Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни, используя вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня, свойства произведения и дроби, и выполнить не менее 4 из 5 заданий практической работы без существенных ошибок.
- Закрепить свойства квадратного корня и применять их при упрощении числовых и буквенных выражений.
- Формировать умение выбирать рациональный способ преобразования выражения, объяснять последовательность действий и проверять результат.
- Развивать математическую речь, самоконтроль и способность аргументированно оценивать правильность решения.
- Воспитывать ответственность за результат индивидуальной работы и готовность сотрудничать при взаимопроверке.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию алгебраических выражений и видят практическую ценность точных вычислений.
- Осознают важность аккуратной записи преобразований для проверки результата и дальнейшего изучения алгебры.
- Развивают самостоятельность при выборе уровня домашнего задания и способа проверки решения.
- Формируют ответственное отношение к индивидуальному результату и корректное отношение к ошибкам одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают необходимую информацию из условия, выделяют структуру выражения и выбирают подходящее свойство корня.
- Планируют последовательность преобразований, контролируют промежуточные результаты и исправляют найденные ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня.
- Сотрудничают в парах при взаимопроверке, аргументируют оценку решения по заранее объявленным критериям.
Предметные
- Знать свойства квадратного корня: $[200~\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ при неотрицательных подкоренных выражениях и $[200~\sqrt{a^2}=|a|$.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить положительный множитель под знак корня.
- Уметь упрощать произведения и частные, содержащие квадратные корни, с учётом области допустимых значений.
- Уметь преобразовывать выражения с буквенными множителями при заданных условиях на переменные.
- Владеть алгоритмом проверки равенства исходного и преобразованного выражений.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную задачу: научиться упрощать выражения без потери условий и знаков.
- Осознают связь точных преобразований с решением уравнений, неравенств и практических расчётов.
- Проявляют готовность принимать конструктивную обратную связь и использовать её для коррекции решения.
- Оценивают собственную уверенность в применении свойств квадратного корня.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель практической работы и выбирают последовательность действий для её достижения.
- Проверяют допустимость преобразований и сопоставляют полученный результат с исходным выражением.
- Обнаруживают ошибку в знаке, подкоренном выражении или условии на переменную и исправляют её.
- Оценивают работу по критериям и определяют следующий шаг для устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Распознают в выражении полный квадрат, произведение, частное и множитель, который можно вынести из-под корня.
- Сравнивают несколько способов преобразования и выбирают более короткий и надёжный.
- Моделируют преобразование цепочкой равенств, сохраняя математическую корректность каждого шага.
- Обобщают алгоритм действий и переносят его на выражения с буквенными переменными.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру причину каждого преобразования, используя названия свойств.
- Задают уточняющие вопросы о знаке переменной и допустимости вынесения множителя.
- Согласовывают оценку решения с партнёром, опираясь на критерии, а не на личное впечатление.
- Корректно формулируют замечания и предлагают способ исправления ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $[200~\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$, $[200~\sqrt{a^2}=|a|$ и алгоритмом преобразования.
- Распечатать индивидуальные карточки трёх уровней: базового, повышающего и дополнительного — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для парного приёма «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Распечатать лист самооценки и критерии оценивания практической работы — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить сигнальные карточки зелёного, жёлтого и красного цвета — по одной на ученика.
- Вывести на экран или записать на доске задания для актуализации и контрольные вопросы выхода.
- Подготовить маркеры, магниты, таймер и чистые листы для взаимопроверки.
