Внесение множителя под знак корня
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться вносить неотрицательный множитель под знак квадратного корня, используя равенство $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$, и применять алгоритм не менее чем в трёх учебных заданиях с последующей самопроверкой.
- Сформулировать и обосновать правило внесения множителя под знак корня через свойство квадратного корня.
- Научиться выполнять преобразования выражений и проверять полученный результат обратным действием — вынесением множителя из-под знака корня.
- Развивать умение выявлять область допустимых значений, находить и объяснять ошибки в преобразованиях.
- Формировать ответственное отношение к вычислениям, взаимопроверке и аргументированному математическому диалогу.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию выражений и видят связь алгебраических правил с точностью вычислений в практических задачах.
- Осознают ценность проверки результата и готовность исправлять собственную ошибку.
- Принимают участие в парном обсуждении, уважая иной способ рассуждения.
- Понимают значение математической грамотности для технических, экономических и естественно-научных профессий.
Метапредметные
- Выделяют условие применимости правила и строят последовательность действий по алгоритму.
- Сравнивают два равных выражения, анализируют преобразование и формулируют вывод на основе примеров.
- Используют цифровую доску или интерактивную презентацию для проверки гипотезы.
- Работают в паре, аргументируют ответ и дают конкретную обратную связь по критериям.
Предметные
- Знать равенство $\sqrt{a^2}=|a|$ и свойство произведения подкоренных выражений.
- Понимать правило $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$ и объяснять необходимость условия на множитель.
- Уметь вносить множитель под знак корня в выражениях вида $3\sqrt{5}$, $0{,}5\sqrt{12}$ и $x\sqrt{y}$ при заданных ограничениях.
- Уметь проверять преобразование обратным вынесением множителя и находить ошибку в готовом решении.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный учебный результат: научиться выполнять преобразование без нарушения условий.
- Выбирают уровень задания в соответствии со своей готовностью и принимают ответственность за результат.
- Осознают необходимость точности записи и проверки математического утверждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока и планируют действия по внесению множителя под корень.
- Сверяют решение с алгоритмом и эталоном, фиксируют место затруднения.
- Оценивают свою работу по критериям и намечают способ коррекции ошибки.
Познавательные УУД
- Преобразуют выражение, используя известные свойства квадратного корня.
- Устанавливают причинно-следственную связь между квадратом множителя и новым подкоренным выражением.
- Моделируют правило на числовых и буквенных примерах, анализируют область допустимых значений.
- Работают с информацией на экране, выделяя верные и ошибочные записи.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и гипотезу в паре, распределяют роли вычислителя и проверяющего.
- Объясняют партнёру каждый шаг преобразования, используя математические термины.
- Сравнивают решения, аргументированно принимают или отклоняют предложенный способ.
- Предоставляют обратную связь по схеме «две сильные стороны и один совет».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с примерами $2\sqrt{3}$, $5\sqrt{2}$, $\frac{1}{2}\sqrt{8}$ и двумя ошибочными решениями.
- Распечатать карточки трёх уровней: по одной карточке на каждого ученика, всего 25 экземпляров.
- Подготовить лист самооценки с пунктами «понимаю правило», «выполняю алгоритм», «нахожу ошибку».
- Распечатать карточки для парной работы с заданиями на доказательство и взаимопроверку — по одной на пару, 13 экземпляров.
- Вывесить на доске схему-напоминание: множитель записать под корнем в квадрате; перемножить подкоренные выражения; проверить знак множителя.
- Подготовить эталон решения для самостоятельной работы и критерии оценивания.
- Подготовить таймер на 2, 4 и 6 минут, проектор или интерактивную доску.
