Квадратные корни: открываем новое понятие
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться распознавать квадратный корень из неотрицательного числа, находить значения корней из точных квадратов и применять определение квадратного корня при решении практических задач.
- Сформировать понимание квадратного корня как числа, квадрат которого равен данному неотрицательному числу.
- Научиться читать и записывать выражения со знаком корня, находить корни из чисел 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
- Развивать умение выдвигать гипотезу, проверять её возведением в квадрат, объяснять ход рассуждения и находить ошибку.
- Показать связь алгебры с геометрией и практикой: вычислением стороны квадрата по его площади.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к новому математическому понятию через связь с измерением длины и площади.
- Осознают ценность точного математического языка при описании реальных объектов.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня задания и готовность корректно обсуждать разные способы решения.
- Формируют ответственное отношение к проверке результата и исправлению ошибки.
Метапредметные
- Формулируют учебную цель на основе выявленного затруднения и планируют последовательность действий.
- Извлекают информацию из условия задачи, таблицы и геометрической модели.
- Сравнивают способы решения, аргументируют выбор и формулируют вывод.
- Осуществляют самопроверку по эталону, оценивают результат и корректируют решение.
Предметные
- Знать определение квадратного корня из неотрицательного числа и обозначение $\sqrt{a}$.
- Уметь находить квадратные корни из точных квадратов и проверять результат возведением в квадрат.
- Уметь объяснять, почему квадратный корень из неотрицательного числа является неотрицательным.
- Уметь применять понятие квадратного корня при нахождении стороны квадрата по его площади.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в достижение цели урока и выбирают посильный уровень самостоятельной работы.
- Связывают изучаемое понятие с будущими сферами деятельности: строительством, инженерией, дизайном и измерениями.
- Осознают необходимость точности записи и проверки математического результата.
- Сохраняют учебную мотивацию при встрече с новым символом и непривычной формулировкой.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и составляют алгоритм нахождения квадратного корня.
- Планируют решение задачи по шагам: определить число, подобрать квадрат, проверить результат.
- Контролируют знак найденного корня и соответствие ответа условию.
- Оценивают работу по критериям и исправляют обнаруженные ошибки.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки квадратного корня и отличают их от нес существенных.
- Устанавливают связь между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня.
- Строят математическую модель практической ситуации с площадью квадрата.
- Сравнивают выражения $\sqrt{25}$ и решения уравнения $x^2=25$, выявляя различие между корнем выражения и корнями уравнения.
Коммуникативные УУД
- Формулируют предположение и представляют его партнёру в формате «Подумай — обсуди в паре — поделись».
- Задают уточняющие вопросы о знаке и проверке квадратного корня.
- Аргументируют решение, используя определение, а не только вычислительный ответ.
- Сотрудничают при сравнении решений и уважительно относятся к иной стратегии.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с квадратами чисел от 0 до 10 и изображением квадрата со сторонами 1, 2, 3, 4 и 5 единиц.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной карточке на каждого ученика, всего по числу учащихся в классе.
- Подготовить карточки с числами 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 — по одной на пару.
- Распечатать лист самопроверки с определением, алгоритмом и заданиями — по одному на ученика.
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» — по одному комплекту на парту.
- Вывести на экран проблемную задачу: «Площадь квадратной клумбы равна 64 м². Как найти длину её стороны?».
- Подготовить линейку, изображение плана квадратной площадки и калькулятор для демонстрации проверки, но не для замены рассуждения.
