Определение степени с целым показателем
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики сформулируют определение степени с нулевым и отрицательным целым показателем и верно выполнят не менее четырёх из пяти заданий на вычисление таких степеней и преобразование выражений.
- Образовательная задача: вывести определения $a^0=1$ и $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$, опираясь на ранее изученные свойства степеней.
- Развивающая задача: развивать умение замечать закономерность в последовательности степеней, объяснять ход рассуждений и проверять вычисления по определению.
- Развивающая задача: организовать парное решение практических заданий с обсуждением способов вычисления и взаимной проверкой по критериям.
- Воспитательная задача: поддерживать самостоятельность, уважение к аргументам партнёра и готовность корректно исправлять собственные ошибки.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают, что математическое определение можно получить логическим продолжением уже известного правила, а не только запомнить.
- Проявляют готовность самостоятельно выбирать уровень практического задания и отвечать за проверку своего решения.
- Уважают мнение партнёра при обсуждении того, почему основание степени с отрицательным показателем не может быть нулём.
- Видят связь математической записи степеней с компактным представлением очень малых величин в естественных науках.
Метапредметные
- Выделяют закономерность в цепочке частных степеней и формулируют вывод, опираясь на таблицу наблюдений.
- Планируют решение, применяют правило деления степеней и сверяют результат с определением.
- Читают математические записи и условие прикладной задачи, извлекают необходимые данные и переводят их в выражение со степенью.
- Объясняют партнёру ход рассуждений, задают уточняющие вопросы и дают корректную обратную связь.
Предметные
- Знают, что при $a\ne0$ нулевая степень равна единице: $a^0=1$.
- Знают, что при $a\ne0$ отрицательный показатель задаёт обратную степень: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, где $n$ — натуральное число.
- Умеют вычислять значения числовых выражений с нулевыми и отрицательными целыми показателями, учитывая порядок действий.
- Умеют преобразовывать простые частные степеней с одинаковым ненулевым основанием и объяснять условие $a\ne0$.
- Различают знак основания и знак показателя, не смешивают $(-2)^{-2}$ и $-2^{-2}$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят цель урока с практической задачей: научиться осмысленно вычислять степени с любым целым показателем.
- Выбирают посильный уровень самостоятельной работы и при готовности переходят к заданию повышенной сложности.
- Оценивают собственный прогресс по конкретным признакам: верно ли определены основание, показатель и условие ненулевого основания.
- Принимают ошибку как повод проверить рассуждение и при необходимости скорректировать решение.
Регулятивные УУД
- Формулируют учебную цель после обнаружения затруднения при продолжении последовательности степеней.
- Планируют переход от известного свойства частного степеней к определению нулевого и отрицательного показателя.
- Сверяют вычисления с эталоном и отмечают, на каком шаге возникла ошибка.
- Распределяют время на обязательное и дополнительное задания и оценивают достижение личной цели урока.
Познавательные УУД
- Сравнивают значения соседних степеней числа и выявляют закономерность при уменьшении показателя на единицу.
- Применяют ранее изученное свойство частного степеней и преобразуют выражение $a^m:a^n$.
- Строят математическую модель для прикладного условия, в котором встречается десятичная степень.
- Проверяют истинность вывода на конкретных ненулевых основаниях и объясняют, почему нулевое основание исключается.
Коммуникативные УУД
- В паре по очереди предлагают шаг преобразования и поясняют, какое свойство использовали.
- Задают партнёру вопросы о выборе основания, знаке показателя и допустимости основания.
- Сопоставляют решения без оценочных высказываний о человеке и аргументируют замечание математическим правилом.
- Представляют классу согласованную формулировку определения и выслушивают альтернативные объяснения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить доску или слайд с цепочкой частных степеней $2^3:2^3$, $2^3:2^4$, $2^3:2^5$ и пустыми местами для результатов.
- Составить и распечатать карточки для парной работы с тремя короткими заданиями — по одной карточке на пару, ориентировочно 15 карточек.
- Подготовить индивидуальные карточки трёх уровней: обязательный, базовый и повышенный — по одной карточке на ученика с запасом в 3 экземпляра.
- Подготовить небольшие листы для рефлексии и билета на выход — по одному на каждого ученика.
- Открыть в учебнике раздел по степеням с целым показателем: на уроке ученики сверят формулировки и выполнят одно подходящее задание без указания номера или страницы.
- Вывести на экран таблицу наблюдений: показатель степени, выражение через деление степеней, полученное значение; оставить последние строки незаполненными.
