Алгебраический способ решения систем уравнений
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными алгебраическим способом, выбирая уравнение для выражения одной переменной, выполняя подстановку и проверяя полученную пару чисел.
- Сформировать представление об алгоритме алгебраического способа решения системы уравнений и научить применять его к системам вида $\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$.
- Развивать умение анализировать систему, выбирать наиболее удобное уравнение, преобразовывать выражения и находить ошибки в решении.
- Формировать навыки сотрудничества, аргументированного объяснения решения и самоконтроля по образцу.
- Показать межпредметную связь алгебры с физикой и информатикой через моделирование реальной ситуации системой уравнений и проверку результата с помощью цифрового инструмента.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность систем уравнений для описания и решения реальных задач.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать способ действия и отвечать за обоснованность своего решения.
- Развивают познавательный интерес к математическому моделированию и использованию цифровых инструментов.
- Принимают необходимость аккуратной записи и проверки результата как условия надёжности вычислений.
Метапредметные
- Формулируют цель учебной деятельности и планируют последовательность решения системы.
- Извлекают информацию из условия задачи, математической записи и электронного экрана.
- Сравнивают способы решения, выявляют ошибочные преобразования и аргументируют выбор удобного уравнения.
- Используют цифровой калькулятор или математический сервис для проверки, не заменяя им рассуждение.
- Осуществляют самооценку по критериям правильности, полноты и оформления решения.
Предметные
- Знать понятия «система уравнений», «решение системы», «пара чисел — решение системы».
- Понимать, что при алгебраическом способе одну переменную выражают через другую и подставляют полученное выражение во второе уравнение.
- Уметь решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки.
- Уметь выполнять проверку найденной пары чисел в обоих уравнениях системы.
- Уметь применять метод подстановки при решении текстовой задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения метода как инструмента решения задач из физики, экономики и информатики.
- Проявляют самостоятельность при выборе уравнения, из которого удобнее выразить переменную.
- Соблюдают математическую культуру записи и уважительно относятся к альтернативным способам решения.
- Оценивают собственную готовность применять алгоритм без подсказки.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе учебной проблемы.
- Составляют план решения системы из последовательных шагов.
- Контролируют знаки, скобки и порядок подстановки.
- Сверяют результат с эталоном и исправляют обнаруженные ошибки.
- Оценивают достижение цели по итогам самостоятельной работы.
Познавательные УУД
- Выделяют структуру системы и неизвестные величины.
- Преобразуют уравнение, выражая одну переменную через другую.
- Моделируют текстовую ситуацию системой уравнений.
- Сравнивают исходную систему с полученной парой чисел и проверяют равенства.
- Используют электронный инструмент для подтверждения вычислительного результата.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру каждый шаг решения, используя математические термины.
- Задают уточняющие вопросы о выборе уравнения и знаках при раскрытии скобок.
- Согласовывают общий вариант решения в паре.
- Аргументированно представляют решение классу и корректно анализируют ошибочный вариант.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемной задачей, алгоритмом метода подстановки и двумя системами для самостоятельной работы.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточку с системой $\begin{cases} x+y=7 \\ 2x-y=5 \end{cases}$ для совместного разбора.
- Подготовить карточку с межпредметной задачей о движении: расстояние, скорость и время заданы так, чтобы модель сводилась к системе двух линейных уравнений.
- Вывести на экран таблицу «Шаг — действие — контроль»: выразить переменную; подставить; решить; найти вторую переменную; проверить.
- Подготовить ноутбук, проектор и доступ к электронному математическому калькулятору или графическому сервису для проверки найденной пары.
- Раздать на каждую парту лист с алгоритмом и мини-лист самооценки с пунктами «выразил», «подставил», «решил», «проверил».
- На доске заранее записать тему урока и оставить место для системы и эталона решения.
