Нахождение значений выражений, содержащих арифметический квадратный корень
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться находить значения выражений, содержащих арифметический квадратный корень, используя свойства корня и выполняя вычисления по алгоритму, с успешным решением не менее 4 из 5 заданий.
- Сформировать умение распознавать выражения, в которых значение арифметического квадратного корня можно вычислить точно, и находить значения таких выражений.
- Научиться преобразовывать выражения с корнями на основе свойств арифметического квадратного корня и порядка выполнения действий.
- Развивать умение объяснять ход решения, проверять результат и находить ошибку в готовом вычислении.
- Воспитывать ответственное отношение к математическим вычислениям, готовность аргументировать собственное решение и уважать иной способ рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к применению квадратных корней в математике и практических расчётах.
- Осознают значение аккуратных вычислений и проверки результата для учебной и будущей профессиональной деятельности.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и способа представления решения.
- Оценивают собственный прогресс и конструктивно относятся к затруднениям.
- Понимают ценность аргументированного математического ответа и сотрудничества.
Метапредметные
- Формулируют цель деятельности и планируют последовательность действий при вычислении выражения.
- Извлекают информацию из записи выражения, выделяют известные свойства и применяют их в нужной ситуации.
- Сравнивают два способа вычисления, анализируют ошибку и обосновывают более рациональный способ.
- Участвуют в диалоге, формулируют вопросы и объясняют решение с использованием математической терминологии.
- Осуществляют самопроверку по эталону и корректируют собственное решение.
Предметные
- Знать определение арифметического квадратного корня и условие существования выражения $\sqrt{a}$.
- Уметь находить значения корней из квадратов натуральных чисел и применять порядок выполнения действий.
- Уметь вычислять значения выражений вида $\sqrt{a}+b$, $\sqrt{a}-b$, $k\sqrt{a}$ и $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ в случаях, предусмотренных изученными свойствами.
- Уметь упрощать выражения с квадратными корнями и записывать решение пошагово.
- Уметь проверять допустимость подкоренного выражения и достоверность полученного результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную цель изучения способов вычисления выражений с корнями.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через анализ условия и подбор свойства.
- Осуществляют самооценку качества выполненной работы.
- Выбирают посильный или повышенный уровень задания с учётом собственных возможностей.
Регулятивные УУД
- Принимают и сохраняют учебную цель урока.
- Составляют алгоритм вычисления значения выражения.
- Контролируют порядок выполнения действий и корректность записи.
- Сверяют решение с эталоном, находят и исправляют ошибку.
- Оценивают результат по заданным критериям.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные элементы математической записи: подкоренное выражение, коэффициент, действия.
- Устанавливают связь между квадратом числа и значением арифметического квадратного корня.
- Классифицируют выражения по способу вычисления.
- Моделируют алгоритм в виде последовательности шагов.
- Анализируют неверное решение и объясняют причину ошибки.
Коммуникативные УУД
- Работают в паре, распределяя роли вычислителя и проверяющего.
- Формулируют полный устный комментарий к математическому действию.
- Задают уточняющие вопросы о выборе свойства или порядка действий.
- Аргументируют собственный способ решения.
- Принимают и корректно обсуждают альтернативные решения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске с определением арифметического квадратного корня, таблицей квадратов чисел от 1 до 15 и алгоритмом вычисления выражений.
- Распечатать диагностические карточки для этапа актуализации — по одной на каждого ученика, всего 25 экземпляров.
- Распечатать карточки для парной работы с тремя уровнями сложности — по одной карточке на пару, всего 13 экземпляров.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с заданиями минимального, базового и повышенного уровня — по одному на каждого ученика.
- Подготовить отдельный лист с эталоном самостоятельной работы для демонстрации после выполнения задания.
- Разложить на парты сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета для приёма «Светофор».
- Подготовить стикеры для рефлексии и карточку «Билет на выход» — по одной на каждого ученика.
- На доске заранее оставить место для темы урока, проблемного выражения и общего алгоритма.
- Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная доска, таймер, маркеры, раздаточные материалы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую значимость точного вычисления выражений с квадратными корнями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовы ли тетрадь, ручка и калькулятор не нужен — сегодня мы будем учиться рассуждать и считать точно. Посмотрите на доску: записано выражение $\sqrt{49}+3$. Как быстро получить его значение?" | Проверяют готовность, читают выражение, предлагают ответ: "10, потому что $\sqrt{49}=7$". |
2 мин | Учитель показывает на экране два выражения: $\sqrt{36}+\sqrt{64}$ и $\sqrt{25\cdot4}$. "Предположите, одинаково ли удобно вычислять эти выражения. Сегодня мы выясним, как выбирать рациональный порядок действий и не допускать ошибок." Учитель называет приём «Прогноз». | Индивидуально формулируют прогноз, затем обсуждают его с соседом 30 секунд и сообщают варианты: "Сначала можно найти отдельные корни"; "Во втором выражении удобно заметить полный квадрат". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же математическое выражение можно вычислять, внимательно выбирая порядок действий. Сейчас проверим, какие знания уже помогут нам, а где возникнет затруднение."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определение арифметического квадратного корня, таблицу квадратов и порядок выполнения действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт диагностические карточки: "Выполните четыре коротких задания самостоятельно. Вычислите $\sqrt{81}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{121}$ и определите, имеет ли смысл выражение $\sqrt{-9}$. Работайте две минуты, затем сверим ответы устно." | Решают задания в карточке и записывают: "$\sqrt{81}=9$, $\sqrt{0}=0$, $\sqrt{121}=11$, выражение $\sqrt{-9}$ в действительных числах не имеет смысла". |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседом. На доске появляются ответы. Если ответ отличается, не исправляйте молча — назовите место, где возник вопрос." Затем задаёт вопросы: "Какое число называют арифметическим квадратным корнем? Как проверить результат?" | Сверяют четыре ответа, подчёркивают возможную ошибку, формулируют определение: "Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа — это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Опорные знания у нас есть: мы умеем находить корни из полных квадратов и знаем ограничение на подкоренное выражение. Теперь посмотрим, что произойдёт, когда корень станет частью более сложного выражения."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (5 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение при вычислении составного выражения и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске выражение $2\sqrt{25}+\sqrt{36-20}$. "Попробуйте вычислить выражение. Не торопитесь: сначала проговорите, какие действия здесь видите. Какой вариант решения кажется вам естественным?" | Индивидуально выполняют попытку, называют шаги: "Сначала нужно вычислить $\sqrt{25}$ и $\sqrt{36-20}$, затем умножить первый корень на 2 и сложить результаты". |
3 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сравните свои записи. Где можно ошибиться? Можно ли сначала выполнить действие под вторым корнем? Как проверить ответ?" После обсуждения фиксирует на доске проблемный вопрос: «Как находить значения выражений, содержащих арифметический квадратный корень?» | Обсуждают решение в паре, называют возможные ошибки: "Можно забыть коэффициент 2 или нарушить порядок действий". Формулируют цель: "Научиться последовательно вычислять и упрощать выражения с квадратными корнями". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение связано не только с извлечением корня, но и с правильным чтением всей записи. Мы составим общий алгоритм, проверим его на примерах и затем самостоятельно применим."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать алгоритм нахождения значений выражений, содержащих арифметический квадратный корень.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель обращается к классу: "Разберём выражение $2\sqrt{25}+\sqrt{36-20}$. Сначала определим, какие действия выполняются внутри корня. Запишем: $\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4$. Затем найдём $\sqrt{25}=5$, умножим: $2\cdot5=10$, и выполним сложение: $10+4=14$. Почему нельзя заменить $\sqrt{36-20}$ на $\sqrt{36}-20$?" | Следят за записью, проговаривают порядок действий: "Сначала действие под корнем, затем извлечение корня, потом умножение и сложение". Объясняют: "Знак корня относится ко всему выражению $36-20$, поэтому нельзя отделять число 20". |
