Остатки суммы и произведения по данному модулю
Цели и задачи
- Цель : за три урока научиться находить остатки суммы и произведения по данному модулю, применять свойства сравнений при решении не менее 8 из 10 практических заданий и объяснять выбранный способ решения.
- Сформировать понимание правил нахождения остатка суммы и произведения чисел по одному модулю через разбор примеров и практическую работу.
- Научить применять свойства остатков при вычислениях, сокращать большие числа до их остатков и проверять результат делением с остатком.
- Развивать умение выбирать рациональный способ решения, сравнивать способы и аргументировать ответ в парной и индивидуальной работе.
- Воспитывать ответственность за результат, аккуратность вычислений и готовность использовать математические модели в информатике, криптографии и инженерных расчётах.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность вычислений по модулю для работы с календарями, кодами, алгоритмами и цифровыми системами.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня и способа выполнения задания.
- Формируют ответственное отношение к проверке вычислений и исправлению ошибок.
- Развивают математическую уверенность через постепенный переход от простых примеров к заданиям повышенной сложности.
Метапредметные
- Извлекают правило из нескольких примеров и формулируют его своими словами.
- Планируют последовательность решения, используют самопроверку и корректируют вычисления.
- Работают с математической информацией, представленной в виде выражений, таблиц и условий практических задач.
- Сотрудничают в парах, задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор способа решения.
Предметные
- Знать смысл остатка при делении и обозначение «остаток при делении на m».
- Уметь находить остаток суммы и произведения по данному модулю.
- Уметь заменять числа их остатками по модулю перед выполнением действий.
- Уметь применять свойства сравнений $a\equiv r\pmod m$ и $b\equiv s\pmod m$ для вычисления суммы и произведения.
- Уметь проверять результат по определению деления с остатком.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель на каждый урок темы и оценивают степень её достижения.
- Понимают значение точности вычислений для получения надёжного результата.
- Проявляют готовность принимать иной способ решения, если он обоснован.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель, составляют план вычисления и выбирают уровень задания.
- Сверяют промежуточный и итоговый результат с эталоном.
- Находят вычислительную ошибку и исправляют её с указанием причины.
- Оценивают работу по критериям и формулируют дальнейший шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют существенную информацию в записи деления с остатком.
- Сравнивают прямое вычисление с вычислением через остатки.
- Обобщают несколько примеров в правило.
- Моделируют задачу с помощью сравнений по модулю и проверяют модель.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру последовательность вычислений.
- Задают вопросы о выборе модуля и допустимости остатка.
- Распределяют роли при парной проверке.
- Корректно формулируют замечания и принимают аргументированную обратную связь.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с определением остатка и памяткой: $0\le r<m$, $a= mq+r$.
- Распечатать карточки для парной работы: по одной карточке на пару, 15 комплектов.
- Распечатать самостоятельную работу в пяти вариантах: по одному варианту на ученика, включая резервные экземпляры.
- Подготовить отдельный лист с эталоном решения и ответами для самопроверки после сдачи работы.
- Подготовить карточки трёх уровней: базовый, повышающий и дополнительный; разложить их по конвертам.
- Подготовить таймер, маркеры, стикеры трёх цветов и таблицу «Знаю — Хочу узнать — Узнал».
- Вывести на экран таблицу остатков чисел от 0 до 20 по модулям 3, 4 и 5.
- Подготовить задания межпредметной направленности: циклический календарь, остатки в программном алгоритме и контрольная цифра кода.
- Организовать свободное место для двухминутной физкультминутки без оборудования.
Ход урока
Урок 1. Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практический смысл вычислений по модулю.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Сегодня мы начнём разбираться с задачами, где важно не само большое число, а то, какой остаток оно даёт. Представьте электронные часы: через 24 часа время снова повторяется. Почему можно не считать все часы по одному?" | Отвечают: "Потому что цикл повторяется через 24"; записывают дату и тему. |
2 мин | Учитель показывает на экране числа 37, 125 и 2026 и спрашивает: "Что общего у этих чисел, если мы рассматриваем их по модулю 5? Сначала подумайте самостоятельно, затем обсудите ответ в паре по приёму «Подумай — обсуди в паре — поделись»." | Находят остатки 2, 0 и 1; обсуждают в парах и формулируют: "По модулю 5 можно заменить число его остатком". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что большое число иногда можно заменить маленьким остатком. Теперь вспомним, что означает остаток и каким ограничениям он подчиняется."
