Функция $y=\frac{k}{x}$ и её график
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться строить и исследовать график функции $y=\frac{k}{x}$ при заданном ненулевом значении $k$, определять его расположение по знаку $k$ и решать по графику простейшие задачи.
- Сформировать представление о зависимости между координатами точек графика функции $y=\frac{k}{x}$ и постоянной величиной $k$.
- Научиться составлять таблицу значений, выбирать удобный масштаб и строить график функции $y=\frac{k}{x}$ в координатной плоскости.
- Установить расположение графика относительно координатных осей и связь его вида со знаком коэффициента $k$.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её вычислениями и аргументировать выводы при работе в парах.
- Воспитывать аккуратность математической записи, самостоятельность и ответственное отношение к проверке результата.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к исследованию зависимости между величинами и её графическому представлению.
- Осознают ценность точности вычислений и аккуратности построения координатных графиков.
- Развивают готовность самостоятельно выбирать способ проверки гипотезы.
- Связывают математическое моделирование с практическими задачами будущей учебной и профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и цель исследования на основе анализа примеров.
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляют разные способы представления функции.
- Планируют последовательность построения графика и проверяют соответствие результата условию.
- Работают в паре, распределяют роли, формулируют и защищают математический вывод.
- Используют координатную плоскость и, при наличии оборудования, электронный графический инструмент для проверки построения.
Предметные
- Знать вид функции $y=\frac{k}{x}$, где $k\ne0$, и название её графика — гипербола.
- Уметь находить значения функции по формуле и составлять таблицу значений для выбранных значений $x$.
- Уметь строить график функции $y=\frac{k}{x}$ по точкам и определять его расположение по знаку коэффициента $k$.
- Уметь объяснять, почему график не пересекает координатные оси, и находить на нём точки с заданной абсциссой или ординатой.
- Владеть алгоритмом исследования функции $y=\frac{k}{x}$ по формуле и графику.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: чему необходимо научиться при построении графика.
- Проявляют интерес к поиску закономерности, а не только к получению готового ответа.
- Оценивают собственную уверенность в чтении формулы и координатного графика.
- Принимают необходимость исправлять ошибки после самопроверки.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель исследования функции и составляют план действий.
- Выбирают значения переменной $x$, удобные для построения таблицы.
- Сверяют вычисления с эталоном и корректируют ошибки в знаках, координатах и масштабе.
- Оценивают степень достижения цели с помощью листа самооценки и билета на выход.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки функции $y=\frac{k}{x}$ в формуле и таблице.
- Сравнивают графики при положительном и отрицательном значениях $k$.
- Устанавливают причинно-следственную связь между знаками $x$, $y$ и $k$.
- Моделируют зависимость с помощью таблицы, координатной плоскости и графика.
- Проверяют гипотезу о невозможности пересечения графика с координатными осями.
Коммуникативные УУД
- Распределяют в паре роли вычислителя, строителя и докладчика.
- Задают уточняющие вопросы о выборе значений $x$ и расположении точек.
- Аргументируют выводы формулой, таблицей или свойствами координатной плоскости.
- Корректно обсуждают различия в построениях и совместно исправляют ошибки.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами $y=\frac{4}{x}$ и $y=-\frac{4}{x}$, двумя координатными плоскостями и проблемным вопросом.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учеников класса.
- Подготовить координатные сетки формата А5 для парной работы — по одной на пару.
- Распечатать лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить цветные маркеры или мел, линейки, карандаши и стикеры двух цветов.
- Разместить на доске памятку: алгоритм построения графика функции $y=\frac{k}{x}$.
- Подготовить эталонные таблицы значений для $k=4$ и $k=-4$ для самопроверки.
- При наличии оборудования проверить проектор, интерактивную доску или графический сервис для демонстрации двух гипербол.
