Свойства сравнений по модулю
Цели и задачи
- Цель : к концу 90-минутного урока научиться применять свойства сравнений по модулю для доказательства сравнений и решения не менее 80% из 20 учебных примеров, объясняя каждый шаг преобразования.
- Сформировать представление о сравнении по модулю и его связи с делимостью разности чисел.
- Научиться складывать, вычитать и умножать сравнения, а также возводить их в натуральную степень.
- Освоить алгоритмы проверки сравнений и решения простейших сравнений с неизвестным.
- Развивать математическую аргументацию, самоконтроль, умение выбирать способ решения и видеть связь алгебры с информатикой и теорией кодирования.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознавать ценность точного математического доказательства и ответственности за каждый шаг рассуждения.
- Проявлять познавательный интерес к применению сравнений в календарных расчётах, криптографии и программировании.
- Развивать готовность самостоятельно выбирать уровень сложности задания и оценивать собственный результат.
- Формировать уважительное отношение к иному способу решения при условии его обоснованности.
Метапредметные
- Выделять условие, требуемое доказательство и основание модуля в математическом тексте.
- Планировать решение, фиксировать промежуточные результаты и выполнять самопроверку по эталону.
- Сотрудничать в парах и группах, задавать уточняющие вопросы и аргументировать выбор свойства.
- Использовать таблицу остатков и простую вычислительную модель для проверки гипотез.
Предметные
- Знать определение: $a\equiv b\pmod m$ тогда и только тогда, когда $m\mid(a-b)$.
- Уметь проверять сравнения по модулю и находить остатки чисел.
- Уметь складывать, вычитать и умножать сравнения с одним и тем же модулем.
- Уметь возводить сравнение в натуральную степень и решать простейшие сравнения вида $ax\equiv b\pmod m$ в случаях, предусмотренных уроком.
- Уметь объяснять, почему сокращение множителей в сравнении возможно не всегда.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на уроке и выбирают обязательный или повышенный маршрут заданий.
- Связывают точность вычислений с надёжностью алгоритмов в реальных цифровых системах.
- Осознают значение настойчивости при поиске ошибки в доказательстве.
- Оценивают собственный вклад в парную работу и корректно принимают обратную связь.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность действий при доказательстве сравнения.
- Сверяют решение с определением сравнения и контролируют знак разности.
- Обнаруживают ошибку в рассуждении, объясняют её причину и исправляют решение.
- Оценивают результат по критериям полноты, обоснованности и точности.
Познавательные УУД
- Преобразуют сравнение в утверждение о делимости разности.
- Сравнивают несколько способов проверки: по разности и по остаткам.
- Выводят свойства сравнений на основе операций с делимостью.
- Строят таблицу остатков и используют её как математическую модель.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру решение с использованием математической терминологии.
- Задают вопросы: «Почему выбран именно этот модуль?» и «На каком основании выполнен переход?».
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик.
- Сравнивают решения без перехода на личности и формулируют доказательное возражение.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определением сравнения, схемой свойств и таблицей остатков по модулям $3$, $4$, $5$, $7$.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика и четыре комплекта для групповой работы.
- Подготовить листы самопроверки с решениями 20 примеров; раздать их после самостоятельной работы.
- Вывести на доску памятку: $a\equiv b\pmod m\Leftrightarrow m\mid(a-b)$; свойства сложения, вычитания, умножения и возведения в степень.
- Подготовить цветные карточки для приёма «Светофор»: зелёная, жёлтая и красная на каждого ученика.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры и четыре листа формата А3 для групп.
- Подготовить короткий межпредметный пример о контрольной сумме и вычислении дня недели по остатку.
- Организовать безопасную физкультминутку без резких движений: свободное пространство между рядами, таймер на 2 минуты.