Урок 1. Этап 2. Актуализация знаний (7 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм деления с остатком и выявить готовность к новому правилу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $29=6\cdot4+5$, $43=8\cdot5+3$, $57=7\cdot8+1$. "Назовите делимое, делитель, частное и остаток. Какое условие выполняет остаток?" | Называют компоненты записи; отвечают: "Остаток неотрицателен и меньше делителя". |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточку с примерами: найти остатки чисел 38, 64 и 91 при делении на 6. "Работайте индивидуально, затем сравните только ответы с соседом." | Выполняют: 2, 4, 1; сверяют ответы и отмечают совпадения. |
2 мин | Учитель просит объяснить ошибку в записи $35=6\cdot5+6$: "Можно ли считать 6 остатком при делении на 6? Почему?" | Объясняют: "Нет, остаток должен быть меньше делителя; правильная запись $35=6\cdot5+5$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили форму записи числа через делитель и остаток. Теперь проверим, можно ли складывать и умножать не сами числа, а их остатки."
Урок 1. Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему и план открытия правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает: $38+47$ и сообщает: "Найдите остаток суммы при делении на 5 двумя способами: сначала сложите числа, затем сложите их остатки. Совпадут ли результаты?" | Выполняют: $85$ даёт остаток 0; $38$ и $47$ дают остатки 3 и 2, $3+2=5$, остаток 0. |
2 мин | Учитель задаёт вопрос: "Всегда ли можно заменить слагаемые остатками? А множители? Составьте план проверки из двух шагов." | Формулируют план: "Проверить на сумме и на произведении, затем записать общее правило". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наша задача — не просто запомнить правило, а убедиться на примерах, почему оно работает. Переходим к открытию свойства."
Урок 1. Этап 4. Открытие нового знания (12 мин)
Цель этапа: вывести правила нахождения остатков суммы и произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает пары примеров по модулю 7: $23+31$ и $23\cdot31$. "Сначала найдите остатки чисел, затем выполните действие с остатками. Не забывайте привести результат к остатку меньше 7." | Находят $23\equiv2\pmod7$, $31\equiv3\pmod7$; для суммы получают $2+3=5$, для произведения $2\cdot3=6$. |
4 мин | Учитель направляет эвристическую беседу: "Если $a\equiv r\pmod m$ и $b\equiv s\pmod m$, какой остаток имеет $a+b$? Что происходит с произведением?" | Формулируют: остаток суммы совпадает с остатком $r+s$, остаток произведения — с остатком $rs$. |
3 мин | Учитель записывает памятку: "$a\equiv r\pmod m$, $b\equiv s\pmod m$; тогда $a+b\equiv r+s\pmod m$, $ab\equiv rs\pmod m$." Просит проговорить алгоритм вслух. | Записывают правило и проговаривают: "Найти остатки, выполнить действие, снова найти остаток". |
Запись в тетрадях
Записать алгоритм: 1) выбрать модуль; 2) найти остаток каждого числа; 3) выполнить действие с остатками; 4) получить остаток результата. Записать свойства: $a+b\equiv r+s\pmod m$ и $ab\equiv rs\pmod m$ с последующим приведением правой части к остатку от $0$ до $m-1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто: в сумме и произведении числа можно заменить их остатками по тому же модулю. Сейчас закрепим этот алгоритм в коротких заданиях."
Урок 1. Этап 5. Первичное закрепление в парах (8 мин)
Цель этапа: применить новое правило в заданиях базового и повышенного уровня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Найдите остаток $146+279$ при делении на 5 и остаток $146\cdot279$ при делении на 5». "Один ученик решает, второй задаёт проверочные вопросы, затем поменяйтесь ролями." | Находят остатки 1 и 4; сумма даёт 0, произведение даёт 4; записывают оба способа. |
3 мин | Учитель предлагает задание повышенного уровня: «Найдите остаток выражения $38\cdot47+125$ при делении на 6». "Объясните, почему не нужно вычислять произведение полностью." | Находят $38\equiv2$, $47\equiv5$, $125\equiv5$; получают $2\cdot5+5=15$, остаток 3. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку по критериям: остатки найдены верно, действие выполнено верно, итог приведён к допустимому остатку. | Проверяют решение партнёра, ставят две отметки «верно» и один вопрос или совет. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете сокращать большие числа до остатков. На следующем этапе каждый проверит, насколько уверенно владеет алгоритмом самостоятельно."
