Квадратный трёхчлен. Разложение квадратного трёхчлена на множители
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся распознают квадратный трёхчлен, находят его корни и раскладывают на множители не менее трёх квадратных трёхчленов вида $x^2+bx+c$, выбирая уровень сложности и проверяя результат умножением.
- Сформировать представление о квадратном трёхчлене и связи его корней с разложением на множители.
- Научить применять алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители через подбор корней или коэффициентов.
- Развивать умение анализировать условие, сравнивать способы решения, аргументировать выбор способа и выполнять самопроверку.
- Воспитывать ответственность за результат совместной работы, интерес к применению алгебры в математическом моделировании и цифровых технологиях.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают ценность точности и проверки вычислений как основы надёжного математического результата.
- Проявляют готовность выбирать посильный уровень задания и переходить к более сложному при успешном выполнении базового.
- Развивают познавательный интерес через игровую задачу «Алгебраический код».
- Понимают связь алгебраических преобразований с будущими учебными и профессиональными задачами, связанными с моделированием и анализом данных.
Метапредметные
- Выделяют существенные признаки квадратного трёхчлена и устанавливают связь между корнями и множителями.
- Планируют решение по алгоритму, осуществляют самопроверку раскрытием скобок и корректируют ошибки.
- Работают с текстом учебника, таблицей и цифровой демонстрацией, извлекая нужную информацию.
- Формулируют выводы, участвуют в обсуждении, аргументируют выбор способа решения и оценивают результат товарища.
Предметные
- Знать определение квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, где $a\ne0$, и условие его разложения через корни.
- Уметь находить корни квадратного трёхчлена вида $x^2+bx+c$ подбором чисел с заданной суммой и произведением.
- Уметь представлять трёхчлен в виде произведения $(x-x_1)(x-x_2)$ и проверять равенство раскрытием скобок.
- Владеть алгоритмом разложения на множители и применять его к заданиям базового, повышенного и творческого уровня.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осознают личную ответственность за выбор уровня задания и качество проверки.
- Формируют смысл учения через понимание практической роли преобразований выражений.
- Проявляют уважение к иной стратегии решения и корректно обсуждают математические ошибки.
- Оценивают собственную уверенность в применении нового алгоритма.
Регулятивные УУД
- Принимают учебную цель и составляют последовательность действий для разложения трёхчлена.
- Прогнозируют возможные значения корней по коэффициентам.
- Проверяют промежуточные вычисления и результат раскрытием скобок.
- Сопоставляют самооценку с результатом задания и планируют коррекцию.
Познавательные УУД
- Классифицируют выражения по наличию трёх слагаемых и степени переменной.
- Устанавливают связь между теоремой Виета для приведённого квадратного уравнения и разложением трёхчлена.
- Моделируют выражение в виде произведения двух линейных множителей.
- Находят и объясняют ошибку в готовом решении.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре или группе при выполнении игровой карточки.
- Задают уточняющие вопросы и используют математическую лексику.
- Аргументируют ответ с опорой на сумму и произведение корней.
- Осуществляют взаимопроверку по заданному критерию, соблюдая доброжелательный тон.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или первом экране тему, цель и памятку: $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$, $x_1+x_2=-b$, $x_1x_2=c$.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовый — по 3 трёхчлена на пару, повышенный — по 3 задания, творческий — задания с ошибкой и параметром; подготовить комплект на каждого ученика.
- Подготовить игровые карточки «Алгебраический код»: отдельно выражения, пары чисел и разложения; по одному комплекту на группу из 4 человек.
- Подготовить лист самооценки со строками «распознаю», «нахожу корни», «раскладываю», «проверяю».
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с анимацией раскрытия скобок и таблицей «сумма — произведение».
- Подготовить таймер на 3 минуты и цифровой калькулятор-демонстратор для проверки, не заменяющей вычисления.
- Подготовить слайд с межпредметным контекстом: траектория, описываемая выражением $x^2-5x+6$, и вопросом о нулях функции.