- Освободить на доске место для определения, алгоритма и таблицы квадратов натуральных чисел.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность и показать практическую необходимость нового понятия.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и листа самопроверки. Сегодня вы будете не просто запоминать новое обозначение, а сами выведете его смысл. В конце урока каждый сможет выбрать базовое или повышенное задание." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
2 мин | Учитель показывает изображение квадратной клумбы площадью 64 м² и обращается к классу: "Представьте, что нужно заказать ограждение для этой клумбы. Известна площадь, но неизвестна длина стороны. Как её найти? Что нужно сделать с числом 64?" Учитель фиксирует ответы на доске и не сообщает новый термин. | Рассматривают модель, предлагают: "Нужно найти число, которое при умножении само на себя даёт 64", называют 8 и проверяют: $8^2=64$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что в практической задаче нужно выполнить действие, обратное возведению в квадрат. Сейчас проверим, как записать это действие математически и какие правила для него необходимы."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: актуализировать связь умножения числа на себя с квадратом числа и подготовить выявление затруднения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит таблицу квадратов и говорит: "Вспомним, что означает запись $a^2$. Заполните пропуски: $3^2=...$, $5^2=...$, $(-4)^2=...$. Обратите внимание на знак результата." | Заполняют: $3^2=9$, $5^2=25$, $(-4)^2=16$; формулируют: "Квадрат числа неотрицателен". |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Назовите числа, квадрат которых равен 36. Сначала подумайте молча, затем обсудите ответ с соседом и объясните классу." | Индивидуально записывают 6 и -6, в парах обсуждают, сообщают: "$6^2=36$ и $(-6)^2=36$". |
1 мин | Учитель задаёт вопрос: "Если $x^2=36$, сколько решений имеет уравнение? А если я хочу обозначить именно неотрицательное число, квадрат которого равен 36, как избежать неоднозначности?" | Отвечают: "Уравнение имеет два корня: 6 и -6; нужно отдельно указать неотрицательный корень". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что одно и то же неотрицательное число может быть квадратом двух противоположных чисел. Значит, нам нужно точное определение нового действия и особое обозначение."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске задания $\square^2=49$, $\square^2=0$, $\square^2=-9$ и говорит: "Попробуйте обозначить неизвестное число в каждом случае. Где возникло затруднение? Почему для последнего задания нельзя подобрать действительное число?" | Записывают варианты 7 и -7 для первого задания, 0 для второго; объясняют: "Квадрат действительного числа не бывает отрицательным". |
2 мин | Учитель предлагает сформулировать цель: "Составьте план, который поможет нам сегодня разобраться с новым символом. Какие шаги нужны?" На доске фиксирует предложения: определить, обозначить, научиться находить, проверить применением. | Формулируют цель: "Узнать, что такое квадратный корень, научиться находить корни и проверять их"; предлагают последовательность действий. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема поставлена: нужно однозначно обозначить неотрицательный корень и научиться работать с ним. Теперь проведём небольшое математическое исследование и сами сформулируем определение."
Этап 4. Открытие нового знания. Межпредметная связь с геометрией (10 мин)
Цель этапа: вывести определение квадратного корня и связать его с нахождением стороны квадрата по площади.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре изображения квадратов с площадями 1, 4, 9 и 25 квадратных единиц и говорит: "В геометрии площадь квадрата вычисляется по формуле $S=a^2$. Если площадь известна, сторона находится обратным действием. Для площади 25 какая сторона подходит? Почему длина не может быть отрицательной?" | По рисункам устанавливают соответствия: $S=1$, $a=1$; $S=4$, $a=2$; $S=9$, $a=3$; $S=25$, $a=5$. Формулируют: "Длина — неотрицательная величина". |
3 мин | Учитель записывает на доске: "$\sqrt{a}$ — квадратный корень из числа $a$" и поясняет: "Квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$. Поэтому $\sqrt{25}=5$, потому что $5\ge0$ и $5^2=25$. Число -5 также имеет квадрат 25, но квадратным корнем из 25 по определению является именно 5." | Записывают определение и пример, проговаривают признаки: подкоренное число неотрицательно; результат неотрицателен; квадрат результата равен подкоренному числу. |
2 мин | Учитель показывает записи $\sqrt{49}$, $\sqrt{0}$, $\sqrt{-16}$ и спрашивает: "Какие выражения имеют смысл в множестве действительных чисел? Как проверим найденный корень?" | Отвечают: "$\sqrt{49}=7$, $\sqrt{0}=0$; $\sqrt{-16}$ не имеет действительного значения"; объясняют проверку возведением в квадрат. |
2 мин | Учитель предлагает составить алгоритм: "Первый шаг — определить подкоренное число. Второй — найти неотрицательное число, квадрат которого равен ему. Третий — проверить результат. Какой шаг поможет избежать ошибки со знаком?" | Формулируют алгоритм, подчёркивают слово «неотрицательное», приводят пример $\sqrt{81}=9$, а не $-9$. |
Запись в тетрадях
Ученики записывают: «Квадратным корнем из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, квадрат которого равен $a$». Алгоритм: 1) определить подкоренное число; 2) подобрать неотрицательное число с нужным квадратом; 3) проверить возведением в квадрат. Примеры: $\sqrt{36}=6$, $\sqrt{0}=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы открыли определение и увидели геометрический смысл квадратного корня: это длина стороны квадрата по известной площади. Теперь проверим новое правило сначала вместе, а затем самостоятельно."