Урок 1. Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение правил суммы и произведения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт варианты 1–5 с заданиями: найти остаток суммы, произведения и выражения, содержащего оба действия. "Работайте без подсказок; если закончили раньше, выберите дополнительное задание." | Индивидуально решают три задания своего варианта и записывают промежуточные остатки. |
2 мин | Учитель показывает на доске краткий эталон ответов без полного решения. "Сверьте ответы, но не исправляйте молча: рядом укажите место расхождения." | Сверяют, отмечают совпадения, подчёркивают ошибочный шаг и формулируют причину. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, что важно записывать не только ответ, но и остатки каждого числа. На следующем уроке мы применим правило к более длинным выражениям."
Урок 1. Этап 7. Физкультминутка и рефлексия (3 мин)
Цель этапа: снять напряжение и осознать результат первого урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель проводит физкультминутку: "Если остаток равен 0 — поднимите руки, если 1 — потянитесь вправо, если 2 — влево. Повторяем движения по моим примерам." | Выполняют движения, быстро вычисляя остатки названных чисел. |
2 мин | Учитель предлагает «Светофор»: "Зелёная карточка — могу решить сам, жёлтая — нужна ещё практика, красная — пока не понимаю различие между остатком числа и остатком выражения." | Поднимают карточку и записывают в одну минуту: «Сегодня я научился…». |
Урок 2. Этап 8. Актуализация и проверка домашней практики (5 мин)
Цель этапа: восстановить алгоритм и разобрать типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель выводит три решения с ошибками: остаток 8 при модуле 8; сложение остатков без повторного деления; выбор разных модулей для слагаемых. "Найдите ошибку и объясните, как её исправить." | Работают в парах, исправляют записи: остаток должен быть меньше 8; результат суммы нужно снова разделить на 8; модуль должен быть одним и тем же. |
2 мин | Учитель предлагает устно вычислить остаток $72+89$ и $72\cdot89$ по модулю 9. | Отвечают: $72\equiv0$, $89\equiv8$; сумма имеет остаток 8, произведение — 0. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Ошибки связаны не с трудными вычислениями, а с нарушением алгоритма. Сегодня будем учиться применять правило к нескольким действиям подряд."
Урок 2. Этап 9. Практикум: выражения и жизненный контекст (18 мин)
Цель этапа: отработать вычисление остатков в выражениях и межпредметных задачах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель предлагает базовые задания: «Найдите остаток $245+378$ при делении на 7; $124\cdot56$ при делении на 4; $39\cdot48+17$ при делении на 5». "Решайте по алгоритму с промежуточной записью." | Находят: $0$, $0$, для третьего выражения $4\cdot3+2=14$, остаток 4. |
6 мин | Учитель предлагает задачу по информатике: «Алгоритм обрабатывает данные циклами по 8 шагов. После 125 шагов на каком шаге цикла окажется программа? Как изменится ответ после ещё 37 шагов?» | Находят $125\equiv5\text{ по модулю }8$, $37\equiv5$; сумма остатков 10, итоговый остаток 2; формулируют: "Программа окажется на втором шаге нового цикла". |
6 мин | Учитель предлагает задачу по календарю: «Если некоторый повторяющийся график рассчитан на 7 дней, какой день цикла будет через 100 дней после понедельника? Объясните решение через остаток». | Находят $100\equiv2\text{ по модулю }7$; называют среду, учитывая, что отсчёт начинается после понедельника; сравнивают с одноклассниками. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Остатки помогают не только сокращать вычисления, но и описывать циклические процессы. Теперь проверим, как вы выбираете уровень сложности и контролируете собственное решение."
Урок 2. Этап 10. Дифференцированная работа и взаимопроверка (12 мин)
Цель этапа: предоставить выбор уровня и закрепить умение объяснять способ.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три конверта: «Минимум», «База», «Вызов». "Выберите конверт сами. Ваша задача — выполнить минимум три задания и объяснить одно решение партнёру." | Выбирают уровень с учётом самооценки. |
6 мин | Учитель раздаёт задания: минимум — три суммы и произведения по модулям 3, 5 и 10; база — выражения из двух действий; вызов — выражение $a^2+ab+b^2$ при известных остатках $a$ и $b$. | Решают, записывают остатки и краткое обоснование. |
4 мин | Учитель организует проверку «Две звезды и пожелание»: "Назовите две сильные стороны решения и один конкретный совет." | Обмениваются тетрадями, формулируют обратную связь и исправляют один найденный недочёт. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы попробовали задания разной сложности и увидели, что повышение уровня требует не более длинных вычислений, а более осознанного выбора модели. На следующем уроке будет самостоятельная работа в пяти вариантах."