- Подготовить на доске шпаргалку-напоминание с ранее известным правилом $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$ и вопросом «Что произойдёт, если $m-n=0$ или $m-n<0$?».
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; подготовить маркеры двух цветов для выделения основания и показателя.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (2 мин)
Цель этапа: организовать класс и заинтересовать учеников вопросом о том, как сохранить закономерность степеней при продолжении показателей ниже нуля.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на доске последовательность $2^3=8$, $2^2=4$, $2^1=2$, $2^0=?$. «Здравствуйте. Посмотрите на доску: каждый следующий показатель на единицу меньше предыдущего, а значение степени меняется закономерно. Не вычисляйте наугад — попробуйте заметить правило. Какое число должно стоять вместо вопросительного знака, если закономерность продолжается?» | Готовят тетради и ручки, рассматривают последовательность и предлагают ответ: «1, потому что при уменьшении показателя значение делится на 2». |
1 мин | Учитель просит подумать самостоятельно, затем кратко обсудить идею с соседом. «Сначала у каждого есть полминуты на собственную гипотезу, затем обменяйтесь ею с партнёром. Пока не называем правило готовым определением: важно понять, откуда оно возникает. Какой вопрос остаётся, если продолжить последовательность ещё на один шаг?» | Обдумывают закономерность, обсуждают её в паре и формулируют вопрос: «Чему равно $2^{-1}$ и почему?» |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы заметили, что при уменьшении показателя значение степени делится на основание. Проверим, как это связано с уже знакомыми свойствами степеней, и выведем правило сами».
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить необходимые знания о натуральной степени и частном степеней, чтобы использовать их для открытия нового определения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель открывает в учебнике раздел о степенях и показывает на доске напоминание $a^m:a^n=a^{m-n}$ при $a\ne0$. «Откройте учебник на теме степеней с целым показателем и найдите знакомое правило деления степеней с одинаковым основанием. Сейчас нам важна не новая формулировка, а то, что вы уже умеете применять. Вычислите в тетради $3^4:3^2$ и объясните, почему можно вычесть показатели. Какое условие нужно для основания?» | Находят в учебнике знакомое свойство и решают: $3^4:3^2=3^{4-2}=3^2=9$. Объясняют: «Основание не должно быть нулём, иначе делить на ноль нельзя». |
3 мин | Учитель проводит короткую практическую разминку с таймером и записывает примеры $5^3:5^3$ и $2^3:2^4$. «За одну минуту вычислите оба частных двумя способами: сначала примените правило вычитания показателей, затем проверьте делением значений, где это удобно. Подчеркните место, в котором результат перестаёт быть обычной натуральной степенью. Что получилось в первом примере и как можно записать второй результат?» | Решают индивидуально, затем сверяют с соседом: $5^3:5^3=5^0=1$; $2^3:2^4=2^{-1}=\frac{1}{2}$. Отмечают, что во втором случае результат равен обратному числу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы использовали правило деления степеней и получили показатели ноль и меньше нуля. Пока это только запись по правилу; теперь выясним, какое значение ей необходимо придать, чтобы свойства степеней оставались согласованными».
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить, что прежнее словесное определение степени как произведения множителей не описывает нулевой и отрицательный показатели, и сформулировать цель исследования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает на доске два выражения: $7^0$ и $7^{-2}$, не указывая их значений. «До сих пор натуральный показатель показывал, сколько одинаковых множителей мы перемножаем. Попробуйте объяснить таким способом, что означает ноль множителей и что означает минус два множителя. Можно ли просто записать произведение? Почему возникает затруднение?» | Пытаются объяснить запись через произведение и формулируют затруднение: «Невозможно перемножить ноль или минус два множителя обычным способом; нужно новое определение». |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: полминуты на личную мысль, минуту на обсуждение и короткий сбор формулировок. «Какое условие поможет продолжить знакомое правило деления степеней без противоречий? Сформулируйте цель так, чтобы в конце урока её можно было проверить по решённым заданиям. Я запишу на доске ваши точные предложения». | Сначала формулируют гипотезы самостоятельно, затем сверяют их в паре и предлагают классу: «Нужно определить степени с показателем 0 и отрицательным показателем так, чтобы сохранялось правило вычитания показателей». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель сформулирована: вывести значения степеней с нулевым и отрицательным показателями и научиться вычислять их. Перейдём от отдельных примеров к общей закономерности для ненулевого основания».