- Подобрать межпредметный контекст: вычисление длины диагонали детали по формуле $d=a\sqrt{2}$ в черчении и инженерных расчётах.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и создать проблемную ситуацию, требующую нового способа преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, готовность: тетрадь, ручка, карточка для самооценки. Сегодня вы будете не только решать, но и проверять математические рассуждения. На экране появится выражение, которое мы попробуем записать иначе." | Проверяют готовность, открывают тетради, записывают дату. |
2 мин | Учитель показывает на экране формулу диагонали квадрата $d=a\sqrt{2}$ и говорит: "В черчении и инженерных расчётах часто нужно представить выражение в другой форме. Например, как записать $3\sqrt{2}$ одним корнем? Подумайте самостоятельно, затем обсудите с соседом 30 секунд. Пока не называйте правило — предложите гипотезу." | Рассуждают индивидуально, затем обсуждают в парах варианты $\sqrt{18}$ и $\sqrt{9\cdot2}$, формулируют гипотезу. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же результат можно представить по-разному. Сейчас выясним, как сделать такую запись всегда корректно и какие условия нельзя нарушать."
Этап 2. Актуализация знаний (5 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратного корня, необходимые для открытия нового правила.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран три утверждения: $\sqrt{a^2}=|a|$, $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$ при $a\geq0$, $\sqrt{18}=3\sqrt2$. "Работаем приёмом «Светофор»: зелёная карточка — верно, красная — неверно. Объясните не только выбор, но и условие." | Поднимают карточки, исправляют спорное утверждение, отвечают: "У второго свойства подкоренные выражения должны быть неотрицательными". |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Чему равен квадрат числа 3? Как представить 18 как произведение полного квадрата и 2? Почему $\sqrt{(-3)^2}$ не равно просто $-3$?" На доске фиксирует ответы и запись $\sqrt{a^2}=|a|$. | Отвечают: "9", "18=9\cdot2", "корень арифметический, поэтому получается 3"; записывают опорные свойства. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили, что полный квадрат под корнем превращается в модуль. Это свойство и поможет нам заменить множитель перед корнем квадратом внутри корня."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: обнаружить затруднение и совместно сформулировать цель и план открытия нового знания.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает два решения на экране: $4\sqrt3=\sqrt{4\cdot3}=\sqrt{12}$ и $4\sqrt3=\sqrt{4^2\cdot3}=\sqrt{48}$. "Оба ответа выглядят правдоподобно. Какой верен? Что потерялось в первом рассуждении? Обсудите в парах и укажите конкретный шаг ошибки." | Сравнивают записи, проверяют обратным вынесением, отвечают: "В первом варианте множитель 4 заменили на 4, а нужно внести его квадрат; верно $\sqrt{48}$". |
2 мин | Учитель спрашивает: "Какую цель поставим? Какие шаги нам понадобятся?" На доске фиксирует план: определить условие; возвести множитель в квадрат; умножить подкоренные выражения; проверить результат. | Формулируют цель: "Научиться вносить множитель под знак корня"; предлагают последовательность действий и записывают её. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Затруднение найдено: нельзя просто перенести множитель под корень, его нужно заменить квадратом. Теперь выведем правило самостоятельно на конкретном примере."
