Использование свойств арифметических квадратных корней при решении заданий и задач
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики систематизируют свойства арифметического квадратного корня и применят их для упрощения выражений, сравнения чисел и решения практической задачи; успешность проверяется по выполнению самостоятельной работы из трёх заданий.
- Образовательная задача: повторить условия применения свойств произведения и частного квадратных корней, вынесения множителя из-под знака корня и внесения множителя под знак корня.
- Развивающая задача: учить выбирать рациональный способ преобразования, объяснять ход рассуждений и находить ошибочные преобразования.
- Метапредметная задача: развивать навыки планирования решения, самопроверки по критериям и аргументированного обсуждения математических идей.
- Воспитательная задача: поддерживать самостоятельность и уважительное отношение к разным корректным способам решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Ученик осознаёт, что точность преобразований зависит от соблюдения условий применяемого свойства.
- Проявляет готовность самостоятельно выбирать способ упрощения выражения и отвечать за проверку результата.
- Уважительно относится к альтернативным решениям одноклассников и задаёт уточняющие вопросы.
- Видит практическую ценность точных вычислений при оценке размеров и расхода материалов.
Метапредметные
- Планирует последовательность преобразований и соотносит каждый шаг с известным свойством.
- Извлекает математическую информацию из условия практической задачи и выбирает необходимые вычисления.
- Сравнивает способы решения, находит ошибку в рассуждении и аргументирует исправление.
- Оценивает собственную работу по заранее заданным критериям и определяет тему для повторения.
Предметные
- Знает свойства арифметического квадратного корня и условия их применения при неотрицательных подкоренных выражениях.
- Умеет упрощать выражения, вынося полный квадрат множителя из-под знака корня.
- Умеет применять свойства корней при умножении и делении, не распространяя их ошибочно на сумму.
- Умеет сравнивать и оценивать значения выражений с корнями, а также оформлять решение практической задачи.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Соотносят цель обобщающего урока с собственными затруднениями при преобразовании корней.
- Проявляют самостоятельность при выборе одного из предложенных уровней задания.
- Осмысляют ценность аккуратной записи и проверки математических преобразований.
- Оценивают личный прогресс без сравнения себя с одноклассниками.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и составляют план выбора свойств для решения.
- Контролируют допустимость преобразований и соблюдение ограничений на подкоренные выражения.
- Сверяют ответы с эталоном, находят место ошибки и корректируют запись.
- Оценивают результат по критериям и определяют дальнейший шаг для закрепления.
Познавательные УУД
- Воспроизводят свойства арифметического квадратного корня и связывают их с условиями применения.
- Классифицируют выражения по подходящему способу преобразования.
- Анализируют ошибочные решения, выявляя необоснованный переход от корня суммы к сумме корней.
- Моделируют практическую ситуацию с помощью выражения, содержащего квадратный корень.
Коммуникативные УУД
- Объясняют партнёру выбор свойства и последовательно формулируют аргументы.
- Задают уточняющие вопросы о допустимости и цели преобразования.
- Согласуют решение в паре, сопоставляя разные способы без перехода на личности.
- Представляют классу вывод и корректно реагируют на замечания.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с таблицей свойств корней, условиями их применения и отдельным блоком «Так делать нельзя».
- Распечатать карточки для парной работы с четырьмя выражениями и одной ошибочной цепочкой преобразований — по одной карточке на пару.
- Подготовить лист самостоятельной работы из трёх заданий в двух равноценных вариантах — по одному листу на ученика.
- Подготовить лист-эталон для самопроверки самостоятельной работы — по одному экземпляру на ученика или вывести ответы на экран после выполнения.
- Заранее записать на доске тему урока, цель с пропуском для формулировки учеников и критерии самостоятельной работы.
- Подготовить карточки трёх цветов либо предусмотреть сигналы «зелёный», «жёлтый», «красный» для быстрой самооценки.