Урок 2. Этап 11. Физкультминутка и рефлексия (5 мин)
Цель этапа: восстановить работоспособность и зафиксировать затруднения перед контрольной практикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит разминку: "На каждый пример с остатком 0 делаем хлопок, с остатком 1 — шаг вправо, с остатком 2 — шаг влево. Действуем внимательно и безопасно." | Выполняют движения, вычисляя остатки небольших чисел. |
3 мин | Учитель предлагает заполнить колонку «Хочу узнать» и затем «Узнал» в таблице «Знаю — Хочу узнать — Узнал». | Записывают один уверенный навык и один вопрос, который нужно проверить на следующем уроке. |
Урок 3. Этап 12. Организационный момент и инструктаж к самостоятельной работе (5 мин)
Цель этапа: обеспечить самостоятельное выполнение пяти вариантов и единые критерии оценивания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель говорит: "Сегодня вы выполняете самостоятельную работу в пяти вариантах. В каждом варианте четыре задания: базовое на сумму, базовое на произведение, выражение из нескольких действий и задача повышенной сложности. Записывайте промежуточные остатки, иначе будет трудно найти ошибку." | Слушают инструктаж, подписывают листы, задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель напоминает критерии: "Сначала определите модуль, затем найдите остатки чисел, выполните действия и приведите ответ к допустимому остатку. Можно выбрать порядок заданий, но нельзя пользоваться соседним вариантом." | Проверяют наличие ручки и листа, приступают к работе. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Условия понятны, критерии известны. Теперь каждый показывает собственный результат и отвечает за последовательность решения."
Урок 3. Этап 13. Самостоятельная работа в пяти вариантах (20 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение свойств остатков в заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
20 мин | Учитель раздаёт варианты и контролирует самостоятельность. "Вариант 1: 1) остаток $347+258$ по модулю 5; 2) остаток $124\cdot37$ по модулю 6; 3) остаток $45\cdot62+19$ по модулю 7; 4) если $a\equiv2$, $b\equiv3\pmod5$, найдите остаток $a^2+ab+b^2$. Вариант 2: $578+246$ по модулю 4; $235\cdot48$ по модулю 5; $71\cdot39+84$ по модулю 8; при $a\equiv1$, $b\equiv4\text{ по модулю }6$ найдите остаток $a^2+2ab$. Вариант 3: $426+319$ по модулю 9; $146\cdot83$ по модулю 7; $52\cdot47+33$ по модулю 6; при $a\equiv3$, $b\equiv2\text{ по модулю }5$ найдите остаток $a^2+ab$. Вариант 4: $789+134$ по модулю 5; $312\cdot67$ по модулю 8; $94\cdot28+51$ по модулю 9; при $a\equiv2$, $b\equiv5\text{ по модулю }7$ найдите остаток $a^2+b^2$. Вариант 5: $654+287$ по модулю 6; $405\cdot76$ по модулю 9; $83\cdot56+29$ по модулю 5; при $a\equiv4$, $b\equiv3\text{ по модулю }8$ найдите остаток $a^2+ab+b^2$." | Индивидуально выполняют свой вариант, записывают все промежуточные остатки, проверяют, что итог меньше модуля, и сдают работу. |
Эталон решения и ответы для учителя
Вариант 1: 1) $347\equiv2$, $258\equiv3$, сумма имеет остаток $0$; 2) $124\equiv4$, $37\equiv1$ по модулю 6, произведение имеет остаток 4; 3) $45\equiv3$, $62\equiv6$, $19\equiv5$ по модулю 7, $3\cdot6+5=23$, остаток 2; 4) $2^2+2\cdot3+3^2=19$, остаток 4 по модулю 5. Ответы: 0; 4; 2; 4. Вариант 2: 1) $2+2=4$, остаток 0; 2) $0\cdot3=0$; 3) $7\cdot7+4=53$, остаток 5 по модулю 8; 4) $1+2\cdot1\cdot4=9$, остаток 3 по модулю 6. Ответы: 0; 0; 5; 3. Вариант 3: 1) $3+4=7$, остаток 7 по модулю 9; 2) $6\cdot6=36$, остаток 1; 3) $4\cdot5+3=23$, остаток 5; 4) $9+6=15$, остаток 0 по модулю 5. Ответы: 7; 1; 5; 0. Вариант 4: 1) $4+4=8$, остаток 3 по модулю 5; 2) $0\cdot3=0$ по модулю 8; 3) $4\cdot1+6=10$, остаток 1 по модулю 9; 4) $2^2+5^2=29$, остаток 1 по модулю 7. Ответы: 3; 0; 1; 1. Вариант 5: 1) $0+5=5$, остаток 5 по модулю 6; 2) $0\cdot4=0$ по модулю 9; 3) $3\cdot1+4=7$, остаток 2 по модулю 5; 4) $4^2+4\cdot3+3^2=37$, остаток 5 по модулю 8. Ответы: 5; 0; 2; 5.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Работы сданы. На следующем шаге мы не будем просто узнавать отметку: разберём, какое действие оказалось самым трудным и как превратить ошибку в алгоритм для будущих задач."
