Степень с целым показателем. Стандартная запись числа и размеры объектов окружающего мира
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать положительные числа в стандартном виде $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, выполнять переход от стандартной записи к обычной и применять степень с целым показателем при описании размеров реальных объектов.
- Познакомить учащихся с определением степени с целым показателем и связью отрицательного показателя с обратным числом.
- Сформировать умение преобразовывать числа в стандартную запись и выполнять простейшие действия с ними.
- Развивать математическую, естественно-научную и читательскую грамотность через анализ данных о размерах объектов окружающего мира.
- Воспитывать аккуратность вычислений, интерес к практическому применению алгебры, ответственность за результат парной работы.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математическая запись позволяет сравнивать чрезвычайно большие и малые величины в науке и повседневной жизни.
- Проявляют познавательный интерес к размерам объектов природы, техники и космоса.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу и объективную самооценку.
- Понимают значение точности записи числовых данных для будущей учебной и профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Извлекают информацию из таблицы, текста учебника и числовых данных, переводят её из одной формы записи в другую.
- Планируют последовательность преобразования числа, проверяют результат обратным действием.
- Сравнивают числа по порядку величины, объясняют выбор способа решения.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют и аргументируют общий вывод.
Предметные
- Знать определения степени с натуральным, нулевым и отрицательным целым показателем.
- Уметь представлять положительное число в виде $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$.
- Уметь переводить числа из стандартной записи в обычную и обратно.
- Уметь применять свойства степеней с целыми показателями в простейших вычислениях.
- Уметь использовать стандартную запись для описания размеров объектов окружающего мира.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают практическую ценность стандартной записи числа для науки, техники и медицины.
- Определяют личную цель на урок и оценивают степень её достижения.
- Проявляют готовность спокойно исправлять вычислительные ошибки.
- Уважительно относятся к иному способу рассуждения партнёра.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения.
- Планируют алгоритм перевода числа в стандартную запись.
- Осуществляют пошаговый самоконтроль по предложенному эталону.
- Находят ошибку в решении и корректируют запись показателя степени.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки стандартной записи числа.
- Устанавливают связь между отрицательным показателем и обратным числом.
- Классифицируют величины как большие и малые, сравнивают их порядки.
- Моделируют жизненную ситуацию с помощью числового выражения в стандартной записи.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают способ решения в паре и формулируют единый ответ.
- Задают уточняющие вопросы о коэффициенте и показателе степени.
- Аргументируют исправление ошибки в записи числа.
- Распределяют роли при выполнении практического задания и представляют результат класса.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или записи на доске: определения степеней $a^0=1$, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, шаблон стандартной записи $a\cdot10^n$, алгоритм перевода числа.
- Подготовить таблицу с размерами объектов: диаметр клетки — около $8\cdot10^{-6}$ м, длина карандаша — около $1,8\cdot10^{-1}$ м, высота здания — около $3\cdot10^1$ м, расстояние от Земли до Солнца — около $1,5\cdot10^{11}$ м.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности — по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Распечатать карточки для парной игры «Охотники за порядком» — по одному комплекту на пару.
- Подготовить стикеры трёх цветов для саморефлексии и листы для творческого задания — по одному на ученика.
- Организовать на доске место для записи темы, целей, алгоритма и общего эталона решения.
- Подготовить проектор или интерактивную доску для показа изображений клетки, здания, микросхемы и Солнечной системы.
- Подготовить таймер на 2–4 минуты для парной и индивидуальной работы.