- Подготовить таймер на 3 минуты для парной работы и на 5 минут для самостоятельной работы.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость нового способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, учебник и карточка должны лежать перед вами. Сегодня вы будете не только решать, но и выбирать наиболее удобный шаг решения. На доске записана тема урока; прочитайте её и определите, с каким уже знакомым объектом мы будем работать." | Проверяют готовность, читают тему, формулируют: "Будем решать системы уравнений алгебраическим способом". |
2 мин | Учитель показывает на экране ситуацию: "Два товара вместе стоят 70 рублей. Два первых товара и один второй стоят 95 рублей. Как узнать цену каждого? Устно решить такую задачу трудно, поэтому обозначим цены буквами и составим систему. Какой математический инструмент поможет получить точный ответ?" | Предлагают обозначить цены переменными, составляют систему и отвечают: "Нужен способ решения системы уравнений". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что система помогает описать реальную ситуацию. Сейчас вспомним, что означает решение системы, и найдём место, где прежних действий окажется недостаточно."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия системы, решения уравнения и преобразования линейного уравнения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Вспомните, что называется решением системы. Сначала 30 секунд подумайте самостоятельно, затем одну минуту обсудите ответ с соседом. После этого назовём точную формулировку." | Формулируют в парах: "Решение системы — пара значений переменных, которая обращает оба уравнения в верные равенства". |
3 мин | Учитель записывает на доске уравнение $3x+y=11$ и спрашивает: "Как выразить $y$? Какие свойства равенств используем? Теперь решите полученное уравнение относительно $x$, если $y=2$. Где обязательно проверить ответ?" Учитель фиксирует верные действия и обращает внимание на знак перед $3x$. | Выражают $y=11-3x$, затем при $y=2$ находят $x=3$, называют свойства равенств и отвечают: "Проверять нужно в исходном уравнении или в обоих уравнениях системы". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, как выразить переменную и как проверить равенство. Но пока у нас нет полного алгоритма для двух уравнений. Теперь выясним, как превратить систему в одно уравнение с одной переменной."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать алгоритм предстоящей работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает систему $\begin{cases} x+y=7 \\ 2x-y=5 \end{cases}$ и говорит: "Попробуйте решить её так, чтобы не складывать и не вычитать уравнения. Что можно сделать с первым уравнением? Почему выражение одной переменной может помочь?" Учитель принимает гипотезы, не называя готовый алгоритм. | Предлагают: "Из первого уравнения можно выразить $y=7-x$ и заменить $y$ во втором уравнении". Формулируют затруднение: "Нужно понять порядок действий и не потерять знак". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Сформулируйте цель урока так, чтобы по ней можно было проверить результат. Какие шаги должны появиться в нашем плане?" На доске записывает предложения учащихся и объединяет их в алгоритм. | Записывают цель: "Научиться решать системы методом подстановки и проверять ответ". Называют шаги: выразить, подставить, решить, найти вторую переменную, проверить. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема ясна: нужно заменить две связанные неизвестные одной. Мы сформулировали план и сейчас проверим его на конкретной системе, проговаривая каждый переход."
Этап 4. Открытие нового знания: алгоритм метода подстановки (8 мин)
Цель этапа: вывести и осознанно применить алгоритм алгебраического способа решения системы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на доске решение системы и говорит: "Шаг первый — выбираем уравнение, где переменную удобно выразить без дробей. В системе $\begin{cases} x+y=7 \\ 2x-y=5 \end{cases}$ выразим $y$ из первого уравнения: $y=7-x$. Шаг второй — подставляем это выражение во второе уравнение: $2x-(7-x)=5$. Скобки обязательны: знак минус относится ко всему выражению $7-x$." | Записывают в тетрадь систему и первые два шага, подчёркивают выражение $y=7-x$, объясняют, почему при подстановке нужны скобки. |
