Умножение и деление рациональных дробей: открытие алгоритма и его применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока учащиеся сформулируют и применят правила умножения и деления рациональных дробей, выполнят не менее 4 из 5 базовых заданий с точностью не ниже 80% и объяснят допустимые значения переменных.
- Образовательная задача: вывести на основе ранее изученных правил умножения дробей алгоритмы умножения и деления рациональных дробей.
- Развивающая задача: развивать умение сокращать алгебраические дроби, анализировать запись выражения, выбирать рациональный порядок действий и проверять результат.
- Метапредметная задача: формировать навыки планирования решения, работы с учебным текстом, взаимопроверки и аргументированного объяснения ответа.
- Воспитательная задача: формировать ответственное отношение к точности вычислений, готовность сотрудничать и самостоятельно выбирать уровень задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность точных преобразований выражений для дальнейшего изучения алгебры и решения прикладных задач.
- Проявляют познавательную мотивацию при самостоятельном открытии алгоритма.
- Понимают значение самопроверки и корректного отношения к ошибкам как к источнику дальнейшего обучения.
- Принимают ответственность за выбранный уровень задания и результат индивидуальной работы.
Метапредметные
- Читают математический текст учебника с выделением правила, условий его применения и примеров.
- Планируют последовательность действий при преобразовании рационального выражения.
- Сравнивают два способа решения и аргументированно выбирают более рациональный.
- Осуществляют взаимопроверку по критериям, находят и исправляют ошибки.
- Используют математическую речь для объяснения алгоритма и обоснования ограничений на переменные.
Предметные
- Знать правила умножения и деления рациональных дробей.
- Уметь находить область допустимых значений переменных в выражениях с рациональными дробями.
- Уметь умножать и делить рациональные дроби, предварительно раскладывая многочлены на множители.
- Уметь сокращать полученную дробь и записывать ответ в стандартном виде.
- Владеть алгоритмом проверки допустимости преобразований и результата.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Осмысливают личную цель изучения правил действий с рациональными дробями.
- Проявляют самостоятельность при выборе задания базового, повышенного или творческого уровня.
- Формируют установку на аккуратную запись условий, преобразований и ответа.
- Оценивают собственный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Планируют действия: определить ОДЗ, разложить на множители, выполнить действие, сократить, проверить.
- Сверяют решение с эталоном и находят место ошибки.
- Корректируют решение после самопроверки и оценивают степень достижения цели.
Познавательные УУД
- Устанавливают аналогию между действиями с числовыми и рациональными дробями.
- Выделяют существенные признаки алгоритма умножения и деления дробей.
- Преобразуют алгебраические выражения с использованием разложения на множители.
- Моделируют алгоритм в виде последовательности шагов.
- Анализируют ошибочное решение и объясняют, на каком шаге нарушено правило.
Коммуникативные УУД
- Работают в парах, распределяя роли решающего и проверяющего.
- Формулируют вопросы по непонятному шагу решения.
- Аргументируют необходимость указания недопустимых значений переменной.
- Корректно дают однокласснику обратную связь по критериям.
- Согласуют общий вариант алгоритма и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить на доске или первом слайде тему урока, проблемный пример $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$ и вопрос: «Как перенести правило действий с числовыми дробями на буквенные выражения?»
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые задания — по одной на каждого ученика, повышенные — по одной на пару, творческие — по одной на группу.
- Подготовить карточки для приёма «Найди ошибку» с неверным решением деления рациональных дробей — по одной на пару.
- Вывести на экран или записать на доске памятку: ОДЗ → разложение на множители → действие → сокращение → проверка.
- Подготовить листы самооценки с пунктами «Я умею умножать», «Я умею делить», «Я нахожу ОДЗ», «Я могу объяснить ошибку».
- Организовать работу с учебником: заранее выбрать теоретический фрагмент с правилами и примерами без указания страниц, чтобы учащиеся нашли его по названию темы.
- Распечатать эталон самостоятельной работы — по одному экземпляру на парту или вывести его на экран после выполнения.
- Подготовить маркеры, доску, таймер и калькуляторы не использовать, чтобы сохранить контроль над преобразованиями.