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 4. Открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести определения нулевой и отрицательной степени через сохранение свойства частного степеней и зафиксировать область допустимых значений основания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель выводит на экран таблицу для основания 2 и заполняет первые строки: $2^3:2^3=2^{3-3}$, $2^3:2^4=2^{3-4}$, $2^3:2^5=2^{3-5}$. «Посмотрите на таблицу и проследите за двумя способами вычисления каждого частного. В первой строке частное одинаковых ненулевых чисел равно единице. Значит, чему должно быть равно $2^0$? Во второй строке $8:16=\frac12$, а в записи степеней получается $2^{-1}$. Сформулируйте связь отрицательного показателя с обычной степенью двойки». | Заполняют пропуски в таблице: $2^0=1$, $2^{-1}=\frac12$, $2^{-2}=\frac14$. Объясняют закономерность: «При уменьшении показателя на единицу значение делится на 2». |
3 мин | Учитель обобщает наблюдение для основания $a\ne0$ и записывает на доске преобразование $a^n:a^n=a^{n-n}=a^0$, а также $a^n:a^{n+k}=a^{-k}$. «Это не новая случайная договорённость: значение выбрано так, чтобы правило деления степеней продолжало работать. Если $a\ne0$, частное $a^n:a^n$ равно единице, поэтому $a^0=1$. Во втором случае частное равно $\frac{1}{a^k}$, поэтому $a^{-k}=\frac{1}{a^k}$. Что произойдёт, если попытаться взять основание $a=0$?» | Записывают общий вывод и отвечают: «Нельзя, потому что возникнет деление на ноль; поэтому основание должно быть ненулевым». |
3 мин | Учитель просит открыть соответствующий фрагмент учебника и сопоставить его формулировки с выведенными классом. «Найдите определение степени с целым показателем и прочитайте его про себя. Проверьте, совпадают ли условия для нулевого и отрицательного показателя с тем, что мы вывели. Подчеркните в тексте ограничение на основание и назовите его своими словами. Затем запишите в тетрадь оба правила и по одному короткому примеру». | Смыслово читают фрагмент учебника, подчёркивают условие $a\ne0$ и записывают: $a^0=1$ при $a\ne0$; $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$ и натуральном $n$. Приводят примеры $4^0=1$ и $3^{-2}=\frac19$. |
Запись в тетрадях
- При $a\ne0$: $a^0=1$.
- При $a\ne0$ и натуральном $n$: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.
- Отрицательный показатель означает обратную степень, а не отрицательное значение основания.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели определения через знакомое деление степеней и проверили их по тексту учебника. Теперь применим правила в паре и отдельно проговорим, как не перепутать знак показателя со знаком основания».
Этап 5. Первичное закрепление в парах (6 мин)
Цель этапа: закрепить вычисление степеней с целыми показателями в парном обсуждении и научиться обнаруживать типичную ошибку в записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку с тремя заданиями и показывает критерии на доске: правильное значение, сохранённый знак основания, пояснение условия $a\ne0$. «В карточке три коротких пункта. Сначала один из вас решает первый и третий примеры, второй — второй, затем сравните результаты и объясните друг другу каждый переход. Если ответы разошлись, не стирайте ход решения: найдите шаг, где различается применение определения». | Получают одну карточку на пару, распределяют примеры и договариваются о порядке взаимной проверки. |
4 мин | Учитель запускает таймер, подходит к парам и задаёт уточняющие вопросы. «Вычислите $2^{-3}$, $(-3)^{-2}$ и $5^0$. Для второго примера сначала определите, что именно возводится в степень: число $-3$ целиком или только число 3. После вычисления объясните партнёру, почему ответ не получается отрицательным. В конце проверьте, что ни в одном примере основание не равно нулю». | Решают и обсуждают: $2^{-3}=\frac18$, $(-3)^{-2}=\frac19$, $5^0=1$. Поясняют: «Отрицательный показатель обращает степень; чётная степень отрицательного основания положительна». |
1 мин | Учитель записывает на доске ошибочное утверждение: $4^{-2}=-16$. «Не называя автора ошибки, разберите её как математическую ситуацию. Какое правило здесь применили неверно? Исправьте запись и сформулируйте короткое предупреждение для того, кто только начинает эту тему». | Указывают на ошибку: отрицательный показатель не означает отрицательное число; исправляют: $4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$. Формулируют: «Сначала переверни степень, а знак основания учитывай отдельно». |
Эталон решения
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$. $(-3)^{-2}=\frac{1}{(-3)^2}=\frac19$. $5^0=1$. В ошибочном утверждении показатель $-2$ ошибочно истолкован как знак результата; верное значение $4^{-2}=\frac{1}{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы показали, что правило работает и для положительного, и для отрицательного основания, если основание не равно нулю. Перенесём это понимание на практическую задачу из естественных наук, где степени помогают записывать очень малые величины».