- Подготовить проектор или интерактивную доску, доску и раздаточный материал с заданиями 1–20.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (5 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу, показать практическую ценность сравнений и создать ситуацию интеллектуального вызова.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране вопрос: «Как быстро определить, делится ли число 2026 на 7, не выполняя длинное деление? Сегодня мы увидим, что остатки позволяют заменить большие числа маленькими и сохранить нужную информацию». Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем обсудите идею с соседом». | Записывают число 2026, вычисляют возможный остаток при делении на 7, обсуждают два способа проверки и предполагают: «Нужно найти остаток, а затем сравнить его с нулём». |
3 мин | Учитель продолжает: «Сравнение по модулю — это не обычное сравнение “больше или меньше”. Мы будем говорить, что два числа имеют одинаковое поведение при делении на один и тот же модуль. Попробуйте предположить, что общего у чисел 17 и 5 при делении на 6». Фиксирует ответы на доске. | Отвечают: «Оба дают остаток 5», формулируют гипотезу: «Их разность делится на 6», записывают вопрос урока: «Какие операции сохраняют сравнение?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что остатки позволяют сравнивать числа по их поведению при делении. Теперь восстановим необходимые знания о делимости и остатках, чтобы точно сформулировать новое понятие».
Этап 2. Актуализация знаний и диагностика (10 мин)
Цель этапа: актуализировать признаки делимости, понятие остатка и операции с равенствами, выявив готовность к изучению свойств сравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с четырьмя заданиями: «Найдите остатки чисел 38, 47 и 125 при делении на 5; проверьте, делится ли 84 на 7». Просит сначала решить индивидуально, затем свериться в паре. | Вычисляют остатки: $38\equiv3\pmod5$, $47\equiv2\pmod5$, $125\equiv0\pmod5$; записывают $84=7\cdot12$ и делают вывод о делимости. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: «Что означает запись $m\mid n$? Как связаны делимость и разность? Если $a=b+mk$, на что похожа разность $a-b$?» Записывает корректные формулировки учеников. | Отвечают: «$n$ делится на $m$ без остатка», «существует целое $k$, для которого $n=mk$», «разность равна $mk$ и потому делится на $m$». |
3 мин | Учитель показывает два утверждения: «$23\equiv5\pmod9$» и «$23>5$». Просит сравнить их смысл и отметить, какое утверждение связано с остатками. Приём «Светофор»: ученики показывают карточку уверенности. | Объясняют, что первое утверждение означает делимость $23-5=18$ на 9, а второе — обычное неравенство. Отмечают зелёный или жёлтый уровень готовности. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили остаток, делимость и связь делимости с разностью. Следующий шаг — строго определить новое отношение и проверить, какие привычные операции с ним допустимы».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (7 мин)
Цель этапа: сформулировать определение сравнения по модулю и учебную задачу через анализ примеров и контрпримеров.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $17\equiv5\pmod6$, $20\equiv2\pmod6$, $17\not\equiv20\pmod6$. «Проверьте каждую запись не устно, а через разность. Какой общий признак у первой пары?» | Вычисляют $17-5=12$, $20-2=18$, $17-20=-3$. Формулируют: «Сравнение верно, если модуль делит разность». |
2 мин | Учитель вводит определение: «Числа $a$ и $b$ сравнимы по модулю $m$, если $m\mid(a-b)$. Запись выглядит так: $a\equiv b\pmod m$. Обратите внимание: модуль обычно положителен». Просит выделить условие и следствие. | Записывают определение, подчёркивают модуль $m$ и разность $a-b$, проговаривают определение в паре. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный вопрос: «Если $a\equiv b\pmod m$ и $c\equiv d\pmod m$, можно ли складывать, вычитать и умножать такие сравнения? А можно ли всегда сокращать множитель?» Предлагает записать личную цель. | Записывают цель: «Научиться обосновывать операции со сравнениями и находить случаи, когда сокращение запрещено». Предполагают: «Сложение и умножение должны работать, а сокращение требует проверки». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Определение стало инструментом проверки. Теперь выведем свойства не как набор правил для запоминания, а как следствия делимости разностей».