3 мин | Учитель демонстрирует второй пример: $\sqrt{9\cdot16}$. "Можно вычислить произведение под корнем: $\sqrt{144}=12$. Можно воспользоваться свойством: $\sqrt{9\cdot16}=\sqrt9\cdot\sqrt{16}=3\cdot4=12$. В обоих случаях получаем один результат. Выберите способ, который считаете понятнее, и объясните выбор." | Записывают оба способа, сравнивают их и формулируют вывод: "При неотрицательных множителях корень из произведения можно представить как произведение корней". |
3 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм: "Шаг 1 — проверить, имеют ли смысл подкоренные выражения. Шаг 2 — выполнить действия под знаком корня. Шаг 3 — извлечь корень из полного квадрата, если это возможно. Шаг 4 — выполнить оставшиеся действия по порядку. Шаг 5 — проверить результат. Применим алгоритм к выражению $3\sqrt{16}-\sqrt{25}+2$." | Составляют алгоритм в тетради и вместе с учителем вычисляют: $3\cdot4-5+2=9$. Один ученик объясняет решение у доски, класс проверяет каждый шаг. |
Запись в тетрадях
Записать определение арифметического квадратного корня и алгоритм: 1) проверить допустимость подкоренных выражений; 2) выполнить действия под корнем; 3) извлечь корни из полных квадратов; 4) выполнить оставшиеся действия по порядку; 5) проверить ответ.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не отдельный набор примеров, а универсальный алгоритм. Теперь проверим его в парной работе: один ученик будет вычислять, второй — контролировать порядок действий и задавать вопросы."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм при решении типовых выражений с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с заданиями трёх уровней: обязательное $\sqrt{144}+7$, базовое $2\sqrt{49}-\sqrt{16}$, повышенное $\sqrt{25\cdot36}-\sqrt{81}$. "Выберите обязательное и базовое задание, а затем по желанию выполните повышенное. В паре распределите роли: вычислитель и проверяющий." | Читают инструкцию, распределяют роли, выбирают последовательность выполнения. |
4 мин | Учитель сопровождает работу вопросами: "Что находится под знаком корня? Какое действие выполняется первым? Почему $\sqrt{25\cdot36}$ можно вычислить двумя способами? Проверяющий, не называйте сразу ответ — попросите партнёра объяснить шаг." | Решают: $\sqrt{144}+7=12+7=19$; $2\sqrt{49}-\sqrt{16}=14-4=10$; $\sqrt{25\cdot36}-\sqrt{81}=5\cdot6-9=21$. Проговаривают порядок действий и проверяют записи. |
2 мин | Учитель организует проверку: "Покажите зелёную карточку, если решение понятно, жёлтую — если нужен разбор одного шага, красную — если алгоритм пока не применяете самостоятельно. Разберём одну типичную ошибку: $\sqrt{25\cdot36}=25\cdot36$. Верно ли это?" | Поднимают сигнальные карточки, объясняют ошибку: "Корень нужно извлечь; значение выражения равно 30, а не 900". Исправляют запись в карточке. |
Эталон решения
Для выражения $\sqrt{25\cdot36}-\sqrt{81}$: $\sqrt{25\cdot36}=\sqrt{25}\cdot\sqrt{36}=5\cdot6=30$; $\sqrt{81}=9$; $30-9=21$. Ответ: $21$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В парной работе вы проверяли не только ответ, но и способ его получения. Теперь каждый покажет, насколько уверенно может применить алгоритм без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма и организовать самоконтроль.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы: "Выполните обязательные задания 1–3. Задание 4 выберите по желанию: оно требует сравнить два способа вычисления. Записывайте промежуточные действия, иначе невозможно будет найти место ошибки. Работайте самостоятельно." Задания: 1) $\sqrt{196}+5$; 2) $3\sqrt{36}-\sqrt{49}$; 3) $\sqrt{64-28}+\sqrt{9}$; 4) сравнить способы вычисления $\sqrt{16\cdot25}$. | Самостоятельно решают: $\sqrt{196}+5=19$; $3\sqrt{36}-\sqrt{49}=11$; $\sqrt{64-28}+\sqrt9=6+3=9$. Для задания 4 записывают два способа: $\sqrt{400}=20$ и $\sqrt{16}\cdot\sqrt{25}=4\cdot5=20$. |
3 мин | Учитель открывает на экране эталон: "Проверьте решение по шагам. Поставьте плюс рядом с верным действием, точку — рядом с местом сомнения. Если нашли ошибку, зачеркните только ошибочный шаг и запишите исправление." Учитель напоминает: "Самопроверка — это не поиск виноватого, а способ понять, какой шаг нужно потренировать." | Сверяют каждую строку с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают верные задания. Отмечают в листе: "Я умею вычислять корень из полного квадрата" или "Мне нужно повторить порядок действий". |
Эталон решения
1) $\sqrt{196}+5=14+5=19$. 2) $3\sqrt{36}-\sqrt{49}=3\cdot6-7=18-7=11$. 3) $\sqrt{64-28}+\sqrt9=\sqrt{36}+3=6+3=9$. 4) $\sqrt{16\cdot25}=\sqrt{400}=20$ или $\sqrt{16}\cdot\sqrt{25}=4\cdot5=20$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм можно применять без постоянной подсказки. Осталось связать его с общей системой знаний и сформулировать, какие действия особенно важны для безошибочного результата."
