Преобразование выражений, содержащих квадратные корни
Цели и задачи
- Цель: к концу урока научиться преобразовывать выражения, содержащие квадратные корни, используя свойства корня, вынесение множителя из-под знака корня, внесение множителя под знак корня и приведение подобных слагаемых, с объяснением каждого шага.
- Закрепить знание свойств квадратного корня и условия существования корня из неотрицательного числа.
- Научиться выбирать рациональный способ преобразования выражения и проверять допустимость выполненных действий.
- Развивать умение анализировать решение, находить и исправлять ошибки, аргументировать выбранный способ в паре.
- Воспитывать аккуратность вычислений, ответственность за общий результат и готовность уважительно обсуждать разные способы решения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию алгебраических выражений и видят его связь с дальнейшим изучением функций, геометрии и технических дисциплин.
- Осознают значение аккуратной записи и проверки результата для получения достоверного математического вывода.
- Принимают ответственность за собственный вклад в парную работу и корректно относятся к иному способу решения.
- Оценивают собственную готовность применять свойства квадратного корня в новой ситуации.
Метапредметные
- Планируют последовательность преобразований, выбирая подходящее свойство квадратного корня.
- Анализируют математическую запись, выделяют структуру выражения и находят ошибочные шаги в готовом решении.
- Работают с информацией в виде формул, примеров и критериев проверки.
- Формулируют выводы, задают уточняющие вопросы и аргументируют решение в паре.
- Осуществляют самопроверку по образцу и корректируют собственную работу.
Предметные
- Знать свойства квадратного корня: $sqrt{a^2}=|a|$ при любом действительном $a$, $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$ при $ageq0$, $bgeq0$, $sqrt{a/b}=sqrt{a}/sqrt{b}$ при $ageq0$, $b>0$.
- Уметь выносить множитель из-под знака корня и вносить положительный множитель под знак корня.
- Уметь упрощать произведения и суммы, содержащие квадратные корни, и приводить подобные слагаемые.
- Уметь находить область допустимых значений для выражений с квадратными корнями.
- Уметь проверять преобразования с помощью обратного действия или подстановки числового значения.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель работы на уроке: уверенно выполнять преобразования без нарушения условий применимости свойств.
- Проявляют самостоятельность при выборе задания базового или повышенного уровня.
- Осознают ценность взаимопомощи и уважительного математического диалога.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют учебную цель урока.
- Планируют порядок действий при упрощении выражения.
- Сверяют решение с критериями и эталоном.
- Обнаруживают ошибку, называют её причину и исправляют запись.
- Оценивают степень достижения цели по итогам урока.
Познавательные УУД
- Выделяют полный квадрат подкоренного выражения.
- Сравнивают несколько способов преобразования одного выражения.
- Устанавливают связь между свойством корня и выполняемым действием.
- Моделируют решение в виде последовательности равносильных преобразований.
- Классифицируют ошибки: нарушение ОДЗ, неверное раскрытие модуля, неправильное сложение корней.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один объясняет шаг, другой проверяет условие применимости.
- Задают вопросы «Почему это свойство можно применить?» и «Как проверить результат?».
- Аргументируют решение математическими терминами и формулами.
- Сравнивают решения без оценивания личности партнёра.
- Достигают общего вывода и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с формулами свойств квадратного корня и памяткой «Сначала проверяю условия, затем преобразую».
- Распечатать карточки для парной работы: по одному комплекту на каждую пару, включая задания базового и повышенного уровня.
- Распечатать индивидуальные карточки для самостоятельной работы — по одной на каждого ученика и два запасных экземпляра.
- Подготовить карточки с ошибочными решениями для приёма «Найди ошибку» — по одной на пару.
- Раздать каждому ученику лист самооценки с пунктами «Я умею вынести множитель», «Я умею внести множитель», «Я умею привести подобные слагаемые».
- Подготовить стикеры трёх цветов для приёма «Светофор» и рефлексии.
- Вывести на экран таймер на 3–5 минут для парной и самостоятельной работы.
- Подготовить доску: слева — тема и цель, в центре — свойства корня, справа — критерии оценивания.