- Организовать парты для работы в парах и заранее определить пары с учётом возможности взаимопомощи.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к проблеме расположения графика.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки, линейки и карандаша. Сегодня вам предстоит не просто построить график, а самостоятельно открыть закономерность его расположения. Работать можно будет в паре, но каждый должен уметь объяснить общий вывод." | Проверяют готовность к уроку, записывают дату, готовят координатную плоскость и линейку. |
2 мин | Учитель показывает на экране две формулы: $y=\frac{4}{x}$ и $y=-\frac{4}{x}$: "Посмотрите на эти зависимости. Как вы думаете, будут ли их графики похожи? В каких координатных четвертях они могут располагаться? Сегодня мы проверим ваши гипотезы вычислениями и построением, а не угадыванием." | Высказывают предположения: "Графики будут расположены в разных четвертях"; "У них может быть общая форма"; формулируют вопросы исследования. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один знак коэффициента может изменить расположение графика. Теперь вспомним, как по формуле и таблице значений получают точки графика."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить знания о функции, координатах точки и построении графика по таблице.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель организует приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните, что называют функцией и графиком функции. Сначала 30 секунд сформулируйте ответ самостоятельно, затем обсудите его с соседом и выберите точную формулировку." | Индивидуально формулируют определение, затем обсуждают его в парах и предлагают классу: "Функция задаёт соответствие между $x$ и единственным значением $y$"; "График состоит из точек с координатами $(x;y)$". |
2 мин | Учитель записывает на доске: $y=2x+1$ и спрашивает: "Как найти координаты точки графика? Что означает первая и вторая координата? Как проверить, принадлежит ли точка графику?" | Называют абсциссу и ординату, подставляют координаты в формулу, объясняют проверку равенством. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить значения выражения $y=\frac{4}{x}$ при $x=1$, $x=2$, $x=-1$, $x=-2$: "Обратите внимание на знаки результата. Что уже можно предположить о взаимосвязи знаков $x$ и $y$?" | Вычисляют: $4$, $2$, $-4$, $-2$; замечают, что при положительном $k$ знаки $x$ и $y$ совпадают. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем получать координаты точек и уже заметили важную закономерность знаков. Теперь проверим, достаточно ли этих наблюдений, чтобы описать весь график."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока, цель исследования и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает проблемную ситуацию: "Нам нужно построить график $y=\frac{4}{x}$. Можно ли взять $x=0$? Что произойдёт с формулой? Если взять только положительные значения $x$, увидим ли мы весь график?" Учитель фиксирует затруднение на доске: "Как построить и описать график функции с переменной в знаменателе?" | Отвечают: "$x=0$ брать нельзя, деление на ноль невозможно"; "Нужно рассмотреть и положительные, и отрицательные значения $x$"; формулируют затруднение. |
2 мин | Учитель организует приём "Снежный ком": "Сначала каждый запишите цель, затем объединитесь в пары и выберите общую формулировку. В цели должны быть слова построить, исследовать и объяснить." | Записывают и уточняют цель: "Построить график $y=\frac{k}{x}$, выяснить его вид и расположение при разных знаках $k$". Предлагают план: составить таблицу, построить точки, сравнить графики, сформулировать свойства. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель и план определены. Теперь вы исследуете конкретные примеры и сами сформулируете свойства графика, который называется гиперболой."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести алгоритм построения гиперболы и установить зависимость её расположения от знака коэффициента $k$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам координатные сетки и карточки: "Первая группа пары исследует $y=\frac{4}{x}$, вторая — $y=-\frac{4}{x}$. Выберите значения $x=-4,-2,-1,1,2,4$. Заполните таблицу, аккуратно вычисляя $y$. Проверьте друг друга: один вычисляет, другой контролирует знак и результат." | В парах составляют таблицы. Для $y=\frac{4}{x}$ получают значения $-1,-2,-4,4,2,1$; для $y=-\frac{4}{x}$ — $1,2,4,-4,-2,-1$. Обсуждают знаки. |
4 мин | Учитель обращается к классу: "Отметьте полученные точки на координатной плоскости. Не соединяйте их отрезками: представьте, как кривая проходит между точками. В каких четвертях оказались точки? Что происходит при приближении $x$ к нулю?" На доске строит оба графика по эталону. | Строят точки и плавные ветви. Формулируют: при $k>0$ график расположен в I и III четвертях; при $k<0$ — во II и IV. Замечают, что при приближении к нулю значения $y$ по модулю увеличиваются. |