Этап 4. Открытие и систематизация нового знания (20 мин)
Цель этапа: вывести и осмыслить основные свойства сравнений по модулю на подробных примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель выводит свойство сложения и вычитания: «Пусть $a\equiv b\pmod m$ и $c\equiv d\pmod m$. Тогда $m\mid(a-b)$ и $m\mid(c-d)$. Сложим разности: $(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)$. Почему новая разность делится на $m$?» | Отвечают: «Сумма двух чисел, делящихся на $m$, также делится на $m$». Записывают вывод: $a+c\equiv b+d\pmod m$ и $a-c\equiv b-d\pmod m$. |
5 мин | Учитель выводит свойство умножения: «Умножим первое сравнение на $c$, второе — на $b$. Удобнее рассмотреть $(ac)-(bd)=c(a-b)+b(c-d)$. Оба слагаемых делятся на $m$, значит, и вся разность делится на $m$». | Записывают доказательство и формулируют: если $a\equiv b\pmod m$, $c\equiv d\pmod m$, то $ac\equiv bd\pmod m$. |
4 мин | Учитель показывает возведение в степень: «Из $a\equiv b\pmod m$ следует $a^2\equiv b^2\pmod m$, затем повторением — $a^n\equiv b^n\pmod m$ для натурального $n$. Найдём остаток $17^3$ по модулю 6, заменив 17 на 5». | Записывают: $17\equiv5\pmod6$, поэтому $17^3\equiv5^3=125\equiv5\pmod6$. Объясняют, что сначала заменили число на сравнимое с меньшим остатком. |
3 мин | Учитель разбирает сокращение: «Из $ac\equiv bc\pmod m$ следует $m\mid c(a-b)$. Но отсюда нельзя всегда заключить $m\mid(a-b)$. Например, $2\cdot1\equiv2\cdot4\pmod6$, поскольку $2\equiv8\pmod6$, но $1\not\equiv4\pmod6$. Сокращение допустимо при дополнительных условиях, например если $\gcd(c,m)=1$». | Проверяют контрпример: $2-8=-6$ делится на 6, а $1-4=-3$ не делится на 6. Формулируют вывод: «Сокращать множитель можно не автоматически; нужно проверить взаимную простоту с модулем». |
3 мин | Учитель предлагает заполнить кластер «Свойства сравнений»: «В центре запишите определение, вокруг — сложение, вычитание, умножение, степень и ограничение на сокращение». | В группах составляют кластер на листе А3, соединяют свойства с определением и приводят по одному числовому примеру. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Запись в тетрадях
$a\equiv b\pmod m\Leftrightarrow m\mid(a-b)$. Если $a\equiv b\pmod m$ и $c\equiv d\pmod m$, то $a+c\equiv b+d\pmod m$, $a-c\equiv b-d\pmod m$, $ac\equiv bd\pmod m$. Если $a\equiv b\pmod m$, то $a^n\equiv b^n\pmod m$ для натурального $n$. Сокращение множителя требует дополнительных условий.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели четыре рабочих свойства и увидели опасность механического сокращения. Теперь проверим их на конкретных примерах: сначала вместе, затем вы выберете уровень самостоятельной работы».
Этап 5. Физкультминутка и смена вида деятельности (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение после доказательства и восстановить внимание перед серией вычислительных заданий.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: «Встаньте рядом с партой. На слово “плюс” поднимите руки вверх, на слово “минус” разведите их в стороны, на слово “умножить” выполните мягкий поворот корпуса. Работаем без рывков». | Выполняют движения по командам, соблюдают расстояние между партами. |
2 мин | Учитель проводит игру «Живой остаток»: «Я называю число и модуль. Если остаток 0, присядьте, если 1 — поднимите правую руку, если 2 — левую». Использует пары: 10 и 3, 14 и 4, 21 и 7. | Вычисляют остатки устно и выполняют соответствующее движение; объясняют: «$21$ при делении на $7$ даёт остаток 0». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы повторили свойства в движении и освежили понятие остатка. Возвращаемся к тетрадям и применяем правила в полном математическом оформлении».