3 мин | Учитель продолжает: "Раскроем скобки: $2x-7+x=5$, откуда $3x=12$ и $x=4$. Теперь возвращаемся к выражению $y=7-x$ и получаем $y=3$. Ответ записываем парой $(4;3)$, а не отдельными числами. Проверяем оба уравнения: $4+3=7$, $2\cdot4-3=5$." Учитель выделяет каждый шаг цветом. | Решают вместе с учителем, проговаривают: "$x=4$, затем $y=3$"; записывают ответ $(4;3)$ и две проверки. |
2 мин | Учитель организует мини-обсуждение: "Что изменится, если из второго уравнения выразить $y$? Получится ли тот же ответ? Какой вариант удобнее выбирать в другой системе?" | Сравнивают варианты, делают вывод: "Можно выбирать любое уравнение, но удобнее то, где переменная выражается проще". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) выразить одну переменную через другую из любого уравнения; 2) подставить полученное выражение во второе уравнение; 3) решить уравнение с одной переменной; 4) найти значение второй переменной; 5) записать ответ парой и выполнить проверку в обоих уравнениях.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили не просто ответ, а проверяемый алгоритм из пяти шагов. Теперь применим его сначала вместе, а затем вы попробуете выполнить те же действия самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление и межпредметная задача (6 мин)
Цель этапа: закрепить метод подстановки при решении учебной и практической задачи, связанной с физикой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточку и говорит: "Решим задачу из физического контекста. Велосипедист и пешеход одновременно прошли 18 км. Скорость велосипедиста на 6 км/ч больше скорости пешехода, а время движения каждого составило 2 часа. Составьте систему, обозначив скорость пешехода через $x$, скорость велосипедиста через $y$, и выберите уравнение для подстановки." Учитель уточняет, что в условии используются величины «скорость» и «время». | Составляют систему $\begin{cases} 2x+2y=18 \\ y-x=6 \end{cases}$, выбирают второе уравнение, выражают $y=x+6$, подставляют в первое. |
3 мин | Учитель помогает вопросами: "После подстановки какое уравнение получаем? Чему равна скорость пешехода? Как проверить физический смысл ответа?" Учитель принимает решения двух пар и кратко обсуждает расхождения. | Решают: $2x+2(x+6)=18$, $4x=6$, $x=1{,}5$, $y=7{,}5$. Проверяют, что скорости положительны, и отвечают: "Пешеход двигался со скоростью 1,5 км/ч, велосипедист — 7,5 км/ч". |
Эталон решения
Из второго уравнения $y-x=6$ выражаем $y=x+6$. Подставляем в первое: $2x+2(x+6)=18$. Раскрываем скобки: $2x+2x+12=18$. Получаем $4x=6$, поэтому $x=1{,}5$. Находим $y=1{,}5+6=7{,}5$. Ответ: пешеход — $1{,}5$ км/ч, велосипедист — $7{,}5$ км/ч.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Алгоритм работает не только с абстрактными буквами: он переводит физическую ситуацию в систему и возвращает осмысленный ответ. Теперь проверим, сможете ли вы выполнить все шаги без коллективной подсказки."
Этап 6. ИКТ-проверка и анализ ошибки (4 мин)
Цель этапа: сформировать ответственное использование цифрового инструмента для проверки математического рассуждения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран электронный математический сервис и говорит: "Сначала решите систему на бумаге, а затем введите её в сервис только для проверки. Цифровой ответ не заменяет запись алгоритма. Сравним результат для системы $\begin{cases} x-y=2 \\ 3x+y=10 \end{cases}$. Какие числа вы ожидаете получить?" | В парах решают систему: из первого уравнения $x=y+2$, подставляют во второе, находят $y=1$, $x=3$. Вводят систему в сервис и сравнивают результат. |
2 мин | Учитель показывает ошибочный экранный вариант: $x-y=2$, значит $x=y-2$. Спрашивает: "На каком шаге нарушено равенство? Как исправить запись?" Учитель подчёркивает необходимость обратной проверки. | Находят ошибку в переносе числа, исправляют: $x=y+2$, объясняют, что при проверке ошибочная пара не удовлетворяет первому уравнению. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цифровой инструмент быстро обнаружил несовпадение, но причину ошибки нашли вы. Переходим к индивидуальной работе: сейчас каждый покажет, умеет ли применять алгоритм самостоятельно."