- Подготовить калькулятор для демонстрации приблизительных значений в практической задаче; ученики решают задачу точными преобразованиями, калькулятор используют только для оценки.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски; при отсутствии оборудования распечатать таблицу свойств и задания для демонстрации на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: настроить класс на самостоятельное обобщение и связать тему с практическим применением точных вычислений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Сегодня у нас не новая тема, а урок, на котором важно собрать изученные свойства квадратных корней в рабочую систему и научиться выбирать нужное свойство самостоятельно. Подготовьте тетради и ручки, а пока посмотрите на доску: там записана ситуация, связанная с расчётом материала для квадратной площадки. Нам понадобится не угадывание, а точное преобразование выражения с корнем». | Готовят тетради и принадлежности, читают запись на доске, формулируют предположение: «Нужно упростить выражение с корнем, чтобы получить удобное значение». |
2 мин | «Представьте, что вы помогаете рассчитать длину стороны квадратной площадки по её площади. Иногда ответ получается не целым числом, но его можно точно записать через корень и упростить. Как думаете, что сегодня важнее: помнить формулы наизусть или понимать, когда каждую из них можно применить? Обсудите с соседом 30 секунд, затем назовём несколько мнений». Учитель принимает ответы без оценки и записывает на доске слова «свойство», «условие», «проверка». | В течение 30 секунд обсуждают вопрос в паре, затем предлагают формулировки: «Нужно знать свойство и проверить условие»; «Важно не применять правило к сумме без основания». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы отметили, что важно не только вспомнить правило, но и понять границы его применения. Сначала проверим, какие свойства уже уверенно используем».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства арифметических квадратных корней и актуализировать условия их применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | «На экране — три незавершённые записи: произведение корней, частное корней и корень из квадрата числа. Вспомните свойства и дополните записи в тетради. Для произведения и частного обязательно назовите условия: когда подкоренные выражения должны быть неотрицательными и что требуется для знаменателя. У вас две минуты на индивидуальную работу, затем сверим формулировки». На экране: $\sqrt{a}\sqrt{b}=...$, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=...$, $\sqrt{a^2}=...$. | Записывают свойства: $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ при $a\geq0$, $b\geq0$; $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$ при $a\geq0$, $b>0$; $\sqrt{a^2}=|a|$. Подчёркивают условие для знаменателя. |
3 мин | «Сверим ответы и вспомним ещё одно преобразование. Как можно упростить $\sqrt{72}$? Какое число выделим из-под корня и почему? А верно ли, что $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$? Приведите короткое обоснование или контрпример. Я запишу рядом со свойствами предупреждение: корень суммы в сумму корней не раскладываем». | Устно объясняют: «$72=36\cdot2$, поэтому $\sqrt{72}=6\sqrt2$»; приводят контрпример, например: «$\sqrt{9+16}=5$, а $\sqrt9+\sqrt{16}=7$, значит равенства нет». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Основные свойства восстановили и вспомнили важное ограничение для корня суммы. Теперь выясним, как по виду задания быстро определить подходящий способ».
Этап 3. Постановка учебной задачи и планирование (4 мин)
Цель этапа: определить, какие затруднения нужно снять, и сформулировать план обобщения способов преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на выражение $\sqrt{12}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{49}$. Не вычисляйте всё сразу наугад. Что можно заметить в первой части? Какое свойство поможет объединить корни, а какое — упростить результат? Подумайте самостоятельно 30 секунд, затем обсудите ответ в паре одну минуту». | Анализируют выражение, обсуждают в паре идею объединить корни произведения: $\sqrt{12}\cdot\sqrt3=\sqrt{36}=6$, затем вычислить $\sqrt{49}=7$ и получить 13. |
2 мин | «Какие шаги вы предложили? Что может помешать решить подобное выражение без ошибки? Сформулируйте цель урока своими словами. Давайте зафиксируем план: вспомнить свойства и условия, выбрать свойство по виду выражения, выполнить преобразования, проверить ответ и применить знания в задаче». Учитель записывает план на доске. | Предлагают ответы: «Можно перепутать произведение и сумму»; «Нужно проверить, что выражение под корнем допустимо». Формулируют цель: «Научиться выбирать свойства и обосновывать их применение». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «План составлен, и теперь мы применим его к выражениям разных типов. Ваша задача — не просто получить ответ, а назвать основание каждого преобразования».
Этап 4. Обобщение способов и работа в парах (10 мин)
Цель этапа: систематизировать способы упрощения выражений с корнями и научиться обосновывать выбор свойств.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Сейчас работаем приёмом “Подумай — обсуди в паре — поделись”. Сначала каждый самостоятельно смотрит на четыре выражения на карточке и отмечает, какое свойство может помочь. Не решайте пока полностью: определите тип действия — объединить произведение корней, разделить корни, вынести квадратный множитель или проверить ошибочное правило. Затем сравните выбор с партнёром». Учитель раздаёт карточки по одной на пару. | Индивидуально классифицируют выражения на карточке: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{20}$; $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}$; $\sqrt{108}$; утверждение $\sqrt{4+5}=\sqrt4+\sqrt5$. Затем сопоставляют выбор с партнёром. |
5 мин | «Теперь решите первые три выражения и подготовьте объяснение по схеме: какое свойство применили, почему оно допустимо, какой получился результат. В четвёртом пункте найдите ошибку и предложите контрпример. Я подойду к парам и уточню: “Как вы проверили, что под корнем можно выполнять это действие?” и “Есть ли здесь полный квадрат?”». | В парах записывают решения: $\sqrt5\cdot\sqrt{20}=\sqrt{100}=10$; $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=\sqrt{25}=5$; $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3$. Исправляют неверное утверждение: корень суммы нельзя разложить; проверяют на числах 4 и 5. |
3 мин | «Сравним решения. Одна пара представит преобразование произведения, другая — деления, третья — вынесения множителя. Остальные проверьте каждый переход: названо ли свойство, выполнены ли условия, верен ли ответ? Если вы видите другой корректный способ, покажите его и объясните, почему он удобен». | Представители пар записывают решения на доске и проговаривают основания. Остальные сверяют записи, задают вопросы: «Почему знаменатель не равен нулю?»; «Как вы выделили полный квадрат?»; предлагают альтернативные допустимые шаги. |
Эталон решения
$\sqrt5\cdot\sqrt{20}=\sqrt{5\cdot20}=\sqrt{100}=10$. В частном $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{75}{3}}=\sqrt{25}=5$, поскольку знаменатель положителен. Для вынесения множителя: $\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot3}=6\sqrt3$. Утверждение о корне суммы неверно: $\sqrt{4+5}=3$, тогда как $\sqrt4+\sqrt5=2+\sqrt5\ne3$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы не только применили свойства, но и проверили их условия, а ошибку подтвердили контрпримером. Теперь используем те же способы в задаче, где корень возникает из реальной величины».