- Организовать рассадку парами так, чтобы учащиеся могли быстро обменяться карточками и сверить решения.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в практическую деятельность и показать необходимость грамотного выбора преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас практикум: мы не будем просто повторять формулы, а проверим, умеем ли применять их в разных выражениях. На доске записаны два результата: $3\sqrt 5$ и $\sqrt{45}$. Как вы думаете, могут ли они быть равными?" | Рассматривают запись, выдвигают предположения: "Да, потому что $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt5$". |
2 мин | Учитель продолжает: "Представьте, что выражение нужно быстро оценить или использовать в дальнейшем уравнении. Неподходящая форма может скрыть структуру, а ошибка со знаком изменит ответ. Сегодня вы сами выберете наиболее удобный способ преобразования и научитесь объяснять свой выбор. Покажите зелёную, жёлтую или красную карточку: насколько уверенно вы готовы работать с квадратными корнями?" | Показывают сигнальные карточки, формулируют ожидания: "хочу научиться выносить множитель", "нужно повторить свойства корня". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно и то же число можно записать в разных формах. Сейчас восстановим свойства, которые помогут выбирать удобную форму без ошибок."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратного корня и выявить типичные затруднения перед практической работой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске выражения $\sqrt{36}$, $\sqrt{12}$, $\sqrt{50}$ и говорит: "Работаем приёмом «Подумай — обсуди в паре — поделись». Сначала за 30 секунд упростите выражения самостоятельно. Затем сравните записи с соседом и назовите свойство, которое использовали. Почему в $\sqrt{12}$ мы выделяем множитель 4?" | Решают индивидуально, затем обсуждают в парах и отвечают: "$\sqrt{36}=6$, $\sqrt{12}=2\sqrt3$, $\sqrt{50}=5\sqrt2$; выделяем полный квадрат, потому что $12=4\cdot3$ и $50=25\cdot2$". |
3 мин | Учитель записывает на доске $\sqrt{x^2}$ и спрашивает: "Можно ли всегда заменить это выражение на $x$? От чего зависит знак? А как преобразовать $4\sqrt7$ под знак корня? Объясните каждый шаг." | Отвечают: "$\sqrt{x^2}=|x|$, потому что корень неотрицателен"; записывают $4\sqrt7=\sqrt{16\cdot7}=\sqrt{112}$ при положительном множителе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили главное ограничение: квадратный корень не бывает отрицательным, поэтому при буквенных преобразованиях важен знак переменной. Теперь найдём, какие действия нужно выполнять в каждом типе выражений."
Этап 3. Постановка практической задачи и алгоритма (5 мин)
Цель этапа: сформулировать алгоритм преобразования и критерии успешного выполнения практической работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточку с выражениями $\sqrt{72}$, $3\sqrt2$, $\frac{\sqrt{48}}{\sqrt3}$ и говорит: "Сравните эти три выражения. Для первого естественно вынести множитель, для второго — возможно внесение под корень, а для третьего — сначала применить свойство частного. Составьте в паре общий план действий из четырёх шагов." | Выделяют структуру выражений и предлагают план: определить вид выражения; разложить подкоренное число на множители или привести корни к удобному виду; выполнить преобразование; проверить знак и результат. |
3 мин | Учитель фиксирует на доске алгоритм и поясняет: "Первый шаг — определить цель формы. Второй — найти полный квадрат. Третий — применить свойство корня, не пропуская условия. Четвёртый — проверить ответ обратным действием или оценкой. В практической работе вы получите право выбора базовой или повышающей карточки, но сначала каждый выполняет обязательное задание." | Записывают алгоритм, задают вопросы о выборе карточки и критериях. Формулируют цель: "уметь преобразовывать выражения и объяснять каждый шаг". |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
1. Разложить подкоренное выражение на множители, один из которых является полным квадратом. 2. Применить свойство $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. 3. Вынести квадратный множитель из-под знака корня. 4. При буквенных выражениях учесть знак переменной и записать модуль при необходимости. 5. Выполнить проверку.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм у нас есть, а теперь проверим его на конкретных выражениях. Сначала решим вместе, затем вы будете принимать решения самостоятельно."