Урок 3. Этап 14. Разбор результатов и рефлексия (10 мин)
Цель этапа: осознать уровень освоения темы и выделить способы коррекции ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель показывает без фамилий три типичные ошибки: неверный модуль, остаток равен делителю, пропуск повторного приведения результата к остатку. "Обсудите в парах, какое правило нарушено и как записать исправление." | Находят ошибки, формулируют исправления и записывают правильные варианты. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что удобнее сначала сокращать — слагаемые или всё выражение? Когда произведение сразу имеет остаток 0?" | Отвечают: "Сначала сокращать каждое число"; "Если один множитель кратен модулю, произведение имеет остаток 0". |
3 мин | Учитель проводит «Билет на выход»: "Запишите правило одним предложением, приведите пример и назовите один шаг, который вы будете проверять всегда." | Сдают билет: например, "Числа можно заменить остатками по тому же модулю; всегда проверю, что остаток меньше модуля". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены 4 задания, записаны промежуточные остатки, соблюдено условие $0\le r<m$, решение задания повышенной сложности обосновано.
- «4» — верно выполнены 3 задания из 4, допущена одна вычислительная ошибка или неполная запись промежуточного шага.
- «3» — верно выполнены 2 задания из 4, правило в целом применено, но имеются ошибки в приведении результата к остатку или в одном из действий.
- Результат ниже «3» означает необходимость повторно выполнить базовые задания с опорой на алгоритм и разобрать ошибку с учителем.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о сумме и произведении по модулю? | Выявление осознания основного свойства. |
Какой шаг алгоритма вы проверяете первым и почему? | Проверка сформированности последовательности действий. |
Какое задание оказалось самым сложным: сумма, произведение или выражение из нескольких действий? | Выявление точки затруднения для коррекции. |
Где вычисления по модулю могут пригодиться в информатике, календарных расчётах или будущей профессии? | Связь предметного результата с функциональной грамотностью и мотивацией. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять большие числа их остатками и находить остатки сумм и произведений без громоздких вычислений. Самая частая ошибка — забыть привести полученный результат к остатку, меньшему модуля. Если вы записываете промежуточные шаги, ошибку легко обнаружить и исправить. На следующем уроке мы продолжим работу со сравнениями по модулю и рассмотрим более сложные выражения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 задания: найти остатки двух сумм, одного произведения и выражения из двух действий по модулям 3, 5, 7 и 10. | Закрепляет алгоритм; при проверке смотреть на единый модуль и условие $0\le r<m$. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задачи на выражения вида $ab+c$, $a^2+ab+b^2$ с заданными остатками чисел; одну задачу оформить двумя способами. | Развивает применение свойства к нескольким действиям и сравнение способов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две практические задачи: одну о циклическом процессе в информатике или календаре, другую о коде или контрольной цифре; обязательно указать модуль и обосновать решение. | Формирует функциональную грамотность, моделирование и умение создавать собственную математическую задачу. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти остаток суммы по известным остаткам слагаемых? Как найти остаток произведения? Почему результат нужно снова привести к остатку, меньшему модуля? Как проверить правильность ответа?»