- Организовать рассадку так, чтобы ученики могли быстро работать в парах и видеть запись на доске.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу, обозначить практическую значимость точного преобразования выражений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: «Здравствуйте. Сегодня мы не будем просто повторять правила, а проверим, насколько уверенно вы умеете ими пользоваться. На доске записано выражение $sqrt{50}+2sqrt{2}$. Как сделать его короче и удобнее для дальнейших вычислений? Запишите первый шаг самостоятельно». | Записывают выражение в тетради, предлагают вынести полный квадрат: «$sqrt{50}=5sqrt{2}$». Формулируют, что после этого можно привести подобные слагаемые. |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сначала 30 секунд подумайте молча, затем обсудите с соседом, какие ошибки чаще всего возникают при работе с корнями. Назовите не только ошибку, но и способ проверки». | Индивидуально называют возможные ошибки, затем обсуждают их в парах и предлагают варианты: «нельзя складывать подкоренные выражения», «нужно учитывать модуль», «надо проверять неотрицательность подкоренного выражения» . |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня мы будем действовать как редакторы математической записи: находить удобную форму выражения, проверять законность каждого шага и объяснять свой выбор. Начнём с опорных свойств».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратного корня и условия их применения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает на доске пропуски: «Дополните формулы: $sqrt{ab}=...$; $sqrt{a^2}=...$; $ksqrt{a}=...$ при $k>0$. Обязательно назовите условия, при которых формулы верны. Не просто вспоминайте символы — объясняйте смысл». | Восстанавливают формулы: $sqrt{ab}=sqrt{a}sqrt{b}$ при неотрицательных $a$ и $b$; $sqrt{a^2}=|a|$; $ksqrt{a}=sqrt{k^2a}$ при $k>0$. Записывают условия в тетрадь. |
3 мин | Учитель проводит устный блиц: «Вычислите $sqrt{81}$, $sqrt{12}$, $sqrt{0{,}25}$. Можно ли записать $sqrt{2}+sqrt{8}=sqrt{10}$? Почему? Как преобразовать $3sqrt{5}$ в выражение под одним корнем?» | Отвечают: «$9$», «$2sqrt{3}$», «$0{,}5$»; объясняют, что сумму корней нельзя объединять под один корень; получают $3sqrt{5}=sqrt{45}$ при положительном множителе. |
Запись в тетрадях
Записать памятку: «1. Проверить условия. 2. Выделить полный квадрат. 3. Вынести множитель или внести его под знак корня. 4. Привести подобные слагаемые. 5. Проверить результат».
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы восстановили формулы и увидели, что одно и то же выражение можно записывать по-разному. Теперь проверим, умеем ли мы выбирать наиболее рациональную форму».
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Этап 3. Постановка учебной задачи (4 мин)
Цель этапа: выявить типичные затруднения и сформулировать критерии успешного преобразования.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает сравнить два решения: «В первом решении записано $sqrt{18}+sqrt{8}=sqrt{26}$. Во втором: $sqrt{18}+sqrt{8}=3sqrt{2}+2sqrt{2}=5sqrt{2}$. Какое решение неверно и на каком шаге возникла ошибка?» | В парах находят ошибку: «Нельзя складывать подкоренные выражения, потому что свойство произведения не распространяется на сумму». Объясняют, что нужно сначала вынести множители. |
2 мин | Учитель спрашивает: «Какие действия должны быть обязательными в хорошем решении? Предлагаю сформулировать три критерия: законность, последовательность, проверяемость». Фиксирует ответы на доске. | Формулируют критерии: «соблюдены условия применимости свойств», «каждый шаг понятен», «результат можно проверить обратным преобразованием или подстановкой». Записывают цель: упрощать выражения и объяснять каждый шаг. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «К концу урока каждый должен уметь не только получить ответ, но и защитить решение. Перейдём к совместному разбору образцов».
