Решение квадратных уравнений: формула корней, теорема Виета и подбор корней
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться выбирать и применять формулу корней, теорему Виета или обратную теорему Виета для решения квадратных уравнений и объяснять правильность выбора не менее чем в 4 из 5 заданий.
- Научиться решать квадратные уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ по формуле корней и проверять полученные значения подстановкой.
- Выявить связь между корнями квадратного уравнения и коэффициентами через исследовательскую работу в парах и сформулировать теорему Виета.
- Освоить подбор корней по обратной теореме Виета, включая уравнения с целыми корнями.
- Развивать умение сотрудничать в группе, аргументировать выбор способа решения и применять математические модели в практическом контексте.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к поиску разных способов решения одного уравнения.
- Осознают значение точности, проверки и аргументации в математической деятельности.
- Принимают право одноклассника на иной способ решения и корректно обсуждают результаты.
- Связывают математические модели с задачами информатики, физики и будущей профессиональной деятельности.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формулы, таблицы и условия задачи, преобразуют её в математическую модель.
- Сравнивают способы решения, находят более рациональный и обосновывают выбор.
- Планируют последовательность решения, осуществляют самопроверку и корректируют ошибки.
- Работают в паре и группе, распределяют роли, формулируют выводы и представляют результат.
Предметные
- Знают формулу корней квадратного уравнения и алгоритм её применения.
- Умеют вычислять дискриминант и определять количество корней.
- Формулируют теорему Виета для приведённого квадратного уравнения.
- Умеют подбирать корни по обратной теореме Виета и выполнять проверку.
- Умеют решать квадратные уравнения несколькими способами и выбирать рациональный способ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться быстро распознавать удобный способ решения.
- Проявляют самостоятельность при выборе уровня и способа выполнения задания.
- Оценивают собственный вклад в парную и групповую работу.
- Формируют ответственное отношение к записи вычислений и проверке результата.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель после анализа проблемного уравнения.
- Планируют решение по алгоритму: привести к стандартному виду, определить коэффициенты, выбрать способ, проверить ответ.
- Сопоставляют полученный результат с эталоном и находят место ошибки.
- Оценивают степень освоения материала по листу самооценки и формулируют следующий шаг.
Познавательные УУД
- Выделяют коэффициенты $a$, $b$, $c$ и моделируют зависимость между ними и корнями.
- Сравнивают пары корней и коэффициентов в таблице, выявляют закономерность.
- Применяют формулы, выполняют преобразования и проверяют гипотезы на примерах.
- Анализируют ошибочное решение и объясняют, на каком шаге нарушен алгоритм.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в группе: вычислитель, проверяющий, докладчик, секретарь.
- Задают уточняющие вопросы и аргументируют выбор формулы или способа.
- Согласуют общий вывод на основе результатов исследования.
- Корректно дают однокласснику обратную связь по критериям «две сильные стороны и совет».
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске: формулу корней, алгоритм решения, теорему Виета и обратную теорему Виета.
- Распечатать карточки для парной работы с пятью квадратными уравнениями — по одной карточке на пару.
- Распечатать четыре групповых исследовательских листа с таблицами коэффициентов и корней — по одному на группу.
- Подготовить карточки трёх уровней самостоятельной работы — по одной на каждого ученика.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход — по одному экземпляру на каждого ученика.
- Разложить на столах маркеры, листы А3 и стикеры для моделирования связей между корнями и коэффициентами.
- Вывести на экран проблемное уравнение $x^2-7x+12=0$ и ошибочное решение с неверным знаком.
- Подготовить калькуляторы по необходимости для проверки вычислений, проектор, ноутбук и интерактивную доску.