- Разместить на доске критерии: правильная ОДЗ, корректное разложение на множители, верное действие, сокращение, полный ответ.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать познавательное затруднение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и линейка должны лежать перед вами. Сегодня вы не просто запомните правило, а сами восстановите его по аналогии с уже известными действиями с дробями." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает на доске выражение $\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{7}$ и рядом $\frac{2x}{3y}\cdot\frac{5y}{7x}$. "Первое выражение вы решите уверенно. А во втором какие действия кажутся знакомыми, а какие требуют осторожности? Сегодня выясним, как не потерять условия допустимости переменных." | Выполняют первое умножение устно: «$\frac{10}{21}$». Рассматривают второе выражение, предполагают: «Нужно сократить $x$ и $y$, но сначала надо указать, что $x\ne0$, $y\ne0$». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что буквенная дробь подчиняется знакомым правилам, но требует учитывать значения переменных. Теперь проверим наши знания и найдём точку затруднения."
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: актуализировать разложение на множители, сокращение дробей и правила действий с обыкновенными дробями.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает устную разминку: "Выполните в тетради три коротких действия: разложите $x^2-9$ на множители, сократите $\frac{6a}{9a}$ при $a\ne0$, назовите правило деления дробей. Записывайте не только ответ, но и ключевой шаг." | Решают: $x^2-9=(x-3)(x+3)$; $\frac{6a}{9a}=\frac{2}{3}$ при $a\ne0$; формулируют: «Чтобы разделить дробь на дробь, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй». |
3 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Сначала 30 секунд подумайте, можно ли сокращать множители в произведении дробей до умножения. Затем обсудите с соседом и приведите пример." Учитель фиксирует на доске корректную формулировку и предупреждает: "Сокращают множители, а не слагаемые." | Индивидуально формулируют ответ, обсуждают его в парах, приводят пример $\frac{2x}{3}\cdot\frac{9}{4x}=\frac{3}{2}$ при $x\ne0$. Объясняют, что выражение $x+2$ нельзя сокращать с отдельным слагаемым. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили разложение на множители, сокращение и правило деления. Теперь применим их к рациональным дробям и выясним, какой порядок действий будет самым надёжным."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать учебную проблему и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает выражение $\frac{x^2-9}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x-3}$. "Попробуйте определить, какие преобразования здесь возможны. Почему нельзя сразу механически зачеркнуть $x-3$ и $x+2$? Какие значения переменной нужно исключить?" | Называют множители после разложения: $x^2-9=(x-3)(x+3)$, $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Предполагают ОДЗ: $x\ne2$, $x\ne-2$, $x\ne3$. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Сформулируйте цель урока одним предложением. Какие шаги должны войти в алгоритм?" На доске фиксирует предложения учащихся и оформляет общий план: ОДЗ, разложение, действие, сокращение, проверка. | Формулируют цель: «Научиться умножать и делить рациональные дроби и не нарушать ОДЗ». Предлагают последовательность действий и записывают её в тетрадь. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно перенести правила действий с числовыми дробями на буквенные и сохранить ограничения. Откроем правило через работу с учебником и нашими примерами."
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести и зафиксировать правила умножения и деления рациональных дробей.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель предлагает работу с учебником: "Найдите в разделе о рациональных дробях формулировку правила умножения. Читайте её с карандашом: подчеркните, что происходит с числителями и знаменателями, и обведите условие, при котором знаменатели не равны нулю. Сравните правило с умножением числовых дробей." | Читают теоретический фрагмент, выделяют правило, формулируют: «При умножении рациональных дробей перемножают числители и знаменатели, затем сокращают полученную дробь». Сопоставляют с числовыми дробями. |
3 мин | Учитель разбирает пример: "Рассмотрим $\frac{x^2-9}{x^2-4}\cdot\frac{x+2}{x-3}$. Сначала запишем ОДЗ: $x\ne2$, $x\ne-2$, $x\ne3$. Разложим разности квадратов, заменим выражение произведением множителей и сократим только общие множители. Следите, почему сокращение допустимо." | Записывают решение: $\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)}\cdot\frac{x+2}{x-3}=\frac{x+3}{x-2}$. Объясняют: «Сокращаются множители $x-3$ и $x+2$, потому что они стоят в числителе и знаменателе». Указывают ОДЗ. |