- Заранее выбрать безопасное пространство у парт для короткой физкультминутки без оборудования.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность через удивление различием размеров объектов и сформировать интерес к теме.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране изображения клетки, человека, здания и Солнечной системы. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем работать с числами, которые иногда трудно записать обычным способом. Посмотрите на изображения: клетка очень мала, а расстояние до Солнца огромно. Как можно записать такие величины коротко и понятно?» | Рассматривают изображения, называют объекты и предполагают: «Нужна особая краткая запись», «Можно использовать степени десяти». Родители? No. |
2 мин | Учитель объявляет игровой сюжет «Миссия исследователей размеров»: «Представьте, что вы инженеры, биологи или астрономы. Вам нужно передать данные коллегам без потери смысла. Сегодня вы научитесь пользоваться записью, принятой в науке, и получите возможность выбрать уровень задания». | Записывают дату и тему, формулируют личную цель: «Научиться записывать большие и малые числа через степень десяти». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что размеры объектов отличаются на многие порядки. Сейчас вспомним свойства степеней, которые помогут нам создать удобный математический инструмент».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о степени с натуральным показателем и выявить затруднение при работе с нулевым и отрицательным показателями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Математический светофор»: «Запишите без вычислительного устройства значения $10^2$, $10^3$, $10^0$. Поднимите зелёную карточку, если уверены, жёлтую — если сомневаетесь. Почему $10^0$ принято считать равным единице?» Учитель фиксирует ответы и просит объяснить правило $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$. | Индивидуально записывают $100$, $1000$, $1$, затем обсуждают с соседом. Объясняют: «При делении одинаковых степеней показатель уменьшается, поэтому $10^0=1$». |
3 мин | Учитель предлагает парную разминку «Продолжи цепочку»: «Запишите последовательность $10^3$, $10^2$, $10^1$, $10^0$ и продолжите её ещё на два шага влево. Обсудите, что происходит при уменьшении показателя на единицу». | В парах записывают $10^3=1000$, $10^2=100$, $10^1=10$, $10^0=1$, $10^{-1}=0,1$, $10^{-2}=0,01$. Формулируют: «Каждый шаг вправо уменьшает число в десять раз». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили степени с натуральным и нулевым показателем и увидели, что отрицательные показатели связаны с десятичными дробями. Теперь точно определим новое правило и способ записи чисел».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить необходимость стандартной записи и совместно сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два числа: $0,0000008$ и $150000000000$. «Попробуйте быстро определить, сколько цифр нужно переписать и где легко допустить ошибку. Как представить оба числа с помощью одной цифры перед запятой и степени десяти?» | В парах обсуждают затруднение, предлагают: $8\cdot10^{-7}$ и $1,5\cdot10^{11}$. Объясняют, что показатель показывает число переносов запятой и его знак. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Почему в стандартной записи коэффициент должен удовлетворять условию $1\leq a<10$? Какие шаги нам понадобятся?» Учитель записывает на доске план: определить правило, составить алгоритм, потренироваться, применить к реальным размерам. | Формулируют цель и план: «Выделить первую значащую цифру, перенести запятую, посчитать переносы, определить знак показателя и проверить коэффициент». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Проблема поставлена: нам нужно научиться записывать число компактно, но однозначно. Перейдём к открытию правила и проверим его на конкретных величинах».
Этап 4. Открытие нового знания и межпредметная связь (9 мин)
Цель этапа: сформировать представление о степени с целым показателем и стандартной записи числа через работу с математическими и естественно-научными данными.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает на доске схему: $10^0=1$, $10^{-1}=\frac{1}{10}=0,1$, $10^{-2}=\frac{1}{100}=0,01$. «Запишем общее правило. Для ненулевого числа $a$ степень с отрицательным показателем определяется так: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Стандартная запись положительного числа имеет вид $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$.» Учитель разбирает пример: $0,000008=8\cdot10^{-6}$. | Записывают определения и пример в тетрадь. Отвечают: «Запятая перенесена на шесть знаков вправо, поэтому показатель отрицательный». |
3 мин | Учитель предлагает межпредметную таблицу: «В биологии диаметр клетки приблизительно равен $8\cdot10^{-6}$ м, длина бактерии — $2\cdot10^{-6}$ м; в географии расстояние до Солнца — $1,5\cdot10^{11}$ м. Сравните порядки и объясните, какая величина больше». | Читают таблицу, называют величины и сравнивают показатели. Формулируют: «Расстояние до Солнца имеет показатель $11$, поэтому оно намного больше размеров клетки с показателем $-6$». |
2 мин | Учитель применяет приём «Сократовский диалог»: «Как записать $4,7\cdot10^3$ обычным числом? Что произойдёт с запятой при показателе $-3$? Почему запись $47\cdot10^2$ не является стандартной?» | Отвечают: «$4700$»; «Запятая смещается влево на три знака»; «Коэффициент 47 больше 10, поэтому запись нужно преобразовать в $4,7\cdot10^3$». |
Запись в тетрадях
- $a^0=1$ при $a\neq0$.
