока алгебры? | Осознание практической и межпредметной значимости знания. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять длинные цепочки нулей компактной записью через степень десяти и вывели смысл отрицательного показателя. Самая частая ошибка — выбрать неверный знак показателя или оставить коэффициент больше 10. Поэтому всегда проверяйте направление переноса запятой и границы коэффициента. На следующем уроке мы будем умножать и делить числа, записанные в стандартном виде, и оценивать порядок результата."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 преобразований: три больших числа и два числа меньше единицы записать в стандартном виде; отдельно объяснить знак показателя в каждом случае. | Закрепляет алгоритм переноса запятой; при проверке обратить внимание на коэффициент от 1 до 10 и знак показателя. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на свойства степеней с целыми показателями, включая произведение и частное степеней десяти, и привести ответы к стандартному виду. | Формирует применение правил степеней и умение объединять несколько преобразований в одной записи. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить мини-карточку из трёх межпредметных примеров: величина из физики, биологии или информатики в обычной и стандартной записи, с кратким пояснением порядка числа. | Развивает создание математической модели, функциональную грамотность и оценку порядка величины. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как выглядит стандартный вид числа? Почему у числа меньше единицы показатель отрицательный? Как проверить, что перенос запятой выполнен верно?"