Этап 4. Открытие нового знания с использованием ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести правило внесения неотрицательного множителя под знак корня и отработать его смысл.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает интерактивную схему: $3\sqrt5=\sqrt{3^2}\sqrt5=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}$. "Посмотрите, какой множитель мы добавили под корень? Почему именно $3^2$? Используем свойство произведения корней и равенство $\sqrt{3^2}=3$." | Переносят шаги в тетрадь, отвечают: "Добавили квадрат множителя, потому что корень из его квадрата возвращает исходное неотрицательное число". |
3 мин | Учитель вместе с классом разбирает $2\sqrt7$ и $0{,}5\sqrt{12}$: "Сначала определяем множитель, затем возводим его в квадрат. Для дробного множителя квадрат также обязателен. Проверьте второй пример обратным вынесением." | У доски по очереди записывают $2\sqrt7=\sqrt{28}$ и $0{,}5\sqrt{12}=\sqrt{3}$, проговаривают действия. |
3 мин | Учитель формулирует правило: "Если $a\geq0$ и $b\geq0$, то $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$. Укажите, где в этом правиле условие. Теперь рассмотрим связь с черчением: в формуле диагонали квадрата множитель задаёт масштаб, а корень — геометрическое отношение." | Записывают правило, подчёркивают условия $a\geq0$, $b\geq0$, объясняют межпредметную связь: "При изменении стороны в несколько раз диагональ изменяется во столько же раз". |
Запись в тетрадях
Алгоритм: 1) проверить, что множитель неотрицателен; 2) возвести множитель в квадрат; 3) умножить подкоренное выражение на этот квадрат; 4) записать один корень; 5) при необходимости проверить обратным вынесением. Правило: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$, $b\geq0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Правило открыто: множитель входит под корень в квадрате. Мы связали алгебраическое преобразование с формулой диагонали квадрата. Теперь проверим правило в парной работе и научимся объяснять каждый шаг."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм через взаимное объяснение и обратную связь по заданным критериям.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку: «Выполните преобразования $4\sqrt2$, $3\sqrt7$, $\frac12\sqrt{20}$. Один ученик решает, второй проверяет по алгоритму и задаёт вопрос: «Почему множитель возведён в квадрат?» Через минуту поменяйтесь ролями». | Выполняют три преобразования, по очереди объясняют шаги, проверяют записи партнёра. |
3 мин | Учитель показывает критерии парной проверки: «1 балл — условие указано; 1 — множитель возведён в квадрат; 1 — подкоренное выражение вычислено верно; 1 — запись аккуратна и проверена. Дайте партнёру обратную связь: назовите две сильные стороны и один совет». | Ставят баллы по каждому примеру, формулируют обратную связь: «Верно записан квадрат множителя; правильно выполнено умножение; совет — не пропускать условие». |
2 мин | Учитель предлагает обсудить ошибку: $6\sqrt2=\sqrt{12}$. "Не называйте только правильный ответ. Объясните, на каком шаге нарушен алгоритм." | Отвечают: "Нужно взять $6^2$, поэтому $6\sqrt2=\sqrt{72}$"; исправляют решение на карточке. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы не просто получили ответы, а доказали правильность шагов и дали партнёру полезный совет. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли применять правило без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и организовать коррекцию ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
6 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. Базовый: $2\sqrt3$, $5\sqrt2$. Средний: $3\sqrt{11}$, $0{,}2\sqrt{75}$. Повышенный: найдите ошибку в записи $x\sqrt y=\sqrt{xy}$ и запишите условие верного преобразования. "Выберите уровень осознанно: обязательный минимум выполняют все, затем можно перейти выше." | Индивидуально решают задания, записывают промежуточные шаги, выбирают уровень и отмечают его на листе. |
2 мин | Учитель выводит эталон: $2\sqrt3=\sqrt{12}$; $5\sqrt2=\sqrt{50}$; $3\sqrt{11}=\sqrt{99}$; $0{,}2\sqrt{75}=\sqrt{3}$. "Сверьте не только ответы, но и каждый шаг. Ошибку обозначьте знаком вопроса и исправьте другой ручкой." | Проверяют решения, находят расхождения, исправляют ошибки, задают уточняющие вопросы. |
2 мин | Учитель проводит быструю обратную связь: "Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить правило; жёлтую — если ответ получили, но есть сомнение; красную — если нужна помощь. Красные и жёлтые объединяются со мной у доски, зелёные объясняют соседу один пример." | Показывают карточки, формулируют затруднение, повторно решают пример с учителем или объясняют его однокласснику. |