3 мин | Учитель задаёт вопрос по правилу деления: "Как представить деление дробей через умножение? Почему вторая дробь переворачивается? Рассмотрим $\frac{a^2-4}{a+3}:\frac{a-2}{a^2-9}$. Составьте выражение для решения и назовите все запрещённые значения." | Формулируют: «Деление заменяем умножением на дробь, обратную второй». Получают $\frac{(a-2)(a+2)}{a+3}\cdot\frac{(a-3)(a+3)}{a-2}$. Называют ограничения: $a\ne-3$, $a\ne3$, $a\ne2$; упрощают до $(a+2)(a-3)$. |
Запись в тетрадях
Учащиеся записывают алгоритм: 1) найти ОДЗ; 2) разложить многочлены на множители; 3) при умножении перемножить дроби, при делении умножить первую дробь на обратную второй; 4) сократить общие множители; 5) записать ответ и ограничения. Правила: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$; $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$ при ненулевых знаменателях и делителе.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели два правила и увидели, что главное отличие буквенных дробей — необходимость контролировать ОДЗ. Теперь проговорим алгоритм вслух и применим его в типовых заданиях."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через пошаговое решение и взаимное объяснение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Вычислите $\frac{3x}{x-2}\cdot\frac{x^2-4}{6x^2}$ и укажите ОДЗ». "Первый ученик проговаривает шаги, второй записывает и проверяет. Через минуту поменяйтесь ролями." | Находят ОДЗ: $x\ne0$, $x\ne2$. Раскладывают $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и получают $\frac{x+2}{2x}$. |
3 мин | Учитель предлагает вторую задачу: «Выполните $\frac{y^2-16}{y+1}:\frac{y-4}{y^2-1}$.» "Не забывайте: при делении необходимо исключить значения, при которых вторая дробь равна нулю." Учитель консультирует пары, задаёт наводящие вопросы. | Записывают ОДЗ: $y\ne-1$, $y\ne1$, $y\ne4$. Преобразуют: $\frac{(y-4)(y+4)}{y+1}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{y-4}=(y+4)(y-1)$. |
2 мин | Учитель организует взаимопроверку по памятке: "Поставьте партнёру две звезды за верную ОДЗ и корректное преобразование и одно пожелание, если пропущен шаг. Обсудите не оценку, а конкретное место решения." | Сверяют записи, отмечают два удачных действия и формулируют одно исправление: например, «Нужно добавить $y\ne4$, потому что делитель не может быть равен нулю». |
Эталон решения
Для выражения $\frac{3x}{x-2}\cdot\frac{x^2-4}{6x^2}$: 1) знаменатели не равны нулю, поэтому $x\ne2$, $x\ne0$; 2) $x^2-4=(x-2)(x+2)$; 3) $\frac{3x}{x-2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{6x^2}$; 4) сокращаем $x-2$ и один множитель $x$, получаем $\frac{x+2}{2x}$. Для деления: $\frac{y^2-16}{y+1}:\frac{y-4}{y^2-1}=\frac{(y-4)(y+4)}{y+1}\cdot\frac{(y-1)(y+1)}{y-4}=(y+4)(y-1)$ при $y\ne-1,1,4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы проговорили алгоритм и проверили его в паре. Теперь каждый самостоятельно выберет посильный уровень и покажет, насколько уверенно умеет применять новое правило без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение правил и организовать самопроверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: "На карточке три уровня. Базовый обязателен для всех. Если базовый выполняется уверенно, можно выбрать повышенный. Творческий уровень — для тех, кто хочет создать собственный пример и доказать его корректность. Выбор уровня — это ответственность за собственный результат." | Выбирают карточку, записывают номер уровня и начинают работу индивидуально. |
6 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый: вычислить $\frac{2a}{a+3}\cdot\frac{a^2-9}{4a}$ и $\frac{b^2-25}{b-5}:\frac{b+5}{b-2}$. Повышенный: упростить $\frac{x^2-1}{x^2-4}:\frac{x-1}{x+2}$ и найти ОДЗ. Творческий: составить рациональную дробь, при умножении которой на $\frac{x-2}{x+3}$ результатом будет $\frac{x+5}{x+3}$, и указать ограничения. | Решают индивидуально, обязательно записывают ОДЗ и этапы преобразования. На творческом уровне предлагают, например, $\frac{x+5}{x-2}$ при соответствующих ограничениях и проверяют произведение. |