- $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\neq0$.
- Стандартная запись: $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$.
- Алгоритм: перенести запятую после первой значащей цифры; посчитать число переносов; при переносе влево поставить положительный показатель, при переносе вправо — отрицательный.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Теперь у нас есть правило и алгоритм. Мы увидели, что одна и та же математическая запись помогает биологу описывать клетку, астроному — расстояние, инженеру — размеры деталей. Проверим новое знание сначала вместе, затем самостоятельно».
Этап 5. Первичное закрепление. Парная игра «Охотники за порядком» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм перехода между обычной и стандартной записью через парную практику и взаимопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре комплект карточек с числами $0,00034$, $7200000$, $5,6\cdot10^{-4}$, $9,1\cdot10^5$. «Разложите карточки на две группы: обычная запись и стандартная запись. Затем найдите пары, обозначающие одно и то же число». | В парах классифицируют карточки, соединяют $0,00034$ с $3,4\cdot10^{-4}$ и $7200000$ с $7,2\cdot10^6$, проговаривают правило. |
3 мин | Учитель предлагает второй раунд: «Перед вами три записи: $0,45\cdot10^7$, $4,5\cdot10^6$, $45\cdot10^5$. Какая из них стандартная? Преобразуйте остальные и объясните, почему все они равны». | Обсуждают и записывают: стандартная запись — $4,5\cdot10^6$; остальные преобразуют к ней. Один ученик объясняет, второй проверяет по алгоритму. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по эталону на доске: «Проверьте не только ответ, но и два критерия: коэффициент от 1 до 10 и правильный знак показателя. Поставьте партнёру две звезды за верные преобразования и одно пожелание». | Сверяют решения, отмечают две сильные стороны и одну рекомендацию, исправляют найденную ошибку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В игре вы научились распознавать стандартную запись и видеть равенство разных форм. Теперь каждый проверит, может ли выполнить алгоритм без подсказки».
Этап 6. Физкультминутка и самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: снять статическое напряжение и проверить индивидуальное умение применять степень с целым показателем и стандартную запись.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит физкультминутку «Степень движения»: «Если я называю положительный показатель, поднимите руки вверх; если нулевой — поставьте руки на пояс; если отрицательный — выполните наклон вперёд. $10^3$, $10^0$, $10^{-2}$, $10^5$, $10^{-1}$. Движения выполняем спокойно, не мешая соседям». | Выполняют движения по сигналу: вверх, на пояс, наклон, вверх, наклон. Называют: «Положительный, нулевой, отрицательный показатель». |
5 мин | Учитель раздаёт карточки по выбору: базовый уровень — преобразовать $0,006$, $340000$; повышающий — выполнить действия $(3\cdot10^4)(2\cdot10^{-3})$ и сравнить $7,2\cdot10^5$ и $6,9\cdot10^6$; творческий — составить мини-паспорт объекта с тремя величинами в стандартной записи. «Выберите уровень, который позволит вам работать с усилием, но самостоятельно». | Индивидуально выполняют выбранный вариант. Базовый результат: $6\cdot10^{-3}$, $3,4\cdot10^5$. Повышающий результат: $6\cdot10^1$, второе число больше. Выполняющие творческий вариант выбирают объект и записывают три его размера. |
3 мин | Учитель выводит эталон и предлагает самопроверку: «Проверьте порядок каждого числа. Если коэффициент оказался меньше 1 или не меньше 10, преобразование не завершено. Отметьте количество верных заданий и цветом стикера покажите состояние: зелёный — готов объяснить, жёлтый — нужна тренировка, красный — нужна помощь». | Сверяют решения, исправляют ошибки, прикрепляют стикер и записывают вопрос, который остался непонятным. |
Эталон решения
$0,006=6\cdot10^{-3}$: запятая перенесена на три знака вправо, поэтому показатель отрицательный. $340000=3,4\cdot10^5$: запятая перенесена на пять знаков влево, поэтому показатель положительный. $(3\cdot10^4)(2\cdot10^{-3})=6\cdot10^{4-3}=6\cdot10^1=60$. При сравнении $7,2\cdot10^5$ и $6,9\cdot10^6$ сначала сравнивают показатели: $6>5$, значит $6,9\cdot10^6$ больше.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя на выбранном уровне и увидели, что точность зависит от двух деталей: положения запятой и знака показателя. Осталось применить способ записи к реальной ситуации и сформулировать, чему вы научились».