- Подготовить межпредметный мини-кейс: модель высоты тела $h(t)=-5t^2+20t+1$, где корни помогают определить момент достижения заданной высоты.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в деятельность, создать проблемную ситуацию и настроить на исследовательский поиск.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Сегодня вы будете не только решать уравнения, но и исследовать, как корни связаны с коэффициентами. Проверьте, что на столе есть тетрадь, ручка и карточка для работы в паре. В конце урока каждый сможет выбрать наиболее удобный способ решения." | Проверяют готовность, записывают дату, объединяются в пары. |
2 мин | Учитель показывает на доске уравнение $x^2-7x+12=0$ и спрашивает: "Какие способы решения вы уже знаете? Можно ли найти корни быстрее, чем по длинному алгоритму? Какие два числа в произведении дают 12, а в сумме — 7?" Учитель фиксирует гипотезы, не объявляя правильный способ заранее. | Предлагают варианты: "Разложить на множители", "Подобрать числа 3 и 4", "Использовать формулу корней"; формулируют проблемный вопрос: "Как заранее понять, какой способ будет рациональнее?" |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что одно уравнение можно решать разными способами. Теперь выясним, какую информацию о корнях дают коэффициенты и как использовать её для быстрого подбора."
Этап 2. Актуализация знаний и выявление затруднения (5 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия квадратного уравнения, коэффициентов, дискриминанта и разложения на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Сначала индивидуально определите коэффициенты в уравнениях $2x^2-5x+2=0$ и $x^2+6x+8=0$. Затем сравните ответы с соседом. Объясните, почему коэффициент $a$ не может быть равен нулю." | Определяют: $a=2$, $b=-5$, $c=2$; во втором уравнении $a=1$, $b=6$, $c=8$; обсуждают ответ в парах. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Как вычисляется дискриминант? Что показывает его значение? Как записываются корни при $D>0$?" На доске фиксирует формулы $D=b^2-4ac$ и $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. | Отвечают: "$D>0$ — два корня, $D=0$ — один корень, $D<0$ — действительных корней нет"; проговаривают алгоритм и решают устно уравнение $x^2-5x+6=0$ подбором. |
Запись в тетрадях
Квадратное уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$. Дискриминант: $D=b^2-4ac$. При $D\ge0$ корни вычисляют по формуле $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Формулу корней мы вспомнили. Но пока не ответили на главный вопрос: почему в некоторых уравнениях корни можно подобрать почти сразу? Перейдём к небольшому исследованию."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование исследования (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать гипотезу о связи суммы и произведения корней с коэффициентами.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель объединяет класс в группы по четыре человека и распределяет роли: "Каждая группа получит два уравнения. Решите их удобным способом, занесите корни, их сумму и произведение в таблицу. Затем сравните сумму с коэффициентом при $x$, а произведение — со свободным членом." | Распределяют роли, получают исследовательские листы и формулируют план: решить, вычислить сумму и произведение, сравнить, сделать вывод. |
2 мин | Учитель задаёт проблемный диалог: "Если уравнение имеет вид $x^2+px+q=0$, какие выражения могут быть связаны с $p$ и $q$? Предположите ответ, но пока не считайте его доказанным." | Высказывают гипотезы: "Сумма корней может быть равна $-p$, произведение — $q$"; записывают гипотезу на листе группы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Гипотеза появилась, но математика требует проверки на нескольких примерах. Сейчас вы соберёте данные и сами откроете закономерность."