3 мин | Учитель выводит эталон: «Сначала сравните только ответ, затем найдите расхождение по шагам. Если ошибка есть, обведите место, где нарушен алгоритм». Организует самопроверку и предлагает поставить себе условный балл по критериям. | Проверяют решения, исправляют ошибки другим цветом, отмечают причину затруднения: ОДЗ, разложение, переворачивание делителя или сокращение. Заполняют краткую самооценку. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Индивидуальная работа показала, что алгоритм уже можно применять самостоятельно. Осталось связать его с типичной ошибкой и убедиться, что мы умеем не только решать, но и объяснять."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, выявить затруднения и принять домашнее задание с учётом уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает ошибочное решение: $\frac{x^2-9}{x-3}=x+3$, затем утверждение «это верно при всех $x$». "Согласны ли вы? Как уточнить ответ? Почему исходное выражение не определено при $x=3$?" | Находят ошибку в области допустимых значений и отвечают: «Ответ $x+3$ верен при $x\ne3$, потому что исходный знаменатель не может быть равен нулю». Формулируют, что сокращение не отменяет ограничение. |
1 мин | Учитель проводит приём «Светофор»: "Зелёная карточка — могу умножать и делить дроби самостоятельно; жёлтая — нужен ещё один пример; красная — пока не понимаю отдельный шаг. Поднимите соответствующую карточку." | Показывают цвет, фиксируют в листе самооценки конкретное затруднение. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и контрольные вопросы: "Выберите уровень по сегодняшней готовности. Перед выходом ответьте: что делаем первым; почему при делении переворачиваем вторую дробь; какое ограничение нельзя забывать после сокращения?" | Записывают выбранный вариант домашней работы, отвечают устно или на стикере на три контрольных вопроса. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, для каждого выражения указана ОДЗ, разложение и сокращение записаны корректно, решение объяснено без существенных ошибок.
- «4» — верно выполнены основные преобразования, но допущена одна неточность в записи ОДЗ или пропущен промежуточный шаг, не повлиявший на итоговый ответ.
- «3» — правильно применено общее правило хотя бы в одном задании, но допущены ошибки в разложении на множители, переворачивании делителя или сокращении; ученик может исправить ошибку после подсказки.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой первый шаг алгоритма умножения или деления рациональных дробей ты теперь выполняешь автоматически? | Выявление осознания необходимости начинать с ОДЗ и планирования решения. |
На каком шаге сегодня возникло наибольшее затруднение: разложение, действие, сокращение или проверка? | Выявление точек затруднения в алгоритме для последующей дифференциации. |
Почему после сокращения всё равно нужно сохранять ограничения на переменную? | Проверка понимания связи между исходным выражением и преобразованным. |
Какой уровень задания ты выбрал и что поможет перейти на следующий? | Формирование самооценки, ответственности и индивидуальной образовательной цели. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли правила умножения и деления рациональных дробей и убедились, что основа действий такая же, как у числовых дробей. Главное отличие — необходимость каждый раз контролировать ОДЗ и сокращать только множители. Типичная ошибка — после сокращения забыть ограничения исходного выражения. На следующем уроке мы продолжим преобразование рациональных выражений и применим эти правила в более сложных комбинациях действий. Если сегодня вы выбрали базовый уровень, это не ограничение, а точка для уверенного продвижения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на умножение и деление рациональных дробей, включая два выражения с разложением разности квадратов. Для каждого задания записать ОДЗ, преобразования и сокращение. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке смотреть на ОДЗ, правильное переворачивание делителя и сокращение множителей. |
Средний (повышающий) | Решить 4 смешанных задания, где в одном выражении последовательно выполняются умножение и деление рациональных дробей, а также найти и исправить одну заранее предложенную ошибку в решении. | Развивает планирование порядка действий и анализ ошибок; при проверке обращать внимание на сохранение ограничений после упрощения. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два собственных выражения: одно на умножение, другое на деление рациональных дробей, так чтобы требовались разложение на множители и сокращение. Решить их, указать ОДЗ и подготовить краткое объяснение для одноклассника. | Развивает создание математической модели и аргументацию; при проверке смотреть, действительно ли выражения требуют изученного алгоритма и корректно ли указана ОДЗ. |
Контрольные вопросы перед выходом: «С чего начинается решение выражения с рациональными дробями?», «Как заменить деление умножением?», «Почему нельзя считать, что сокращённая запись разрешена при любом значении переменной?»