Этап 4. Практикум с разбором образца (8 мин)
Цель этапа: отработать преобразования с проговариванием основания каждого действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель записывает задачу: "Преобразуйте выражение $2\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt8$. Сначала определите, какие множители можно вынести. Не называйте только ответ — объясняйте действие." Учитель ведёт эвристическую беседу: "Какие полные квадраты выделим в 18, 50 и 8? Какие подобные радикальные слагаемые получатся?" | Записывают цепочку: $2\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt8=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{25\cdot2}+\sqrt{4\cdot2}=6\sqrt2-5\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$. Объясняют: "Подкоренные выражения после вынесения одинаковы, поэтому складываем коэффициенты". |
4 мин | Учитель предлагает вторую задачу: "Преобразуйте выражение $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}$. Сначала попробуйте применить свойство частного, затем проверьте результат через вынесение множителя." Учитель обращает внимание: "Почему нельзя сразу сократить числа под знаками корней как обычную дробь без объяснения?" | Решают: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$. Проверяют вторым способом: $\sqrt{75}=5\sqrt3$, поэтому $\frac{5\sqrt3}{\sqrt3}=5$. Формулируют: "Сокращение обосновано свойством частного и ненулевым знаменателем". |
Эталон решения
$2\sqrt{18}-\sqrt{50}+\sqrt8=2\sqrt{9\cdot2}-\sqrt{25\cdot2}+\sqrt{4\cdot2}=2\cdot3\sqrt2-5\sqrt2+2\sqrt2=3\sqrt2$. Для дроби: $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "В образце мы не складывали разные корни, а сначала привели их к одинаковой форме. Это правило станет главным ориентиром в самостоятельной работе: преобразуйте корни до тех пор, пока не увидите, что можно объединить."
Этап 5. Первичное закрепление в парах: «Найди ошибку» (6 мин)
Цель этапа: научиться обнаруживать и объяснять типичные ошибки при преобразовании выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с одним ошибочным решением и говорит: "Приём называется «Найди ошибку». Ваша задача — не просто зачеркнуть неверную строку, а указать нарушенное свойство и записать исправленный вариант. Обсуждайте решение шёпотом, затем подготовьте короткое объяснение." | Читают карточку, подчёркивают ошибочный шаг, называют причину: например, в записи $\sqrt{x^2}=x$ не учтён знак переменной или в записи $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ неверно применено свойство корня. |
4 мин | Учитель просит две пары представить решения и задаёт вопросы: "При каком условии запись $\sqrt{x^2}=x$ будет верной? Почему выражение $\sqrt{a+b}$ нельзя разложить на сумму корней? Как проверить исправленный результат?" Учитель фиксирует правильные формулировки на доске. | Представляют исправления: "$\sqrt{x^2}=|x|$ для любого действительного $x$, а $\sqrt{x^2}=x$ только при $x\ge0$"; "$\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b$ в общем случае"; проверяют преобразование подстановкой допустимого значения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки чаще всего возникают не в вычислениях, а в неверном выборе свойства и забытом условии. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно умеет применять алгоритм."
Этап 6. Самостоятельная практическая работа с самопроверкой (12 мин)
Цель этапа: выполнить индивидуальные преобразования на базовом и повышающем уровнях, провести проверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
7 мин | Учитель раздаёт обязательную карточку и говорит: "Работаем индивидуально. Записывайте не только ответ, но и цепочку преобразований. Выполните четыре задания: $\sqrt{108}$; $4\sqrt{12}-\sqrt{27}$; $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}$; $\sqrt{x^2y}$ при $x\ge0$, $y\ge0$. После этого выберите одно повышающее задание: преобразовать $3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5$ или объяснить, при каких условиях верно $\sqrt{a^2b}=a\sqrt b$." | Индивидуально решают, записывают условия на переменные и промежуточные шаги. Получают базовый или повышающий вариант по выбору, при затруднении используют формулы на доске. |
3 мин | Учитель открывает эталон и говорит: "Проверьте работу по шагам, а не только по последней строке. За каждое верное преобразование поставьте знак плюс, ошибочный шаг аккуратно обведите и рядом запишите, какое свойство нужно повторить. Не исправляйте работу молча — оставьте видимой первоначальную запись." | Сверяют решения с эталоном, отмечают ошибки и самостоятельно исправляют их другим цветом. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь листами с соседом. Используйте критерии: правильное свойство, сохранение знаков и условий, аккуратная цепочка равенств. Запишите две сильные стороны и один совет по приёму «Две звезды и пожелание»." | Проверяют работу партнёра по критериям, записывают две сильные стороны и один конкретный совет, возвращают лист. |
Эталон решения
$\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3$. $4\sqrt{12}-\sqrt{27}=4\sqrt{4\cdot3}-\sqrt{9\cdot3}=8\sqrt3-3\sqrt3=5\sqrt3$. $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=\sqrt{49}=7$. При $x\ge0$, $y\ge0$: $\sqrt{x^2y}=\sqrt{x^2\cdot y}=x\sqrt y$. Повышенное: $3\sqrt{20}-2\sqrt{45}+\sqrt5=3\cdot2\sqrt5-2\cdot3\sqrt5+\sqrt5=\sqrt5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы выполнили основную практическую часть и увидели, где именно появляются ошибки. Осталось оценить не только количество верных ответов, но и собственное понимание алгоритма."