Этап 4. Исследовательское открытие нового знания (10 мин)
Цель этапа: вывести теорему Виета и обратную теорему Виета через моделирование и групповое исследование.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт группам уравнения: $x^2-7x+12=0$, $x^2+5x+6=0$, $x^2-2x-15=0$, $x^2+9x+20=0$. Инструкция: "Решите уравнение, запишите корни, их сумму и произведение. На листе А3 соедините стрелками коэффициенты $p$, $q$ с суммой и произведением корней. Это будет математическая модель закономерности." | Решают уравнения подбором или разложением на множители, заполняют таблицу. Например, для первого уравнения получают $x_1=3$, $x_2=4$, $x_1+x_2=7$, $x_1x_2=12$; создают схему связей. |
3 мин | Учитель организует представление: "Докладчик каждой группы назовите сумму и произведение корней и сравните их с коэффициентами. Проверяющие, задайте вопрос другой группе: почему перед коэффициентом $p$ появляется знак минус?" Учитель подводит к формулировке теоремы. | Докладчики сообщают результаты: "Сумма корней равна противоположному коэффициенту при $x$, произведение равно свободному члену"; задают вопросы и уточняют формулировку. |
2 мин | Учитель записывает на доске: "Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, то $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q". Затем спрашивает: "Как использовать эти равенства в обратную сторону?" | Записывают теорему Виета и формулируют: "Если два числа имеют нужную сумму и произведение, они являются корнями приведённого квадратного уравнения". |
Запись в тетрадях
Теорема Виета: если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2+px+q=0$, то $x_1+x_2=-p$, $x_1x_2=q$. Обратная теорема: если числа $u$ и $v$ таковы, что $u+v=-p$ и $uv=q$, то $u$ и $v$ являются корнями уравнения $x^2+px+q=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Исследование подтвердило гипотезу. Теперь у нас есть три инструмента: формула корней, теорема Виета и подбор. Потренируемся выбирать инструмент осознанно."
Этап 5. Первичное закрепление в парах (7 мин)
Цель этапа: отработать выбор способа и применение теоремы Виета в типовых заданиях.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель раздаёт карточки: "В парах решите три уравнения. Первое решите по формуле корней: $2x^2-7x+3=0$. Второе решите подбором: $x^2-11x+30=0$. В третьем восстановите уравнение по корням $-2$ и $5$. После каждого решения подпишите, почему выбрали именно этот способ." | В парах вычисляют $D$ и корни первого уравнения, подбирают корни второго, составляют уравнение $(x+2)(x-5)=0$, получают $x^2-3x-10=0$. |
2 мин | Учитель предлагает взаимопроверку: "Обменяйтесь карточками. Проверьте не только ответ, но и выбор способа, знаки в сумме и произведении. Поставьте две звезды за сильные стороны и один совет." | Обмениваются карточками, проверяют вычисления и запись, формулируют обратную связь. |
2 мин | Учитель разбирает типичную ошибку на доске: "Ученик записал для уравнения $x^2-8x+15=0$ сумму корней $-8$. Найдите ошибку и исправьте её." | Исправляют: сумма корней равна $8$, произведение — $15$; объясняют, что $x_1+x_2=-p$, а $p=-8$. |
Эталон решения
Для $2x^2-7x+3=0$: $D=(-7)^2-4\cdot2\cdot3=25$; $x_1=\frac{7+5}{4}=3$, $x_2=\frac{7-5}{4}=\frac12$. Для $x^2-11x+30=0$ подбираем числа с произведением $30$ и суммой $11$: $5$ и $6$, поэтому $x_1=5$, $x_2=6$. По корням $-2$ и $5$: $(x+2)(x-5)=0$, откуда $x^2-3x-10=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы уже умеете применять теорему и объяснять выбор способа. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно может пройти весь алгоритм без подсказки."
Этап 6. Самостоятельная работа с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение формулой корней, теоремой Виета и подбором корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель говорит: "Выберите уровень: базовый, повышающий или дополнительный. Базовый выполняют все, повышающий — при готовности, дополнительный содержит творческий элемент. Работайте самостоятельно, проверку проведём по эталону на экране." | Выбирают уровень и записывают номер варианта. |
5 мин | Учитель раздаёт задания. Базовый: решить $x^2-6x+8=0$ и $3x^2-5x-2=0$. Повышающий: решить $x^2+4x-12=0$ подбором и $4x^2-4x-3=0$ по формуле. Дополнительный: составить два разных квадратных уравнения с корнями $-3$ и $7$, одно приведённое, другое неприведённое, и объяснить выбор способа. | Решают индивидуально, записывают формулы и промежуточные вычисления; в дополнительном задании составляют $x^2-4x-21=0$ и, например, $2x^2-8x-42=0$, объясняют связь коэффициентов и корней. |
2 мин | Учитель выводит эталон и говорит: "Сверьте каждый шаг, а не только конечный ответ. Если обнаружили ошибку, зачеркните неверный шаг одной линией и рядом запишите исправление." | Проверяют решения, отмечают ошибки в дискриминанте, знаках или выборе корней, ставят себе условный балл. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что способ решения нужно выбирать по структуре уравнения. Осталось применить знания в жизненной математической модели и сформулировать личный вывод."