Этап 5. Практическая задача и первичное закрепление (8 мин)
Цель этапа: применить свойства корней для точного решения задачи практического содержания и оценить разумность ответа.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Прочитайте условие на доске целиком: “Для квадратной площадки требуется покрытие площадью 72 м². Какова длина одной стороны площадки? Запишите точный ответ и укажите, между какими целыми числами находится эта длина”. Что известно? Какая связь площади квадрата со стороной поможет составить выражение? Пока не вычисляйте приблизительно — сначала найдите точное значение». | Выделяют данные задачи: площадь квадрата 72 м². Записывают связь $S=a^2$, поэтому $a=\sqrt{72}$ м, поскольку длина стороны положительна. |
4 мин | «Решите задачу в паре, каждый записывает решение в своей тетради. Подумайте, какой полный квадрат можно выделить в 72. Затем оцените ответ: между какими соседними целыми числами должна быть длина? Не округляйте до целого, если это меняет точное значение». Учитель просит одну пару подготовить объяснение, а другую — оценку результата. | Вычисляют: $a=\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$ м. Так как $1<\sqrt2<2$, получают $6<6\sqrt2<12$ м; уточняют по квадратам целых чисел, что $8^2=64<72<81=9^2$, поэтому сторона между 8 и 9 м. |
2 мин | «Проверим рассуждение. Почему нельзя ответить просто 72 метра? Почему точная запись $6\sqrt2$ полезнее случайного округления? Приблизительное значение $\sqrt2\approx1{,}414$ помогает оценить сторону примерно в 8,5 метра, но в ответе сохраняем точную форму и единицу измерения». | Объясняют: «72 — это площадь, а не сторона»; «$6\sqrt2$ — точное значение, а приближение нужно для практической оценки». Записывают ответ с единицей измерения. |
Эталон решения
Для стороны квадрата $S=a^2$, поэтому при $S=72\text{ м}^2$ имеем $a=\sqrt{72}\text{ м}$. Выделяем полный квадрат: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$. Точный ответ: $6\sqrt2$ м. Так как $8^2=64<72<81=9^2$, длина стороны больше 8 м и меньше 9 м; приближённо $6\sqrt2\approx8{,}49$ м.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В практической задаче вы отличили площадь от длины стороны, получили точный ответ и проверили его разумность. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно и увидит, какие способы уже освоены без подсказки».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение основными способами преобразования и организовать корректировку ошибок.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | «Сейчас индивидуальная работа, вариант указан на листе. В каждом задании покажите ход решения: одного ответа без преобразований недостаточно. Первое задание — упростить $\sqrt{48}$; второе — вычислить $\sqrt6\cdot\sqrt{24}$; третье — найти и исправить ошибку в записи $\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt9$. Вы можете выбрать, с какого задания начать, но проверьте, что решили все три». | Самостоятельно решают задания: $\sqrt{48}=4\sqrt3$; $\sqrt6\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12$; исправляют ошибку, указывая, что $\sqrt{25}=5$, а $4+3=7$, поэтому равенство неверно. |
2 мин | «Остановитесь и проверьте свою работу по эталону на экране. Сверяйте не только конечные числа, но и каждый переход. Если нашли расхождение, поставьте рядом точку и исправьте решение другим цветом; ошибка сейчас — полезная подсказка о том, что нужно повторить». Учитель выводит ответы с промежуточными шагами. | Сверяют решения с эталоном, отмечают верные задания, исправляют ошибки другим цветом и подписывают причину: «не выделил полный квадрат», «применил свойство к сумме». |
2 мин | «Покажите сигнал самооценки: зелёный — могу объяснить все три задания; жёлтый — понимаю, но сомневаюсь в одном шаге; красный — нужна помощь с выбором свойства. По поднятым сигналам я определю, что повторить в начале следующего занятия. Кто готов, объясните соседу одно исправленное преобразование». | Показывают выбранный цвет карточки или соответствующий сигнал рукой. Ученики с зелёным сигналом объясняют соседу один шаг; ученики с жёлтым или красным отмечают конкретный вопрос для разбора. |
Эталон решения