- Освободить проходы между рядами и подготовить 1 минуту двигательной разминки без перемещения мебели.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, создать проблемную мотивацию и обозначить игровой контекст урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто преобразовывать выражения, а попробуем открыть способ быстро расшифровывать алгебраические записи. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и учебник. На экране вы видите выражение $x^2-5x+6$. Пока не вычисляя, предположите, можно ли представить его произведением двух скобок." | Проверяют готовность, записывают дату, рассматривают выражение, выдвигают предположения: "Наверное, это $(x-2)(x-3)$". |
2 мин | Учитель показывает на экране игровое поле «Алгебраический код»: "Сегодня каждая правильно найденная пара чисел открывает следующий фрагмент кода. Ошибки не штрафуются, если вы нашли и объяснили их причину. Выберите рабочий темп: сначала обязательный уровень, затем повышающий." | Формулируют ожидания, выбирают цвет карточки уровня, принимают правила игры. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели выражение, которое похоже на произведение, но пока не умеем обосновать это преобразование. Сначала вспомним необходимые знания, а затем сами выведем правило."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия квадратного уравнения, корня, коэффициентов и формулы сокращённого умножения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель обращается к классу: "Откройте учебник на теме урока и выпишите из определения, какие выражения называются квадратными. На доске три записи: $2x^2+3x-1$, $x^2-7x+10$, $4x+1$. Какие из них являются квадратными трёхчленами? Назовите признаки." | Читают определение, записывают признаки, отвечают: "$2x^2+3x-1$ и $x^2-7x+10$, потому что это сумма трёх одночленов, старшая степень равна двум". |
3 мин | Учитель проводит устную игру «Сумма и произведение»: "Для чисел 2 и 3 назовите сумму и произведение. Теперь для чисел $-2$ и $-4$. Как связаны эти действия с разложением $(x-2)(x-3)$?" На доске фиксирует ответы. | В парах вычисляют сумму и произведение, отвечают: "$2+3=5$, $2\cdot3=6$; $-2+(-4)=-6$, $(-2)(-4)=8$". Раскрывают скобки и замечают связь коэффициентов. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы повторили, что коэффициент при $x$ и свободный член можно получить из суммы и произведения двух чисел. Теперь выясним, как использовать эту связь в обратную сторону."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: выявить затруднение и совместно сформулировать алгоритм предстоящего действия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает: $x^2-7x+12$. "Попробуйте за минуту разложить выражение на множители. Какие два числа нужно найти? Что должно быть равно их сумме и произведению?" Учитель принимает разные версии, не сообщает правило сразу. | Индивидуально подбирают числа, затем обсуждают в парах: "Нужны числа $-3$ и $-4$, потому что сумма равна $-7$, произведение — $12$". |
2 мин | Учитель задаёт Сократовский диалог: "Если корни уравнения $x^2-7x+12=0$ равны 3 и 4, какие множители получатся? Как проверить результат? Сформулируйте цель урока одним предложением." | Формулируют цель: "Научиться находить корни или подходящие числа и раскладывать квадратный трёхчлен на множители, проверяя ответ". Записывают цель. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение состоит не в раскрытии скобок, а в обратном поиске двух чисел. Сейчас выведем правило и проверим его на примере."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: вывести формулу разложения квадратного трёхчлена и отработать последовательность поиска корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит на экран интерактивную схему: "Рассмотрим произведение $(x-x_1)(x-x_2)$. Раскройте скобки вместе со мной: сначала перемножьте первые члены, затем внешние и внутренние, затем свободные. Что получаем при приведении подобных?" | Поэтапно записывают: $(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$. Отвечают: "Коэффициент при $x$ равен противоположной сумме, свободный член — произведению". |
3 мин | Учитель фиксирует памятку: "Для $x^2+bx+c$ ищем числа $x_1$ и $x_2$, для которых $x_1+x_2=-b$ и $x_1x_2=c$. Тогда $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$. Разберём $x^2-5x+6$: числа 2 и 3, поэтому результат $(x-2)(x-3)$." | Записывают определение и алгоритм. Объясняют по шагам, почему для $-5$ нужна сумма $5$, а произведение равно $6$. |
2 мин | Учитель показывает цифровую проверку: "Сервис раскрывает введённые скобки, но не выбирает за нас числа. Введите $(x-2)(x-3)$ и сравните результат с исходным трёхчленом. Цифровой инструмент используем только после собственного решения." | Вводят выражение в демонстрационный калькулятор, сравнивают результат $x^2-5x+6$, делают вывод о необходимости алгебраической проверки. |
Запись в тетрадях
Записывают: «Если $x_1$ и $x_2$ — корни трёхчлена $x^2+bx+c$, то $x^2+bx+c=(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1+x_2=-b$, $x_1x_2=c$. Алгоритм: определить $b$ и $c$; подобрать числа по сумме и произведению; записать множители; раскрытием скобок проверить ответ».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили правило из раскрытия скобок, а не запомнили его изолированно. Теперь проверим, умеете ли вы применять алгоритм в разных ситуациях."