Эталон решения
Для $0{,}2\sqrt{75}$: $0{,}2\geq0$, поэтому применяем правило: $0{,}2\sqrt{75}=\sqrt{(0{,}2)^2\cdot75}$. Так как $(0{,}2)^2=0{,}04$, получаем $\sqrt{0{,}04\cdot75}=\sqrt3$. Проверка обратным действием: $\sqrt3=0{,}2\sqrt{75}$, поскольку $75=25\cdot3$ и $\sqrt{75}=5\sqrt3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основной источник ошибок — забытый квадрат множителя или неверное умножение. Перед завершением сформулируем правило своими словами и зафиксируем личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить способ действия, получить обратную связь от учащихся и определить дальнейшую работу.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная бумага»: "Закончите три фразы: «Чтобы внести множитель под корень, я…»; «Моя типичная ошибка…»; «Проверить результат можно…». Затем сравните ответ с целью урока." | Письменно завершают фразы, называют правило и способ проверки: "возвожу множитель в квадрат и умножаю подкоренное выражение". |
2 мин | Учитель возвращает к проблемному вопросу: "Как представить $3\sqrt2$ одним корнем? Почему ответ $\sqrt6$ неверен?" Просит двух учеников объяснить разные шаги. | Отвечают: "$3\sqrt2=\sqrt{18}$, потому что $3$ заменяется на $\sqrt{3^2}$; $\sqrt6$ получается без квадрата множителя". |
2 мин | Учитель объясняет домашнюю работу и критерии: "Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный можно выполнить по желанию. Перед сдачей проверьте каждое преобразование обратным действием." | Записывают домашнее задание, отмечают в листе самооценки уровень понимания и задают вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы открыли правило внесения множителя под знак корня, проверили его в паре и самостоятельно. Помните: квадрат множителя — обязательный шаг, а условие неотрицательности нельзя пропускать."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранного уровня, записан полный алгоритм, учтены условия применимости, преобразования проверены обратным действием; ученик может объяснить решение партнёру.
- «4» — верно выполнены не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, правило и условие сформулированы правильно.
- «3» — верно выполнены базовые задания, но допущены две ошибки в вычислениях или пропущен отдельный шаг алгоритма; после подсказки ученик исправляет решение.
- Обратная связь: за каждое задание партнёр отмечает наличие квадрата множителя, правильность умножения и корректность условия; комментарий должен содержать две сильные стороны и один конкретный совет.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о внесении множителя под знак корня? | Выявление осознания основного правила и его структуры. |
На каком шаге алгоритма вы испытывали затруднение? | Выявление точек затруднения для коррекционной работы. |
Почему выражение $a\sqrt b$ нельзя заменить на $\sqrt{ab}$? | Проверка понимания роли квадрата множителя. |
Какой уровень задания вы выбрали и почему? | Оценка самостоятельности, адекватности самооценки и учебной мотивации. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились представлять произведение с корнем в виде одного корня. Главное правило состоит в том, что множитель входит под корень в квадрате: $a\sqrt b=\sqrt{a^2b}$ при $a\geq0$. Типичная ошибка — заменить множитель самим собой и получить неверное подкоренное выражение. На следующем уроке мы продолжим преобразовывать выражения с квадратными корнями и будем выбирать наиболее удобную форму записи."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 преобразования вида $a\sqrt b$ с неотрицательными целыми и дробными множителями, включая два примера с предварительным упрощением подкоренного выражения. | Закрепить алгоритм; при проверке смотреть на условие, квадрат множителя и правильность умножения. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 заданий на внесение множителя под корень, включая буквенные выражения при указанных ограничениях на переменные, и проверить два результата обратным вынесением. | Развить перенос правила на буквенные выражения и навык самоконтроля. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить и решить две пары равных выражений, одно из которых записано с множителем перед корнем, а другое — под знаком корня; объяснить, почему преобразование допустимо, и привести пример ошибки. | Развить умение создавать математические примеры, аргументировать условие и анализировать ошибочное рассуждение. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой множитель можно вносить под знак квадратного корня без модуля?», «Во что превращается множитель при внесении под корень?», «Как проверить полученное равенство?»