Этап 6. Первичное закрепление: 10 примеров с подробным решением (18 мин)
Цель этапа: научить применять определение и свойства сравнений по модулю в типовых и углублённых примерах с проговариванием каждого шага.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель разбирает примеры 1–3. «Пример 1: доказать $38\equiv8\pmod{10}$. Находим разность $38-8=30$, а $10\mid30$, значит сравнение верно. Пример 2: проверить $47\equiv2\pmod9$: $47-2=45$, $9\mid45$, верно. Пример 3: найти остаток $125^2$ по модулю 7. Так как $125\equiv6\pmod7$, то $125^2\equiv6^2=36\equiv1\pmod7$». | Записывают решения 1–3, подчёркивают переход от исходного числа к меньшему сравнимому числу. |
4 мин | Учитель разбирает примеры 4–6. «Пример 4: если $a\equiv3\pmod5$ и $b\equiv4\pmod5$, найти остаток $a+b$: $a+b\equiv3+4=7\equiv2\pmod5$. Пример 5: $a-b\equiv3-4=-1\equiv4\pmod5$. Пример 6: $ab\equiv3\cdot4=12\equiv2\pmod5$». | Проговаривают: «Сначала заменяем числа остатками, затем выполняем операцию и снова находим остаток». |
5 мин | Учитель предлагает парам решить примеры 7–10, затем показывает эталон. «7) $23+41\pmod6$: $23\equiv5$, $41\equiv5$, сумма $10\equiv4$. 8) $73-28\pmod9$: $73\equiv1$, $28\equiv1$, разность $0$. 9) $14\cdot27\pmod5$: $14\equiv4$, $27\equiv2$, произведение $8\equiv3$. 10) $18^3\pmod7$: $18\equiv4$, $4^3=64\equiv1$.» | Решают примеры 7–10 в парах, сверяют каждый остаток, исправляют ошибки цветной ручкой и формулируют правило словами. |
5 мин | Учитель задаёт углублённый пример 11: «Докажите, что если $a\equiv b\pmod m$, то $a^2+3a\equiv b^2+3b\pmod m$. Используйте свойства, а не раскрытие разности». Показывает эталон: из $a^2\equiv b^2$ и $3a\equiv3b$ сложением получаем требуемое сравнение. | Записывают доказательство: $a\equiv b\Rightarrow a^2\equiv b^2$; умножением на 3 получаем $3a\equiv3b$; сложением $a^2+3a\equiv b^2+3b$. |
Эталон решения
Пример 12: доказать $17^4+2\cdot17^2\equiv5^4+2\cdot5^2\pmod6$. Поскольку $17\equiv5\pmod6$, по свойству степени $17^4\equiv5^4 herefore$ и $17^2\equiv5^2 herefore$ после умножения на 2. Складывая сравнения, получаем требуемое утверждение. Пример 13: найти $2^{10}\pmod7$. $2^3=8\equiv1 rac{}{}\pmod7$, поэтому $2^{10}=2^9\cdot2\equiv1^3\cdot2=2\pmod7$. Пример 14: доказать $n^3-n\equiv0\pmod3$. Любое целое $n$ сравнимо по модулю 3 с одним из $0$, $1$, $2$. Для остатков: $0^3-0=0$, $1^3-1=0$, $2^3-2=6$, что делится на 3. Следовательно, утверждение верно для любого целого $n$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы выполнили 14 примеров и увидели, что большие выражения можно заменять небольшими остатками. Особенно важно не только получить остаток, но и назвать свойство, которым вы воспользовались. Теперь каждый проверит себя индивидуально».