Этап 7. Межпредметное творческое задание и рефлексия (8 мин)
Цель этапа: применить квадратное уравнение в контексте физики и осмыслить результаты урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает модель из физики: "Высота тела описывается формулой $h(t)=-5t^2+20t+1$. Вопрос: в какие моменты тело окажется на высоте $11$ метров? Составьте уравнение и выберите способ решения. Почему здесь важно учитывать смысл корней?" | Составляют $-5t^2+20t+1=11$, преобразуют к $5t^2-20t+10=0$, находят $t=2\pm\sqrt2$ и объясняют, что оба значения положительны и имеют смысл времени. |
2 мин | Учитель предлагает творческий выбор: "Придумайте короткую задачу из физики, экономики или информатики, которая приводит к уравнению $x^2-7x+12=0$. Запишите условие и объясните, что означают корни 3 и 4." | В парах создают сюжет: например, размеры прямоугольника с площадью 12 и суммой сторонних величин 7; формулируют смысл корней. |
3 мин | Учитель проводит рефлексию "Билет на выход": "Запишите: 1) что связывают теорема Виета и обратная теорема; 2) когда удобнее использовать формулу; 3) какую ошибку вы сегодня научились предупреждать. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить выбор способа, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется помощь." | Заполняют билет на выход, выбирают цвет самооценки и формулируют ответы: "Сумму и произведение корней", "Формулу — когда корни трудно подобрать", "Следить за знаком перед коэффициентом $p$". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно решены оба задания самостоятельной работы и не менее двух заданий парной карточки, корректно применены формула и теорема Виета, выполнена проверка.
- «4» — допущена одна вычислительная или знаковая ошибка при правильном выборе способа и общем алгоритме решения.
- «3» — выполнено не менее половины обязательных заданий, но есть ошибки в вычислении дискриминанта, подборе корней или записи суммы и произведения.
- Дополнительный балл может быть учтён за содержательное творческое задание с корректной математической моделью и объяснением смысла корней.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о сумме и произведении корней? | Выявление осознания содержания теоремы Виета. |
Как вы выбираете между формулой корней и подбором? | Проверка понимания рационального выбора способа. |
На каком шаге решения вы чаще всего ошибаетесь? | Выявление индивидуальных точек затруднения. |
Какой способ вы готовы объяснить однокласснику? | Оценка уверенности и готовности к сотрудничеству. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы увидели, что квадратное уравнение можно решать не механически, а осознанно выбирая инструмент. Формула корней универсальна, а теорема Виета и подбор часто позволяют действовать быстрее. Особенно внимательно следите за знаком перед коэффициентом при $x$: сумма корней равна именно противоположному коэффициенту. На следующем уроке мы продолжим решать квадратные уравнения и рассмотрим разложение на множители и сводимые уравнения."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 квадратных уравнения: два по формуле корней и два подбором по теореме Виета; для каждого указать выбранный способ и выполнить проверку. | Закрепляет алгоритм вычисления дискриминанта, подбор корней и контроль знаков. |
Средний (повышающий) | Решить 3 уравнения, среди которых одно неприведённое, одно с целыми корнями и одно с дробными корнями; сравнить два способа решения одного из них. | Развивает умение распознавать структуру уравнения и выбирать рациональный способ. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить реальную задачу из физики, геометрии, экономики или информатики, математической моделью которой является квадратное уравнение, решить его и объяснить смысл каждого корня. | Формирует функциональную грамотность, моделирование и умение интерпретировать математический результат. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как найти дискриминант? Как связаны сумма и произведение корней с коэффициентами приведённого уравнения? В каком случае подбор корней рациональнее формулы? Почему найденный корень необходимо проверять?»