Этап 4. Закрепление способов преобразования в парах (10 мин)
Цель этапа: отработать алгоритм преобразования выражений через взаимное объяснение и проверку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки парам и говорит: «В каждой паре один ученик начинает решение, второй после каждого шага задаёт вопрос: “Почему это действие допустимо?”. Затем поменяйтесь ролями. Решение обязательно оформляйте цепочкой равенств». | Распределяют роли, читают критерии на карточке, готовят тетради и начинают работу. |
4 мин | Учитель предлагает задание 1: «Упростите выражение $sqrt{72}-sqrt{32}+2sqrt{8}$. Сначала найдите полный квадрат в каждом подкоренном выражении, затем приведите подобные слагаемые. Обойдите пары и задайте вопрос о каждом переходе». | Решают в парах: $sqrt{72}=6sqrt{2}$, $sqrt{32}=4sqrt{2}$, $sqrt{8}=2sqrt{2}$; получают $6sqrt{2}-4sqrt{2}+4sqrt{2}=6sqrt{2}$. Объясняют партнёру выделение полного квадрата. |
4 мин | Учитель предлагает задание 2: «Упростите выражение $3sqrt{12}-2sqrt{27}+sqrt{75}$. Для одной пары предложите второй способ проверки результата — возьмите приближённое значение $sqrt{3}$.» Учитель просит две пары представить решения. | Решают: $3sqrt{12}=6sqrt{3}$, $2sqrt{27}=6sqrt{3}$, $sqrt{75}=5sqrt{3}$; результат — $5sqrt{3}$. Две пары объясняют решение у доски, остальные сравнивают записи и отмечают сильную сторону решения партнёров. |
Эталон решения
$3sqrt{12}-2sqrt{27}+sqrt{75}=3sqrt{4cdot3}-2sqrt{9cdot3}+sqrt{25cdot3}=3cdot2sqrt{3}-2cdot3sqrt{3}+5sqrt{3}=6sqrt{3}-6sqrt{3}+5sqrt{3}=5sqrt{3}$. Проверка: все подкоренные выражения неотрицательны, а вынесенные множители положительны.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парной работе вы убедились, что ключевой шаг — увидеть полный квадрат. Теперь каждый самостоятельно покажет, умеет ли он применить алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 5. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение основными способами преобразования и умение контролировать решение.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель объясняет выбор: «Выполните обязательный базовый вариант. Если он получается уверенно, выберите одно повышенное задание. Работайте молча, но все преобразования записывайте полностью». | Выбирают уровень, записывают номер варианта и приступают к решению. |
5 мин | Учитель раздаёт карточки. Базовый вариант: «Упростите: а) $sqrt{48}+sqrt{75}$; б) $4sqrt{18}-sqrt{50}$; в) внесите множитель под знак корня: $2sqrt{7}$». Повышенный вариант: «Упростите $\frac{sqrt{48}}{sqrt{3}}+sqrt{27}$ и объясните допустимость деления». | Решают индивидуально: получают $9sqrt{3}$, $7sqrt{2}$, $sqrt{28}$; в повышенном задании получают $4+3sqrt{3}$ и отмечают, что $sqrt{3}>0$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: «Проверьте не только ответ, но и запись. Поставьте знак “+” рядом с верным шагом, “?” — рядом с местом сомнения. Ошибку исправьте другим цветом». | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают затруднение и выставляют себе предварительный результат по критериям. |
Эталон решения
$\frac{sqrt{48}}{sqrt{3}}+sqrt{27}=\frac{4sqrt{3}}{sqrt{3}}+3sqrt{3}=4+3sqrt{3}$. Деление допустимо, поскольку $sqrt{3}>0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какие действия уже стали привычными, а где ещё требуется контроль. Сейчас разберём типичные ошибки и закрепим умение оценивать чужое решение».