Этап 5. Первичное закрепление (7 мин)
Цель этапа: закрепить определение и научиться проговаривать проверку результата.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки с числами и говорит: "В парах распределите карточки, найдите квадратный корень и обязательно запишите проверку. Образец: $\sqrt{64}=8$, потому что $8\ge0$ и $8^2=64$." | В парах решают: $\sqrt{1}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{36}$, $\sqrt{100}$; записывают проверки. |
2 мин | Учитель проводит взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями. Поставьте знак плюс, если указаны и ответ, и проверка; если есть ошибка, подчеркните место, но не исправляйте за партнёра." | Проверяют записи, находят ошибки в знаке или в вычислении, возвращают тетради. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку: "Ученик написал $\sqrt{49}=\pm7$. Согласны ли вы? Объясните, чем отличается значение квадратного корня от решения уравнения $x^2=49$." | Исправляют запись: "$\sqrt{49}=7$; $x^2=49$ имеет решения $x=7$ и $x=-7$". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились отличать квадратный корень от корней уравнения и проверять ответ по определению. Далее каждый выполнит работу самостоятельно, выбрав уровень и контролируя себя по алгоритму."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение определения, вычисления и практического применения квадратного корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите один из трёх уровней. Базовый обязателен для всех, средний и продвинутый можно выбрать при готовности. Работайте молча, сначала решите, затем проверьте каждый корень возведением в квадрат." Раздаёт карточки. | Выбирают уровень, записывают номер варианта и приступают к работе. |
5 мин | Учитель предлагает задания: базовый — вычислить $\sqrt{0}$, $\sqrt{9}$, $\sqrt{25}$, $\sqrt{64}$; средний — сравнить $\sqrt{36}$ и 7, найти ошибку в записи $\sqrt{81}=-9$; продвинутый — решить задачу: «Площадь квадратной площадки равна 121 м². Найдите длину стороны и периметр площадки». | Решают индивидуально, оформляют проверки. В практической задаче записывают $a=\sqrt{121}=11$ м и $P=4a=44$ м. |
2 мин | Учитель открывает эталон на экране: "$\sqrt{0}=0$, $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{25}=5$, $\sqrt{64}=8$; $\sqrt{36}=6<7$; $\sqrt{81}=9$, так как квадратный корень неотрицателен; $a=\sqrt{121}=11$ м, $P=4\cdot11=44$ м". Просит отметить ошибки цветом. | Сверяют каждую строку с эталоном, ставят отметку напротив верных ответов, исправляют ошибки. |
2 мин | Учитель проводит «Светофор»: "Покажите цвет, который отражает ваше состояние: зелёный — могу объяснить определение и решить пример; жёлтый — нужен ещё один образец; красный — пока не понимаю, где подкоренное число и как проверить ответ." | Показывают карточку, формулируют индивидуальный вопрос или называют шаг, который вызвал затруднение. |
Эталон решения
Для задачи о площадке: 1) по формуле площади квадрата $S=a^2$ имеем $a^2=121$; 2) длина стороны неотрицательна, поэтому $a=\sqrt{121}=11$ м; 3) периметр квадрата $P=4a=4\cdot11=44$ м; 4) проверка: $11^2=121$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что алгоритм работает и в вычислениях, и в геометрической задаче. Осталось осмыслить, какие признаки квадратного корня нельзя забывать и что нужно потренировать дома."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: обобщить новое знание, выявить затруднения и определить дальнейшую самостоятельную работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутка»: "За одну минуту завершите три фразы: квадратный корень — это...; чтобы найти $\sqrt{a}$, нужно...; нельзя писать $\sqrt{a}$ при условии..." | Записывают ответы: "неотрицательное число, квадрат которого равен a"; "найти число и проверить квадратом"; "если a<0 в действительных числах". |