Этап 7. Самостоятельная работа с дифференциацией: примеры 15–20 (15 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение алгоритмом и дать возможность выбрать уровень сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объясняет выбор: «Выполните обязательные примеры 15–17. Затем выберите: базовый маршрут — пример 18 или повышенный — примеры 19–20. Решение оформляйте полностью: исходное сравнение, применённое свойство, вычисление остатка, ответ». | Записывают выбранный маршрут и распределяют время: около 2 минут на каждый обязательный пример и 3 минуты на повышенные. |
8 мин | Учитель наблюдает и консультирует вопросами: «Какой модуль указан? Можно ли сначала заменить основание остатком? Где вы проверите делимость разности?» Задания: 15) найти $456\pmod{11}$; 16) найти $(38^2+7\cdot38)\pmod5$; 17) доказать $35^3\equiv6^3\pmod{29}$; 18) решить $3x\equiv9\pmod{12}$ перебором остатков; 19) доказать $a^3-2a\equiv b^3-2b\pmod m$ при $a\equiv b\pmod m$; 20) найти $7^{2026}\pmod{10}$. | Индивидуально решают задания, подписывают использованные свойства. Для задания 18 составляют таблицу остатков $x=0,1,,$...$11$ и отмечают решения. Для задания 20 ищут период последних цифр степеней 7. |
5 мин | Учитель выдаёт лист самопроверки и просит применить приём «Две звезды и пожелание» в парах: две сильные стороны решения и один конкретный совет по исправлению. | Сверяют решения с эталоном, отмечают два правильных элемента и одну ошибку или зону роста, затем исправляют запись самостоятельно. |
Эталон решения
15) $456=11\cdot41+5$, поэтому $456\equiv5 rac{}{}\pmod{11}$. 16) $38\equiv3 rac{}{}\pmod5$, значит $38^2+7\cdot38\equiv3^2+7\cdot3=9+21=30 rac{}{}\equiv0 rac{}{}\pmod5$. 17) $35-6=29$, поэтому $35\equiv6 rac{}{}\pmod{29}$; возведение в третью степень даёт $35^3\equiv6^3 rac{}{}\pmod{29}$. 18) $3x\equiv9 rac{}{}\pmod{12}$. Проверяем остатки: $x=3$ даёт $9$, $x=7$ даёт $21 rac{}{}\equiv9$, $x=11$ даёт $33 rac{}{}\equiv9$; решения: $x rac{}{}\equiv3,7,11 rac{}{}\pmod{12}$. Сокращать 3 нельзя, так как $\gcd(3,12)\ne1$. 19) Из $a\equiv b$ следует $a^3\equiv b^3$ и $2a\equiv2b$; вычитанием получаем требуемое сравнение. 20) Последние цифры степеней 7 образуют цикл $7,9,3,1$ длины 4. $2026=4\cdot506+2$, поэтому $7^{2026}$ имеет остаток, совпадающий с остатком $7^2$, то есть $9$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что свойства помогают сокращать вычисления, но не отменяют проверку условий. Особенно внимательно мы относимся к сокращению множителя и к периодичности остатков. Осталось связать сегодняшнюю тему с другими областями и сформулировать личный результат».
Этап 8. Межпредметная связь и включение знаний в систему (7 мин)
Цель этапа: показать применение сравнений по модулю в информатике, календарных расчётах и естественно-научном моделировании.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает простую схему контрольной суммы: «Пусть код состоит из цифр, а проверка выполняется по модулю 9. Для кода 4827 найдём сумму цифр: $4+8+2+7=21\equiv3\pmod9$. Если одна цифра изменится на 1, остаток изменится, и система обнаружит ошибку». | Вычисляют контрольную сумму нескольких кодов, объясняют: «Одинаковый остаток позволяет быстро сравнивать данные, а изменение суммы выявляет часть ошибок». |
2 мин | Учитель задаёт связь с физикой: «В периодическом процессе состояние системы повторяется через фиксированное число тактов. Почему степень 7 при поиске последней цифры удобно рассматривать по модулю 10?» | Отвечают: «Последняя цифра — это остаток при делении на 10; последовательность остатков периодична». |
2 мин | Учитель просит написать мини-вывод по схеме ПОПС: «Я считаю, что сравнения по модулю полезны, потому что…; например…; поэтому…». | Составляют 3–4 предложения, два ученика зачитывают ответы, класс отмечает корректное применение термина «модуль». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что сравнения — это не формальная запись из учебника, а язык периодических процессов, контрольных сумм и цифровых алгоритмов. Теперь проверим, что именно каждый из вас унесёт с урока».