1) $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt3$. 2) $\sqrt6\cdot\sqrt{24}=\sqrt{144}=12$. 3) Равенство $\sqrt{16+9}=\sqrt{16}+\sqrt9$ неверно: слева $\sqrt{25}=5$, справа $4+3=7$. Свойство произведения корней нельзя переносить на сумму.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы проверили себя и зафиксировали, где именно понадобилась коррекция. Осталось осмыслить, какие способы вы теперь выбираете уверенно и какой вопрос стоит взять с собой».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить результат урока, выявить оставшиеся затруднения и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «На выходном билете закончите две фразы: “Сегодня я увереннее всего применяю свойство…” и “Мне ещё нужно проверить…” Можно указать конкретный шаг: условия деления, выделение полного квадрата или отличие корня произведения от корня суммы. Не пишите просто “всё понятно” — назовите математическое действие». | Индивидуально записывают две фразы и сдают билет учителю. Примеры ответов: «Умею выделять полный квадрат»; «Хочу ещё потренироваться находить ошибку в преобразовании суммы». |
3 мин | «Домашнее задание выбирайте по своей готовности: обязательный уровень выполняют все, повышающий и дополнительный можно выбрать сверх него. Запишите описание заданий и цель: важно не наращивать количество примеров, а тренироваться объяснять выбор свойства и проверять условия. Перед выходом ответьте себе: что отличает допустимое преобразование от похожего, но неверного?» | Записывают выбранное домашнее задание. Формулируют итоговый ответ: «Свойство применяют только при выполнении его условий; корень суммы нельзя раскладывать на сумму корней». |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три задания самостоятельной работы, преобразования записаны последовательно, свойства и условия их применения объяснены, ошибка в корне суммы распознана и обоснована.
- «4» — верно выполнены два задания из трёх; допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не искажающая понимание свойств.
- «3» — верно выполнено хотя бы одно задание, ученик распознаёт отдельные свойства, но допускает ошибки в выборе преобразования или объяснении условий.
- При формирующей проверке учитель отдельно отмечает, может ли ученик объяснить причину ошибки, даже если итоговый ответ ещё не получен.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое свойство квадратного корня сегодня помогло вам быстрее всего упростить выражение? | Выявление осознанного выбора способа преобразования. |
В каком месте вы проверяли условие применимости свойства? | Проверка понимания ограничений при умножении и делении корней. |
Какую ошибку в преобразовании корня суммы вы теперь сможете объяснить однокласснику? | Проверка умения анализировать ошибочное рассуждение и приводить обоснование. |
Что вы выбрали бы повторить перед следующей самостоятельной работой? | Субъективная оценка освоения темы и выявление индивидуальных затруднений. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы собрали свойства арифметического квадратного корня в систему и применили их к выражениям и практической задаче. Особенно важно, что вы проверяли условия применения свойства, а не ограничивались запоминанием формулы. Помните типичную ошибку: корень суммы нельзя превращать в сумму корней. Если в самостоятельной работе обнаружилась неточность, используйте её как ориентир для тренировки. На следующем уроке мы продолжим применять преобразования корней в более сложных выражениях».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 6 выражений: 2 на вынесение полного квадрата из-под знака корня, 2 на умножение корней и 2 на деление корней при положительном знаменателе; в каждом решении подписать использованное свойство. | Закрепить основные способы преобразования; при проверке смотреть на выделение полного квадрата и соблюдение условий деления. |
Средний (повышающий) | Решить 4 смешанных задания, в каждом из которых нужно выбрать последовательность двух преобразований; к каждому решению написать короткое объяснение выбора свойств. | Развить умение анализировать выражение и планировать несколько последовательных шагов; проверить обоснованность переходов. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить практическую задачу на нахождение стороны квадрата по площади, взяв площадь, из которой при упрощении корня выделяется полный квадрат; решить её точно и дать приблизительную оценку ответа. | Применить квадратный корень в жизненном контексте; проверить связь между условием, математической моделью, единицами измерения и оценкой результата. |
Контрольные вопросы перед выходом: какое условие нужно проверить при делении квадратных корней? Как упростить $\sqrt{108}$? Почему равенство $\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b$ в общем случае неверно?