2 мин | Учитель задаёт цепочку вопросов: "Может ли $x$ быть равен нулю? Может ли $y$ быть равен нулю? Почему график не пересекает оси? Как называется полученная линия?" Учитель записывает вывод на доске. | Отвечают: "$x\ne0$, потому что деление на ноль невозможно"; "$y\ne0$, поскольку числитель $k\ne0$"; "График не пересекает оси координат"; "Это гипербола". |
Запись в тетрадях
Записывают: "Функция $y=\frac{k}{x}$, где $k\ne0$, называется обратной пропорциональностью, а её график — гиперболой. Область определения: $x\ne0$. Если $k>0$, ветви гиперболы расположены в I и III четвертях; если $k<0$ — во II и IV. График не пересекает координатные оси." Далее записывают алгоритм: выбрать допустимые значения $x$; вычислить $y$; отметить точки; провести две плавные ветви, приближающиеся к осям.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли формулу, вид графика и зависимость расположения ветвей от знака $k$. Теперь проверим новый алгоритм на общем примере и научимся объяснять каждое действие."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм построения и чтения графика с проговариванием последовательности действий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает задачу: "Постройте в тетради график функции $y=\frac{6}{x}$, используя значения $x=-6,-3,-2,-1,1,2,3,6$. Перед началом проговорите алгоритм: что выбираем сначала, что вычисляем затем и как соединяем точки?" | По очереди проговаривают алгоритм, составляют таблицу: для отрицательных $x$ получают $-1,-2,-3,-6$, для положительных — $6,3,2,1$; строят точки в I и III четвертях. |
2 мин | Учитель приглашает ученика к доске и уточняет: "Почему вы не проводите график через начало координат? Почему ветви не соединяются с осями?" | Один ученик показывает построение, остальные сверяют. Объясняют: "$x=0$ недопустим, а $y=0$ невозможно при $k=6$, поэтому оси являются границами, к которым ветви приближаются, но не пересекают их. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Проверьте три пункта: все ли значения вычислены верно, правильно ли расположены ветви, проведены ли они плавно и без пересечения осей. Поставьте две звезды за верные элементы и одно пожелание при наличии ошибки." | Проверяют работу партнёра по трём критериям, отмечают одну конкретную ошибку или подтверждают правильность, исправляют построение. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает для положительного коэффициента. Теперь каждый самостоятельно проверит, умеет ли он исследовать график при другом знаке и читать информацию по формуле."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное понимание свойств функции и обеспечить коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня: "Выберите базовый, повышающий или дополнительный вариант. Базовый доступен всем, повышающий требует объяснения, дополнительный — исследовательский. Выполняйте самостоятельно. В базовом варианте постройте $y=-\frac{8}{x}$ по четырём парам симметричных значений и укажите четверти. В повышающем определите координаты точек графика при $x=-4$ и $x=2$, а также найдите $x$, если $y=-3$ для функции $y=\frac{12}{x}$." | Самостоятельно решают выбранный вариант. Для базового строят график во II и IV четвертях; для повышающего получают точки $(-4;2)$ и $(2;6)$, затем решают $-3=\frac{12}{x}$ и получают $x=-4$. |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран: таблицы и ответы. Говорит: "Сверьте не только итог, но и ход решения. Если ошибка в знаке, вернитесь к произведению $xy=k$; если ошибка в четверти, проверьте знаки координат." | Сверяют решение с эталоном, подчёркивают место ошибки, исправляют запись другим цветом. |
2 мин | Учитель проводит приём "Светофор": "Покажите зелёную карточку, если можете самостоятельно построить график; жёлтую, если нужна ещё одна тренировка; красную, если пока не понимаете, как выбрать точки. По цветам я определю, кому предложить помощь." | Показывают карточки, формулируют личную трудность: выбор значений $x$, вычисление $y$, расположение ветвей или чтение графика. |
Эталон решения
Для функции $y=-\frac{8}{x}$ выбираем $x=-4,-2,-1,1,2,4$. Получаем $y=2,4,8,-8,-4,-2$. Точки с отрицательными $x$ имеют положительные $y$ и расположены во II четверти; точки с положительными $x$ имеют отрицательные $y$ и расположены в IV четверти. Ветви плавно приближаются к осям и не пересекают их.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что знак коэффициента определяет четверти, а равенство $xy=k$ помогает быстро проверять вычисления. Осталось связать новое знание с более общими свойствами функций и подвести итог исследования."