Этап 9. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: зафиксировать освоенные способы действий, выявить затруднения и дать разноуровневое домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт стикеры для приёма «Билет на выход»: «Запишите определение сравнения, одно свойство и ответьте, почему нельзя автоматически сокращать множитель в сравнении». | Пишут индивидуальный билет: определение через делимость разности, например свойство умножения и пояснение к контрпримеру. |
2 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Зелёный — умею применять свойства; жёлтый — понимаю правило, но ошибаюсь в оформлении; красный — нужно повторить определение». Просит назвать конкретный следующий шаг. | Поднимают карточку выбранного цвета и формулируют: «Мне нужно повторить сокращение» или «Я готов решать сравнения с большими степенями». |
1 мин | Учитель объясняет домашнее задание и критерии: «Выберите обязательный уровень и по желанию добавьте следующий. В каждом решении указывайте модуль, свойство и итоговый остаток». | Записывают выбранный уровень и контрольные вопросы, задают уточнения по формату записи. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены не менее 5 из 6 самостоятельных примеров, решение каждого задания обосновано ссылкой на определение или свойство, отдельно объяснена невозможность автоматического сокращения множителя.
- «4» — верно решены 4 из 6 примеров, допущена не более одной вычислительной ошибки, общий алгоритм и оформление сравнений сохранены.
- «3» — верно решены 3 из 6 примеров или правильно выполнены обязательные задания с неполным обоснованием; определение сравнения сформулировано в основном верно.
- Ниже отметки «3» — ученик правильно начал не менее двух заданий, но нуждается в повторении связи сравнения с делимостью разности и выполнении тренировочных примеров с опорой на памятку.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что означает запись $a\equiv b\pmod m$ и как её проверить? | Проверка осознания определения через делимость разности. |
Какое свойство помогло вам сократить вычисления в примерах со степенями? | Выявление понимания возведения сравнения в степень. |
Почему нельзя всегда сократить множитель в сравнении? | Диагностика понимания ограничений и роли взаимной простоты с модулем. |
Какой шаг решения вы готовы объяснить однокласснику, а какой нужно повторить? | Субъективная оценка освоения темы и выявление индивидуальных затруднений. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы научились видеть за сравнением по модулю делимость разности и вывели свойства сложения, вычитания, умножения и степени. Вы убедились, что большие числа можно заменять небольшими остатками, не меняя результата сравнения. Типичная ошибка — сокращать множитель без проверки его связи с модулем; именно на этом месте нужно остановиться и обосновать переход. На следующем уроке мы продолжим решать сравнения и исследуем системы остатков. Подумайте дома, как периодичность остатков помогает находить последние цифры больших степеней».»
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 сравнений: проверить два сравнения через делимость разности, найти остатки двух выражений с квадратами и применить свойства к двум суммам или произведениям. В каждом решении записать модуль и обоснование. | Закрепляет определение и базовые свойства; при проверке смотреть на корректность разности, остатка и математической записи. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания на остатки больших степеней и многочленов, аналогичных примерам 11, 13, 16 и 20; доказать одно тождественное сравнение вида $P(a)\equiv P(b)\pmod m$ при $a\equiv b\pmod m$. | Развивает перенос свойства на новые выражения и умение выбирать выгодный остаток; проверять наличие ссылки на каждое использованное свойство. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать сравнение $ax\equiv b\pmod m$ для двух случаев: когда $\gcd(a,m)=1$ и когда $\gcd(a,m)>1$. Составить по одному примеру каждого типа, решить их перебором остатков и написать объяснение, почему сокращение в одном случае допустимо, а в другом нет. | Формирует углублённое понимание обратимого множителя и ограничений сокращения; проверять полноту перебора и доказательность вывода. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что является главным критерием сравнимости двух чисел? Какие четыре операции мы сегодня обосновали? В каком случае сокращение множителя требует особой проверки? Как найти остаток большой степени, если остатки образуют период?»