Этап 7. Рефлексия и подведение итогов (5 мин)
Цель этапа: осознать освоенные способы преобразования, выявить затруднения и определить дальнейший шаг.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает лист самооценки и говорит: "Закончите три фразы: «Я умею…», «Мне нужно повторить…», «При преобразовании я сначала…». Затем покажите карточку: зелёная — могу объяснить алгоритм, жёлтая — решаю с подсказкой, красная — требуется разбор." | Заполняют лист самооценки, формулируют: "Я умею выносить множитель из-под корня"; "Мне нужно повторить модуль"; "Сначала определяю вид выражения". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какой множитель можно вынести из $\sqrt{72}$? Почему $\sqrt{x^2}$ не всегда равно $x$? Когда можно складывать два корня? Назовите способ проверки преобразования." | Отвечают: "$6$, потому что $72=36\cdot2$"; "$\sqrt{x^2}=|x|$"; "после приведения к одинаковому подкоренному выражению"; "обратным преобразованием или подстановкой допустимого значения". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и говорит: "Выберите уровень, который соответствует вашей сегодняшней готовности. Выбор — это не отказ от работы, а способ поставить достижимую цель. Перед выходом проверьте, что записали тему, алгоритм и результат самооценки." | Записывают домашнее задание, сдают лист самооценки и при необходимости задают уточняющий вопрос. |
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно выполнены все четыре обязательных задания и выбранное повышающее задание; свойства корня названы корректно, условия на переменные учтены, цепочка преобразований записана аккуратно.
- "4" — верно выполнены не менее трёх обязательных заданий, в одном задании допущена вычислительная или оформительская ошибка, но способ преобразования выбран правильно.
- "3" — верно выполнены два обязательных задания, имеются затруднения в выборе свойства или приведении подобных радикальных слагаемых, однако основная идея алгоритма прослеживается.
- Ниже отметки «3» — работа требует доработки: не менее двух преобразований выполнены неверно или отсутствуют объяснения и условия применимости свойств.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг вы выполняете, увидев выражение с квадратным корнем? | Проверка понимания общего алгоритма и умения определить структуру выражения. |
Какое преобразование сегодня получилось наиболее уверенно? | Выявление освоенного способа: вынесение, внесение, преобразование дроби или приведение подобных радикалов. |
На каком шаге возникло затруднение и почему? | Выявление точек затруднения в выборе свойства, работе со знаком или вычислениях. |
Как вы проверяете, что полученное выражение равно исходному? | Оценка сформированности навыка самоконтроля и математического обоснования. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы не просто повторили формулы, а применили их как инструменты для преобразования выражений. Главная ошибка, которую важно не допускать, — складывать корни до приведения их к одинаковому виду или забывать модуль при работе с буквами. Проверяйте каждую цепочку равенств и условия на переменные. На следующем уроке мы используем эти преобразования при решении уравнений и задач, содержащих квадратные корни."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на вынесение множителя из-под знака корня, приведение подобных радикальных слагаемых и преобразование дроби с корнями. В каждом решении записать промежуточные равенства. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке смотреть на правильность выделения полного квадрата и сохранение знаков. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3 выражения с буквенными переменными при явно заданных условиях, включая одно выражение вида $\sqrt{x^2y}$ и одно произведение или частное корней; объяснить применённые свойства. | Формирует перенос алгоритма на буквенные выражения; при проверке обращать внимание на область допустимых значений и модуль. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два выражения, содержащих квадратные корни: одно должно упрощаться до $5\sqrt2$, другое — до рационального числа. Решить их и записать обратную проверку. | Развивает создание математической модели и понимание структуры преобразований; при проверке оценивать корректность конструкции и доказательство результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выделить полный квадрат под знаком корня?», «Почему при $[200~\sqrt{x^2}$ появляется модуль?», «В каких случаях корни можно складывать после преобразования?», «Какой способ проверки результата вы будете использовать дома?»