Этап 7. Включение в систему знаний (3 мин)
Цель этапа: обобщить свойства функции и связать формулу, таблицу и график.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает таблицу сравнения: $y=\frac{4}{x}$ и $y=-\frac{4}{x}$: "Заполните пропуски устно. У обеих функций график имеет форму ____. При $k>0$ ветви находятся в ____, при $k<0$ — в ____. Общим свойством является отсутствие пересечения с ____. Как проверить точку без построения всего графика?" | Заполняют: "гиперболы"; "I и III четвертях"; "II и IV четвертях"; "координатными осями". Объясняют проверку подстановкой координат в формулу или равенством $xy=k$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теперь формула, таблица и график для вас не отдельные объекты, а три способа описать одну зависимость. Проверим, насколько осознанно вы можете сформулировать результат урока."
Этап 8. Рефлексия, оценивание и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: осознать результат, выявить оставшиеся затруднения и объяснить содержание домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт билет на выход: "Закончите три фразы: функция $y=\frac{k}{x}$ имеет график ...; при $k<0$ ветви расположены ...; график не пересекает оси, потому что ... . Затем оцените себя: могу построить график — да, с подсказкой, пока нет." | Заполняют билет: "гипербола"; "во II и IV четвертях"; "$x=0$ недопустим и $y=0$ невозможно при $k\ne0$". Отмечают уровень самооценки. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень в таблице. Обязательный уровень выполняют все; повышающий и дополнительный — по желанию. Важно не просто построить, а подписать четверти и объяснить расположение ветвей." | Записывают выбранный уровень и задают уточняющие вопросы по формату выполнения. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы самостоятельно открыли свойства гиперболы, научились строить её по таблице и связывать знак коэффициента с четвертями. Билет на выход поможет мне подготовить следующую тренировку."
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно составлена таблица значений, все точки нанесены с правильными координатами, гипербола построена в нужных четвертях, указаны область определения и причина непересечения осей; объяснение содержит не менее двух обоснованных свойств.
- "4" — построение и вычисления в основном верны, допущена одна неточность в таблице, масштабе или формулировке свойства, не повлиявшая на общий вывод.
- "3" — выполнено не менее половины задания, правильно определён вид графика или четверти, но есть ошибки в вычислениях, координатах либо объяснении области определения.
- Ниже базового уровня — работа требует доработки по алгоритму: выбрать допустимые значения $x$, вычислить $y$, отметить точки и проверить знаки координат.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о функции $y=\frac{k}{x}$? | Проверка осознания ключевого понятия и свойств гиперболы. |
Как по знаку $k$ определить четверти расположения графика? | Выявление понимания связи формулы и графика. |
На каком шаге построения возникло затруднение? | Диагностика точек затруднения в алгоритме. |
Как вы проверили правильность своей работы? | Формирование навыка самоконтроля и аргументированной оценки результата. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли функцию $y=\frac{k}{x}$ и увидели, что её график — гипербола. Главное свойство, которое нужно сохранить, — знак коэффициента определяет четверти расположения ветвей, а график не пересекает координатные оси. Типичная ошибка — взять $x=0$ или неверно определить знак частного, поэтому всегда проверяйте область определения и произведение $xy=k$. На следующем уроке мы продолжим читать и преобразовывать графики обратной пропорциональности."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить графики двух функций вида $y=\frac{k}{x}$: одной при $k>0$ и одной при $k<0$, используя не менее шести допустимых значений $x$ для каждой; подписать четверти и записать область определения. | Закрепляет алгоритм построения и связь знака коэффициента с расположением ветвей; при проверке смотреть на таблицу, координаты и отсутствие пересечения с осями. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи: найти значение функции по заданному $x$, найти $x$ по заданному $y$, определить знак $k$ по расположению точки и проверить принадлежность двух точек графику функции $y=\frac{12}{x}$. | Развивает чтение формулы и графика в прямом и обратном направлении; при проверке обратить внимание на подстановку и равенство $xy=k$. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать, как изменяется график $y=\frac{k}{x}$ при $k=1$, $k=4$ и $k=9$: построить эскизы на одной координатной плоскости и письменно объяснить, почему при одинаковом $x>0$ значения $y$ различаются. | Формирует умение сравнивать графики и аргументировать влияние параметра; при проверке смотреть на корректность сравнения и причинное объяснение. |
Контрольные вопросы перед выходом: "Как называется график функции $y=\frac{k}{x}$? Почему $x=0$ недопустим? В каких четвертях расположены ветви при $k>0$? Как быстро проверить принадлежность точки графику?"