Этап 6. Практика и межпредметная связь (8 мин)
Цель этапа: применить определение отрицательной степени при работе с десятичными величинами и связать математическую запись с масштабом в естествознании.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает на экране условие целиком: «В научной записи расстояние между двумя микроскопическими объектами указано как $3\cdot10^{-6}$ м. Запишите множитель $10^{-6}$ десятичной дробью и объясните, почему отрицательный показатель здесь удобен». «Не нужно знать подробности устройства прибора: наша задача — прочитать математическую запись и определить масштаб. Как меняется число при делении на 10 шесть раз? Как можно проверить количество знаков после запятой?» | Читают условие и выдвигают ответ: «$10^{-6}=0{,}000001$; отрицательный показатель показывает деление на 10 в шестой степени, то есть очень малую величину». |
4 мин | Учитель предлагает решить задачу в паре и записывает на доске дополнительный вопрос: «Представьте величину $5\cdot10^{-3}$ м в виде десятичной дроби и переведите метры в миллиметры. Затем сравните её с $5\cdot10^{-2}$ м: какая величина больше и во сколько раз?» «Сначала преобразуйте степень, затем выполните перевод единиц. Один партнёр проверяет десятичную запись, другой — перевод метров в миллиметры; после этого поменяйтесь ролями и обоснуйте сравнение». | В паре вычисляют $10^{-3}=0{,}001$, получают $5\cdot10^{-3}=0{,}005$ м, или 5 мм. Сравнивают с $5\cdot10^{-2}=0{,}05$ м: вторая величина больше в 10 раз. |
2 мин | Учитель просит две пары представить решение и возвращает класс к смыслу отрицательного показателя. «Назовите не только ответ, но и цепочку действий: что означает степень, как получилась десятичная запись и как выполнен перевод единиц. Если в ответе потерялась одна позиция запятой, на каком этапе это можно обнаружить? Сформулируйте один способ проверки, который пригодится в физике и естествознании». | Представляют рассуждение: «$10^{-3}=\frac{1}{1000}$, поэтому $5\cdot10^{-3}$ м равно 0,005 м, то есть 5 мм». Предлагают проверку: «Сопоставить размер числа с ожидаемым масштабом и выполнить обратный перевод». |
Эталон решения
$10^{-6}=\frac{1}{10^6}=0{,}000001$. Для второй задачи: $10^{-3}=0{,}001$, поэтому $5\cdot10^{-3}$ м $=0{,}005$ м. Так как $1$ м $=1000$ мм, получаем $0{,}005\cdot1000=5$ мм. $5\cdot10^{-2}$ м $=0{,}05$ м $=50$ мм, следовательно, это в 10 раз больше.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы использовали определение степени не только в абстрактных примерах, но и в задаче о малых величинах. Теперь каждый проверит себя самостоятельно и выберет подходящий уровень, а желающие добавят творческое задание».
Этап 7. Самостоятельная работа с выбором уровня и творческим заданием (6 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное применение новых определений, обеспечить дифференциацию и дать возможность создать собственное задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки с тремя уровнями и проговаривает выбор. «Для всех обязательны два задания минимального уровня: вычислить $6^0$ и $2^{-4}$. Затем выберите базовый вариант с двумя преобразованиями или повышенный вариант с выражением, где есть отрицательное основание и несколько действий. Выбор можно изменить, если вы закончили раньше; оценивается не скорость, а верное объяснение». | Выбирают карточку, записывают в тетрадь обязательные примеры и отмечают выбранный уровень. |
4 мин | Учитель показывает на доске задание повышенного уровня: «Вычислите $(-2)^{-3}+3^0$ и сравните результат с $\frac34$. Затем придумайте собственный пример со степенью отрицательного показателя, ответ которого равен $\frac{1}{16}$; подпишите к нему одну проверочную подсказку». «Сначала завершите вычислительную часть выбранного уровня, а творческий пункт выполняйте после неё. Проверьте каждую степень по определению и не забудьте скобки у отрицательного основания». | Индивидуально решают задания своего уровня; желающие выполняют творческий пункт и записывают, например, $2^{-4}=\frac{1}{16}$, с подсказкой «основание должно быть ненулевым». |
1 мин | Учитель открывает краткий эталон на доске и предлагает провести самопроверку. «Сверьте не только конечные числа, но и то, как вы раскрыли отрицательный показатель. Если обнаружили расхождение, исправьте его другим цветом и рядом напишите причину. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить правило, жёлтую — если нужен ещё один пример». | Сверяют ответы, исправляют ход решения, отмечают уровень уверенности зелёной или жёлтой карточкой. |
Эталон решения
Обязательная часть: $6^0=1$, $2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$. Повышенный пример: $(-2)^{-3}+3^0=\frac{1}{(-2)^3}+1=-\frac18+1=\frac78$. Так как $\frac78>\frac34$, результат больше. Возможный творческий пример: $4^{-2}=\frac{1}{16}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя на выбранном уровне и увидели, что важнее всего — верно прочитать показатель и сохранить скобки основания. Осталось сформулировать, что именно стало понятнее и какой вопрос нужно взять с собой на следующий урок».