Этап 7. Включение в систему знаний и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы вычисления, осознать результат обучения и зафиксировать индивидуальные затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: "За одну минуту запишите три правила, которые помогут вычислить выражение с квадратным корнем, и одну типичную ошибку, которой нужно избегать." Затем просит двух учеников прочитать записи. | Записывают три правила и ошибку, например: "Сначала считаю под корнем; извлекаю корень из полного квадрата; соблюдаю порядок действий; нельзя отделять часть выражения от знака корня". |
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Ответьте письменно на два вопроса: чему равно $\sqrt{81-32}+1$ и какой шаг алгоритма вы считаете самым важным?" Организует самопроверку устно: $\sqrt{49}+1=8$. | Решают выражение по цепочке: $81-32=49$, $\sqrt{49}=7$, $7+1=8$. Записывают личный комментарий о самом сложном шаге и сдают билет. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: "Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно вычислить типовое выражение; жёлтую — если нужна тренировка; красную — если требуется индивидуальный разбор. Ваш сигнал не является оценкой, он помогает выбрать следующий шаг." | Поднимают карточку, формулируют короткий вывод: "Сегодня я научился...", "Мне нужно потренировать...". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы научились видеть в сложной записи последовательность понятных действий. Заберите с собой алгоритм и собственную отметку о затруднении: именно она подскажет, как эффективнее выполнить домашнюю работу."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все 4 задания самостоятельной работы, записаны промежуточные действия, корректно объяснены два способа вычисления выражения с произведением под корнем.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом соблюдён.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, есть понимание извлечения корня из полного квадрата, но нарушен порядок действий или пропущены промежуточные шаги.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о вычислении выражений с квадратными корнями? | Выявление осознанности нового алгоритма и ключевого правила. |
Какой шаг решения оказался самым сложным: действие под корнем, извлечение корня или порядок действий? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Как вы проверяли правильность своего ответа? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Какое задание вы готовы выбрать для дальнейшей тренировки? | Поддержка автономии и планирование индивидуальной учебной траектории. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились находить значения выражений, в которых арифметический квадратный корень является частью более сложной записи. Главное — не торопиться и выполнять действия последовательно: сначала анализировать подкоренное выражение, затем извлекать корень и только после этого выполнять остальные действия. Частая ошибка — забыть, к какой части выражения относится знак корня. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения с квадратными корнями и рассмотрим более сложные случаи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 выражения на нахождение значения: два выражения с корнями из полных квадратов и два выражения, где сначала нужно выполнить действие под знаком корня. Каждый пример записать пошагово. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на допустимость подкоренного выражения и порядок действий. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4–5 выражений, содержащих коэффициент перед корнем, сложение или вычитание корней и произведение под знаком корня, сравнив при необходимости два способа вычисления. | Формирует гибкость применения свойств корня; при проверке смотреть на обоснование выбранного способа и точность вычислений. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных выражения с квадратными корнями: одно должно иметь значение 10, другое — значение 20; решить их и кратко объяснить, почему каждое выражение имеет выбранное значение. | Развивает умение создавать математические модели и проверять их; при проверке учитывать корректность условия и полного решения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какое число является арифметическим квадратным корнем из $a$?», «Что выполняется первым в выражении $\sqrt{a-b}+c$?», «Как проверить результат вычисления выражения с корнем?». Ответьте на вопросы устно соседу и назовите один шаг алгоритма, который обязательно запишете дома.