Этап 5. Физкультминутка и межпредметная связь (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение, закрепить связь суммы и произведения с моделью реального процесса.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Встаньте рядом с партой. На слово «сумма» поднимите руки вверх, на слово «произведение» выполните хлопок перед собой. Работаем спокойно, без резких движений." | Выполняют движения по команде, сохраняют безопасную дистанцию. |
2 мин | Учитель показывает на экране график функции $y=x^2-5x+6$: "В физике и информатике нули выражения часто обозначают моменты, когда величина становится равной нулю. Как найти их по разложению?" | Возвращаются к работе, отвечают: "При $x=2$ и $x=3$ произведение равно нулю". Связывают корни с пересечениями графика с осью $x$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что корни нужны не только для преобразования записи: они показывают нулевые значения модели. Переходим к тренировке и проверим разные стратегии."
Этап 6. Первичное закрепление. Игра «Алгебраический код» (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм в парной и групповой работе с дифференциацией заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки и объясняет: "В каждой группе четыре роли: аналитик выписывает $b$ и $c$, подборщик ищет числа, оформитель записывает множители, проверяющий раскрывает скобки. На базовой карточке задания $x^2+7x+12$ и $x^2-9x+20$; на повышенной — $x^2-2x-15$ и $x^2+ x-20$." | Распределяют роли, выбирают карточку по уровню, проговаривают условие работы. |
3 мин | Учитель запускает таймер: "Сначала решите без подсказки. Если возникло затруднение, используйте таблицу «сумма — произведение». Я подойду к тем группам, где знак вызывает вопрос." | Находят пары чисел и записывают разложения: $(x+3)(x+4)$, $(x-5)(x-4)$, $(x-5)(x+3)$, $(x+5)(x-4)$. Проверяющие раскрывают скобки. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками с соседней группой. Поставьте знак «+», если совпали сумма, произведение и итоговые множители; если есть ошибка, укажите именно шаг, где она появилась." | Проверяют три критерия, формулируют комментарий: "Сумма верна, но знак первого множителя записан неверно". Исправляют решение. |
Эталон решения
Для $x^2-2x-15$: $b=-2$, $c=-15$. Ищем числа с суммой $2$ и произведением $-15$: $5$ и $-3$. Поэтому $x^2-2x-15=(x-5)(x+3)$. Проверка: $(x-5)(x+3)=x^2+3x-5x-15=x^2-2x-15$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Командная работа помогла увидеть, что один и тот же результат можно получить через подбор чисел и через корни. Теперь каждый покажет личный результат без подсказки группы."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом и обеспечить разноуровневую практику.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите уровень по собственным возможностям. Базовый: разложите $x^2+8x+15$ и $x^2-6x+8$. Повышенный: разложите $x^2+x-12$ и $x^2-3x-28$. Продвинутый: найдите ошибку в записи $x^2-7x+10=(x+5)(x-2)$ и исправьте её. Для каждого задания обязательна проверка." | Выбирают уровень и записывают номер карточки в тетради. |
5 мин | Учитель наблюдает, задаёт индивидуальные вопросы: "Какую сумму вы ищете? Какое произведение должно получиться? Почему знак в первом множителе меняется?" На доске после сигнала показывает эталонные пары чисел. | Решают индивидуально, указывают найденные числа, записывают разложение и раскрывают скобки. Сверяют с эталоном, подчёркивают место возможной ошибки. |
2 мин | Учитель предлагает лист самооценки: "Отметьте, что вы можете выполнить без помощи: распознать трёхчлен, подобрать числа, записать множители, проверить ответ. Одним предложением запишите, что нужно повторить." | Заполняют лист: «могу», «получается с подсказкой» или «нужна помощь», формулируют личный следующий шаг. |
Эталон решения
Базовый уровень: $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$, так как $3+5=8$ и $3\cdot5=15$; $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, так как $-2+(-4)=-6$ и $(-2)(-4)=8$. Ошибка в продвинутом задании: $(x+5)(x-2)=x^2+3x-10$, поэтому верно $x^2-7x+10=(x-5)(x-2)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять самостоятельно. Осталось обобщить связь между трёхчленом, корнями и графиком и зафиксировать, что именно вы унесёте с урока."