Этап 7. Практическое применение, рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить знания, выполнить творческое задание, провести рефлексию и определить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает творческое задание «Научная визитка»: «Выберите один объект — клетку, волос, песчинку, автомобиль, здание, Землю или Солнце. Составьте для него мини-визитку: название, приблизительный размер, стандартная запись, пояснение знака показателя. Можно оформить в виде карточки или коротного объявления для научного журнала». | Выбирают объект, записывают одну-две величины в стандартной записи и готовят пояснение, например: «Диаметр клетки $8\cdot10^{-6}$ м; показатель отрицательный, потому что число меньше единицы». |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутная заметка»: «Закончите три фразы: сегодня я научился; самым важным правилом было; мне ещё нужно потренироваться в…» Затем задаёт контрольные вопросы: «Как выглядит стандартная запись? Что означает отрицательный показатель? Почему $35\cdot10^2$ нужно преобразовать?» | Письменно завершают фразы, отвечают: «$a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$»; «Отрицательный показатель означает обратную степень»; «Коэффициент должен быть меньше 10, поэтому $35\cdot10^2=3,5\cdot10^3$». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание: «Выберите обязательный уровень и при желании добавьте повышающий или дополнительный. В работе обязательно показывайте перенос запятой и проверяйте диапазон коэффициента». Учитель благодарит класс за работу. | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, оценивают готовность к следующей теме цветом стикера. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, коэффициенты находятся в диапазоне $1\leq a<10$, знаки показателей обоснованы, вычисления оформлены аккуратно; творческая визитка содержит корректную величину и пояснение.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, алгоритм в целом применён правильно.
- «3» — верно выполнено не менее половины заданий, имеются ошибки в переносе запятой или знаке показателя, но ученик может исправить их с опорой на эталон.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает показатель степени в записи $a\cdot10^n$? | Проверка понимания связи между переносом запятой и порядком величины. |
Как определить знак показателя при переводе числа в стандартную запись? | Выявление затруднений в основном алгоритме. |
Какое задание вы выбрали и почему? | Оценка самостоятельности, уровня притязаний и осознанности выбора. |
Какой объект вы могли бы описать такой записью вне урока? | Выявление переноса знания в реальный контекст и личной значимости темы. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились компактно записывать очень большие и очень малые числа с помощью степени десяти. Главное — соблюдать условие $1\leq a<10$ и внимательно определять знак показателя: при переносе запятой вправо показатель отрицательный, при переносе влево — положительный. Если возникла ошибка, сначала проверьте положение запятой, затем количество переносов. На следующем уроке мы продолжим выполнять действия с числами в стандартной записи и применим свойства степеней к более сложным выражениям».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 5 преобразований: три больших числа и два малых числа представить в стандартной записи; затем две записи вида $a\cdot10^n$ перевести в обычный вид. Обязательно показать перенос запятой. | Закрепляет алгоритм перевода и проверку условия $1\leq a<10$; при проверке смотреть на знак и модуль показателя. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на умножение или деление чисел в стандартной записи, включая выражения с отрицательными показателями, и сравнить две пары величин из естественно-научного контекста. | Закрепляет свойства степеней с целыми показателями и умение сравнивать числа по порядку величины. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-постер «Размеры окружающего мира»: выбрать 5 объектов из разных областей, найти или использовать предложенные учителем приближённые размеры, представить их в стандартной записи и расположить по возрастанию. | Развивает исследовательское и творческое мышление, межпредметную функциональную грамотность и навык осмысленного выбора единиц измерения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как записать число в стандартном виде? Что означает отрицательный показатель? Каким должно быть первое число в коэффициенте? Как проверить полученный результат обратным переходом?»