Этап 8. Рефлексия и домашнее задание (4 мин)
Цель этапа: оценить достижение цели урока, выявить оставшиеся затруднения и объяснить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт листы для рефлексии и проводит одноминутную письменную рефлексию. «Закончите две фразы: “Сегодня я понял(а), что…” и “Мне ещё нужно потренироваться в…”. Затем ответьте на контрольный вопрос: почему для определения $a^{-n}$ требуется $a\ne0$? Пишите конкретно, не ограничивайтесь словами “всё понятно”». | Заполняют лист: называют определение, указывают затруднение и отвечают: «При нулевом основании возникло бы деление на ноль». |
2 мин | Учитель показывает таблицу домашнего задания и разъясняет выбор. «Базовый уровень обязателен для всех; средний выберите, если базовые вычисления получаются уверенно. Продвинутый уровень — дополнительный, в нём нужно не только вычислить, но и объяснить или составить пример. Перед выходом ответьте устно: чему равны $a^0$ и $a^{-n}$ при допустимом основании?» | Записывают выбранный вариант домашней работы и отвечают: «$a^0=1$, а $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ при $a\ne0$». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены обязательные примеры и все задания выбранного базового или повышенного уровня; отрицательные показатели преобразованы через обратную степень, условие ненулевого основания учтено, ход решения объяснён.
- «4» — верно выполнены обязательные примеры и не менее двух заданий карточки; допущена одна вычислительная или оформительская неточность, которая исправлена при самопроверке.
- «3» — верно выполнены оба обязательных примера либо один обязательный пример и одно задание карточки; правило применяется с подсказкой, но ученик различает знак показателя и знак основания.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как вы объясните, почему $a^0=1$ при $a\ne0$? | Проверить осознанное выведение нулевой степени через частное одинаковых степеней. |
Что означает отрицательный показатель и какое условие обязательно проверить? | Выявить понимание обратной степени и ограничения на основание. |
На каком примере сегодня пришлось внимательнее всего следить за скобками или десятичной запятой? | Определить характер типичных вычислительных затруднений. |
Какой уровень самостоятельного задания вы выбрали и почему? | Получить обратную связь о самооценке и адекватности дифференциации. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы вывели определение нулевой и отрицательной степени, сохранив знакомое правило деления степеней. Главное — помнить, что отрицательный показатель означает обратную степень, а не отрицательный результат, и что основание должно быть ненулевым. В прикладной задаче мы увидели, как запись с отрицательной степенью помогает работать с очень малыми величинами. На следующем уроке будем применять новые определения в преобразовании выражений и внимательнее разбирать порядок действий».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 коротких вычислений: три степени с нулевым показателем и три с отрицательным показателем при целых ненулевых основаниях; в двух примерах показать преобразование через обратную степень. | Закрепляет определения $a^0$ и $a^{-n}$; при проверке обратить внимание на ненулевое основание и вычисление степени в знаменателе. |
Средний (повышающий) | Решить 4 выражения на сочетание степеней с отрицательными показателями, скобок и сложения или умножения, а также записать десятичной дробью два числа вида $c\cdot10^{-n}$. | Развивает применение определений в составных выражениях и работу с малыми величинами; при проверке смотреть на порядок действий, знак основания и положение запятой. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить собственную карточку из трёх заданий на нулевую и отрицательную степени: одно на вычисление, одно на поиск и исправление ошибки, одно прикладное с десятичной степенью; приложить решения и пояснение к каждому ответу. | Развивает анализ и создание математических заданий; при проверке оценить корректность условий, наличие ответов и ясность объяснения ограничения $a\ne0$. |
Контрольные вопросы перед выходом: чему равны $7^0$ и $7^{-2}$? Почему выражение $0^{-1}$ не определено? Чем отличаются $(-2)^{-2}$ и $-2^{-2}$?