2 мин | Учитель задаёт вопросы классу: "Чем отличается $\sqrt{25}$ от решений уравнения $x^2=25$? Почему $\sqrt{49}$ не равен -7? Где в жизни может понадобиться найти корень?" | Отвечают: "$\sqrt{25}=5$, а уравнение имеет решения 5 и -5"; "квадратный корень по определению неотрицателен"; называют геометрию, строительство, проектирование и измерения. |
2 мин | Учитель объявляет домашнее задание и говорит: "Выберите уровень осознанно: обязательный закрепляет основу, повышающий требует объяснения, дополнительный — применения в новом контексте. Перед выходом ответьте на контрольные вопросы на листке." | Записывают домашнее задание, отвечают на контрольные вопросы, сдают лист рефлексии. |
Вопросы для выхода: «Что означает знак $\sqrt{}$? Какое число является квадратным корнем из 64? Почему ответ не может быть отрицательным? Как проверить найденный корень?»
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, корректно записано определение, в вычислениях приведены проверки; для продвинутой задачи найдены и сторона, и периметр.
- «4» — верно выполнено не менее 75% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или неточность в оформлении проверки, но смысл определения понятен.
- «3» — верно выполнено не менее половины базовых заданий, однако допущены ошибки в знаке корня или отсутствует часть проверок; ученик может объяснить определение с подсказкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о знаке квадратного корня? | Проверить осознание определения и условия неотрицательности результата. |
Почему $\sqrt{36}=6$, а не $\pm6$? | Выявить различение квадратного корня и решений квадратного уравнения. |
Какой шаг алгоритма оказался самым сложным? | Определить точку затруднения для последующей коррекции. |
Где можно применить квадратный корень вне урока? | Проверить перенос знания в практический и межпредметный контекст. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли смысл квадратного корня и связали его с нахождением стороны квадрата по площади. Главное правило урока — квадратный корень является неотрицательным числом, поэтому $\sqrt{49}=7$, а не $-7$ и не $\pm7$. Не забывайте проверять ответ возведением в квадрат и отличать значение корня от решений уравнения. На следующем уроке мы продолжим работать со свойствами квадратных корней и научимся преобразовывать выражения с корнями."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий на вычисление квадратных корней из точных квадратов от 0 до 144 и к каждому ответу записать проверку возведением в квадрат. | Закрепляет определение, таблицу квадратов и контроль знака результата; при проверке смотреть наличие проверки. |
Средний (повышающий) | Решить 4 задания: сравнить квадратные корни с натуральными числами, исправить две ошибочные записи и решить две задачи на нахождение стороны квадрата по площади. | Развивает сравнение, аргументацию и применение корня в геометрическом контексте; проверять объяснение, а не только ответ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить практическую задачу о квадратной площадке или экране, в которой по площади нужно найти сторону, затем вычислить периметр и объяснить выбор неотрицательного корня. | Формирует умение моделировать ситуацию и переносить знание в новый контекст; оценивать корректность условия, единиц измерения и проверки. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называют квадратным корнем из числа $a$? Для каких $a$ квадратный корень имеет действительное значение? Как найти $\sqrt{81}$? Чем квадратный корень отличается от корней уравнения $x^2=81$?»