Этап 7. Самостоятельная работа с самопроверкой (7 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и обеспечить самопроверку по эталону.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки с выбором уровня. Базовый вариант: решить $\begin{cases} x+y=9 \\ x-y=1 \end{cases}$. Повышающий вариант: решить $\begin{cases} 2x+y=8 \\ x-y=1 \end{cases}$. Учитель напоминает: "Записывайте все пять шагов, а не только ответ. После решения обязательно подставьте пару в оба уравнения." | Индивидуально решают выбранную систему, подписывают шаги алгоритма, выполняют две проверки и отмечают в листе самооценки выполненные пункты. |
2 мин | Учитель открывает на доске эталон: для базовой системы $y=9-x$, $x-(9-x)=1$, $2x=10$, $x=5$, $y=4$. Для повышающей системы $y=x-1$, $2x+x-1=8$, $3x=9$, $x=3$, $y=2$. Просит отметить совпадения и исправить одну ошибку зелёной ручкой. | Сверяют каждый шаг с эталоном, исправляют ошибки, ставят себе отметку по критериям: правильность преобразований, полный алгоритм, проверка ответа. |
Эталон решения
Для базовой системы: $x+y=9$, $x-y=1$. Из первого уравнения $y=9-x$. Подстановка во второе даёт $x-(9-x)=1$, поэтому $2x=10$ и $x=5$. Тогда $y=4$. Проверка: $5+4=9$, $5-4=1$. Ответ: $(5;4)$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, на каком именно шаге возникли трудности. Важно исправить не только ответ, но и причину ошибки — знак, скобки или порядок действий. Осталось сформулировать общий вывод и оценить свою работу."
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: обобщить алгоритм, оценить степень освоения материала и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Светофор»: "Покажите цвет, который соответствует вашей уверенности: зелёный — могу решить сам; жёлтый — нужна проверка знаков или скобок; красный — пока не могу начать. Теперь одним предложением завершите фразу: «Чтобы решить систему методом подстановки, я…»" | Поднимают карточку выбранного цвета, формулируют алгоритм: "Выражаю переменную, подставляю, решаю, нахожу вторую переменную и проверяю". |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание: "Выберите уровень по результату сегодняшней работы. В тетради обязательно оформите решения пошагово и выполните проверку в обоих уравнениях. Перед выходом ответьте письменно: зачем нужна проверка?" | Записывают выбранный уровень, отвечают на контрольный вопрос: "Чтобы убедиться, что найденная пара удовлетворяет обоим уравнениям системы". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решена система выбранного уровня, записаны все пять шагов алгоритма, выполнена проверка в обоих уравнениях, преобразования и знаки оформлены корректно.
- «4» — система решена верно, но допущена одна неточность в оформлении или пропущена одна из двух проверок; ход решения в целом понятен.
- «3» — найдено верное значение одной переменной или выполнены отдельные шаги алгоритма, но допущена вычислительная ошибка, ошибка знака либо отсутствует обоснованная проверка.
- Ниже «3» — ученик не смог выразить переменную и подставить её во второе уравнение или запись не позволяет восстановить ход рассуждений.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма метода подстановки вы выполняете уверенно? | Выявление освоенной части алгоритма и фиксация личного прогресса. |
На каком шаге чаще всего возникает ошибка: при выражении переменной, подстановке, раскрытии скобок или проверке? | Выявление конкретной точки затруднения для последующей коррекции. |
Почему цифровой сервис не заменяет запись решения? | Проверка понимания роли математического рассуждения и ИКТ-инструмента. |
Какой уровень домашнего задания вы выбрали и почему? | Осознание самооценки и готовности к самостоятельной работе. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились решать систему уравнений методом подстановки: выразили одну переменную, подставили её во второе уравнение, нашли значения обеих переменных и проверили ответ. Самая частая ошибка — потеря знака минус перед скобками, поэтому при подстановке обязательно используйте скобки и выполняйте проверку. Вы увидели, что системы описывают не только учебные примеры, но и ситуации из физики. На следующем уроке мы сравним алгебраический способ с другими способами решения систем и будем выбирать наиболее рациональный."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 3 системы двух линейных уравнений методом подстановки, в каждой записать все пять шагов и проверить найденную пару в обоих уравнениях. | Закрепить алгоритм; при проверке обратить внимание на выражение переменной, скобки и запись ответа парой. |
Средний (повышающий) | Решить 4 системы, включая случаи, когда переменная выражается с коэффициентом, например $2x+y=7$, и выбрать в каждой системе наиболее удобное уравнение для подстановки. | Развить умение анализировать структуру системы и рационально выбирать первый шаг. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить систему по текстовой задаче о стоимости двух товаров или движении, решить её методом подстановки, проверить ответ и кратко объяснить смысл найденных величин. | Развить математическое моделирование, функциональную грамотность и перенос алгоритма в реальный контекст. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Что означает пара чисел — решение системы?», «Какой знак появляется при подстановке выражения в скобках?», «Зачем проверять найденную пару в обоих уравнениях?»