Этап 8. Рефлексия, обобщение и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, оценить достижение цели и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит приём «Одноминутная формула»: "За одну минуту запишите продолжение фраз: «Квадратный трёхчлен — это…», «Чтобы разложить $x^2+bx+c$, нужно…», «Проверить ответ можно…». Затем поднимите зелёную карточку, если готовы решать самостоятельно, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если нужен разбор." | Записывают три фразы, поднимают карточку самооценки, называют затруднение: "Иногда путаю знак корня и знак множителя". |
2 мин | Учитель задаёт контрольные вопросы: "Какие два условия должны выполнять найденные числа? Как разложить $x^2+4x-21$? Почему результат нужно проверять?" | Отвечают: "Сумма равна противоположному коэффициенту при $x$, произведение — свободному члену"; находят $3$ и $-7$, записывают $(x+7)(x-3)$; объясняют необходимость проверки. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите обязательный уровень, а при уверенности добавьте следующий. Ваша задача — не просто получить ответ, а показать подбор чисел и проверку раскрытием скобок." | Записывают выбранный уровень, задают уточняющие вопросы, сдают лист самооценки или билет на выход. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли способ превращать квадратный трёхчлен в произведение двух линейных выражений. Вы научились видеть за коэффициентами сумму и произведение корней. На следующем уроке применим разложение на множители для решения квадратных уравнений."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, правильно найдены пары чисел, разложение оформлено без ошибок, каждый результат проверен раскрытием скобок.
- «4» — выполнено не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная или знаковая ошибка, но алгоритм и способ проверки выбраны верно.
- «3» — выполнено не менее половины заданий базового уровня, есть отдельные ошибки в подборе чисел или знаках, однако ученик может объяснить основные шаги алгоритма с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о связи квадратного трёхчлена и его корней? | Выявление осознания ключевой математической связи. |
Какое действие алгоритма получилось уверенно, а какое потребовало подсказки? | Определение точек затруднения и необходимости коррекции. |
Как вы проверяли правильность разложения? | Проверка сформированности навыка самоконтроля. |
Какой уровень задания выберете в следующий раз и почему? | Развитие адекватной самооценки и учебной автономии. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились распознавать квадратный трёхчлен и раскладывать его на множители через сумму и произведение корней. Особенно внимательно следите за знаками: в записи $(x-x_1)(x-x_2)$ знак внутри скобки противоположен знаку соответствующего корня. Всегда проверяйте ответ раскрытием скобок, потому что проверка показывает не только правильность результата, но и место ошибки. На следующем уроке мы используем этот способ для решения квадратных уравнений."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных трёхчлена вида $x^2+bx+c$: два с положительным свободным членом и два с отрицательным; для каждого подобрать числа, записать разложение и выполнить проверку раскрытием скобок. | Закрепляет основной алгоритм и правила знаков; при проверке смотреть на сумму, произведение и корректность проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 5 заданий, включая трёхчлены с коэффициентом при $x$, равным $1$ или $-1$, и два задания на поиск ошибки в готовом разложении; каждую ошибку объяснить. | Развивает анализ и самоконтроль; при проверке смотреть, объяснена ли причина ошибки, а не только записан исправленный ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить 3 собственных квадратных трёхчлена с заранее выбранными корнями, разложить их на множители и построить краткое описание того, где график соответствующей функции пересекает ось $x$. | Развивает создание математической модели и связь алгебры с графиками; при проверке смотреть на согласованность корней, коэффициентов и точек пересечения. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какие два числа нужны для разложения $x^2+bx+c$? Чему равна их сумма? Чему равно произведение? Какой способ проверки результата является обязательным?»