Этап 6. Анализ ошибок и включение знаний в систему (6 мин)
Цель этапа: научить распознавать типичные ошибки и обосновывать их исправление.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки приёма «Найди ошибку»: «Решение записано так: $sqrt{a^2}=a$. Найдите условие, при котором это верно. Второй пример: $sqrt{12}+sqrt{27}=sqrt{39}$. Объясните, почему такой переход невозможен. Третий пример: $sqrt{x^2}=|x|$. Почему здесь появился модуль?» | В парах исправляют записи: $sqrt{a^2}=|a|$ для любого действительного $a$, а запись $sqrt{a^2}=a$ верна только при $a\geq0$; сумму корней нельзя объединять; модуль нужен потому, что квадратный корень неотрицателен. |
3 мин | Учитель организует краткое обсуждение: «Представьте, что вы объясняете это правило инженеру или программисту, которому важна надёжность формулы. Какое контрольное действие вы предложите?». | Формулируют способы проверки: обратное возведение в квадрат с учётом знака, подстановка конкретного допустимого значения, проверка области определения. Представляют по одному аргументу от пары. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы научились видеть не только правильный ответ, но и причину ошибки. Осталось оценить собственный прогресс и сформулировать, что нужно закрепить дома».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: организовать осмысление способов работы, зафиксировать индивидуальные затруднения и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёную карточку, если можете самостоятельно вынести множитель из-под корня и привести подобные; жёлтую — если нужен образец; красную — если требуется индивидуальная помощь. На стикере допишите один конкретный вопрос». | Показывают цвет карточки, записывают вопрос или затруднение: «путаю внесение и вынесение множителя», «не всегда раскрываю модуль», «сомневаюсь в условиях деления корней». |
2 мин | Учитель предлагает «Одноминутку»: «Закончите две фразы: “Сегодня я научился…” и “Перед следующим уроком мне нужно повторить…”. Не переписывайте правило, назовите действие и способ его проверки». | Пишут две фразы, формулируют личный результат и выбирают конкретный пункт для повторения. |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: «Выберите обязательный уровень; повышенный и дополнительный уровни выполняйте по желанию. Перед сдачей проверьте каждое преобразование по пяти шагам с доски». | Записывают домашнее задание, задают уточняющие вопросы, сверяют запись с учителем. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Сегодня вы не просто повторили свойства корня, а учились выбирать способ, объяснять каждый шаг и исправлять ошибки. По вашим стикерам я определю, какие преобразования нужно кратко повторить в начале следующего урока».
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все три базовых задания или базовые задания и повышенное задание, корректно применены свойства корня, условия действий соблюдены, запись последовательная и аккуратная.
- «4» — верно выполнены два базовых задания из трёх, допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не нарушающая общего способа решения; ошибка исправлена при самопроверке.
- «3» — выполнено хотя бы два базовых задания с частично верным алгоритмом, но допущены ошибки при выделении полного квадрата, приведении подобных слагаемых или проверке условий.
- Ниже отметки «3» — отсутствует устойчивое понимание алгоритма либо преобразования не доведены до результата; ученик получает индивидуальное задание на повторение.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма преобразования выражения вы выполняете уверенно? | Выявление сформированного предметного действия и сильной стороны ученика. |
В каком случае вы обязаны обратить внимание на модуль? | Проверка понимания равенства $sqrt{a^2}=|a|$ и условий его упрощения. |
Какая ошибка в работе с корнями сегодня оказалась наиболее опасной? | Выявление типичных заблуждений и планирование коррекционной работы. |
Как вы проверите правильность преобразованного выражения? | Проверка сформированности регулятивного действия самоконтроля. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили основные способы преобразования выражений, содержащих квадратные корни: выделяли полный квадрат, выносили и вносили множители, приводили подобные слагаемые. Особенно внимательно следите за двумя моментами: сумму корней нельзя объединять под один знак корня, а $sqrt{x^2}$ нельзя без условия заменять просто на $x$. Если вы проверяете каждый шаг и учитываете область допустимых значений, решение становится надёжным. На следующем уроке мы применим эти преобразования при решении уравнений и задач».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4–5 выражений на вынесение множителя из-под знака корня, приведение подобных слагаемых и внесение положительного множителя под знак корня; в каждом решении записать промежуточные преобразования. | Закрепляет базовый алгоритм; при проверке обратить внимание на выделение полного квадрата и правильное сложение коэффициентов. |
Средний (повышающий) | Выполнить 3–4 комбинированных выражения, включающих произведение или частное корней и последующее сложение подобных слагаемых; для одного примера выполнить численную проверку. | Формирует выбор последовательности действий и навык проверки результата; проверить условия применимости свойств и отсутствие деления на ноль. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить два выражения, содержащих квадратные корни: одно с ответом $5sqrt{2}$, другое с ответом $3+2sqrt{5}$, затем решить их и объяснить, какие свойства использованы. | Развивает умение конструировать математические объекты и осознанно применять свойства; при проверке оценить корректность составленного выражения и обратную проверку. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как вынести множитель из-под знака корня? В каком случае $sqrt{x^2}=x$, а в каком нужно писать $|x|$? Можно ли складывать подкоренные выражения при сложении корней? Как проверить правильность преобразования?»
