График функции $y=ax^2$: парабола и её свойства
Цели и задачи
- Цель урока по SMART: к концу урока научиться строить график функции $y=ax^2$ по пяти-шести точкам, определять вершину, ось симметрии и направление ветвей параболы, а также объяснять влияние коэффициента $a$ на вид графика.
- Сформировать представление о параболе как о графике квадратичной функции и установить связь между формулой функции и её графическим образом.
- Отработать алгоритм построения графика по таблице значений и научиться проверять симметрию полученной фигуры.
- Развивать умение сравнивать графики, выдвигать гипотезы, аргументировать выводы и сотрудничать в парах.
- Показать применение параболы в физике, архитектуре, инженерии и цифровом моделировании.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к исследованию математической модели и понимают практическую ценность графиков функций.
- Осознают значимость точности, проверки результата и ответственного распределения ролей при парной работе.
- Получают опыт самостоятельного выбора уровня творческого задания.
- Формируют уважительное отношение к аргументированным версиям одноклассников.
Метапредметные
- Умеют извлекать информацию из формулы, таблицы и графика, сопоставляя разные способы представления функции.
- Планируют построение графика, контролируют последовательность действий и исправляют найденные ошибки.
- Формулируют гипотезу о влиянии коэффициента $a$ и проверяют её на примерах.
- Используют математическую речь для объяснения результата и взаимодействуют в паре при решении исследовательской задачи.
Предметные
- Знают определение параболы как графика функции $y=ax^2$, где $a\ne0$.
- Умеют строить график функции $y=ax^2$ по таблице значений.
- Умеют находить вершину и ось симметрии графика функции $y=ax^2$.
- Умеют определять направление ветвей параболы по знаку коэффициента $a$.
- Умеют сравнивать графики функций $y=x^2$, $y=2x^2$ и $y=\frac12x^2$.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный вклад в парную работу и оценивают собственное продвижение.
- Связывают изучение параболы с профессиями архитектора, инженера, программиста и аналитика.
- Проявляют готовность преодолевать затруднение через проверку гипотезы.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель построения графика и составляют последовательность действий.
- Проверяют вычисления подстановкой и сопоставлением симметричных точек.
- Оценивают результат по заданным критериям и вносят коррективы.
- Распределяют время между построением, проверкой и творческой частью.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки параболы и сравнивают несколько графиков.
- Строят таблицу значений и математическую модель реального объекта.
- Устанавливают зависимость формы графика от знака и модуля коэффициента $a$.
- Преобразуют информацию из формулы в таблицу, график и словесный вывод.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре: вычислитель, построитель и затем меняются ролями.
- Задают уточняющие вопросы и объясняют партнёру ход построения.
- Аргументируют выбор графика и корректно обсуждают различия решений.
- Договариваются о едином выводе и представляют его классу.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить координатную сетку на доске и слайд с изображениями арки моста, струи воды и спутниковой антенны.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые — по одной на каждого ученика, исследовательские — по одной на пару, творческие — по одной на пару.
- Подготовить карточки с функциями $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=\frac12x^2$, $y=-x^2$ для игровой разминки «Математический детектив».
- Раздать каждой паре лист миллиметровой бумаги, линейку, карандаш и карточку самооценки.
- Вывести на доску алгоритм: выбрать значения $x$; вычислить $y$; отметить точки; соединить плавной линией; проверить симметрию.
- Подготовить цветные маркеры для выделения вершины и оси симметрии.
- Проверить работу проектора или интерактивной доски.
- Заранее записать на доске проблемный вопрос: «Как по формуле предсказать форму параболы, ещё не построив её?»
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в исследовательскую деятельность и вызвать интерес к теме через реальный контекст.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране фотографии арки моста, траектории мяча и струи фонтана: "Ребята, сегодня мы будем не просто строить линию по точкам, а исследовать форму, которая встречается в архитектуре, спорте и инженерии. Посмотрите на изображения и найдите общий признак. Запишите первое предположение одним словом." | Рассматривают изображения, записывают предположения и называют: "Изгиб", "симметрия", "похожая дуга". |
2 мин | Учитель объявляет игровой сюжет: "Сегодня вы — математические детективы. Ваша задача — по формуле раскрыть характер графика. За точную таблицу, доказанную гипотезу и оригинальную модель команда получает жетон исследователя. Проблемный вопрос записан на доске: как заранее предсказать форму параболы?" | Принимают роли в парах, формулируют вопросы к теме и записывают проблемный вопрос. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили общую форму и поставили исследовательский вопрос. Теперь вспомним, какие инструменты помогут нам перейти от формулы к точкам на координатной плоскости."
Этап 2. Актуализация знаний и игровая разминка (5 мин)
Цель этапа: восстановить знания о координатной плоскости, таблице значений и симметрии.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт карточки «Математический детектив»: "Вычислите значения $y=x^2$ при $x=-2,-1,0,1,2$. Работайте в паре: один считает, другой проверяет, затем поменяйтесь ролями. Обратите внимание, какие значения совпадают." | Заполняют таблицу: $4,1,0,1,4$; сравнивают результаты для противоположных значений $x$ и формулируют: "Значения одинаковы, график симметричен относительно оси $Oy$." |
3 мин | Учитель отмечает на координатной сетке точки и спрашивает: "Что означает пара чисел $(-2;4)$? Как перенести её на плоскость? Почему точки $(-1;1)$ и $(1;1)$ расположены на одной горизонтали?" Затем просит одну пару объяснить правило чтения координат. | Показывают абсциссу и ординату точки, отмечают пять точек на сетке, объясняют: "У точек противоположные абсциссы и одинаковые ординаты, поэтому они симметричны относительно оси $Oy$." |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем составлять таблицу, наносить точки и замечать симметрию. Но пока не знаем, как изменится график, если перед $x^2$ появится другой коэффициент. Это и станет нашим следующим расследованием."
Этап 3. Выявление затруднения и постановка цели (4 мин)
Цель этапа: обнаружить необходимость нового знания и совместно сформулировать цель урока.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает три формулы: $y=x^2$, $y=2x^2$, $y=\frac12x^2$: "Попробуйте без построения расположить графики по ширине. Какой будет самым узким, а какой — самым широким? Можно ли утверждать это без доказательства?" | Индивидуально выдвигают версии, затем обсуждают их в парах одну минуту. Предполагают: "$y=2x^2$ будет уже, а $y=\frac12x^2$ — шире". |
2 мин | Учитель организует приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: "Назовите действия, которые помогут проверить гипотезу. Сформулируйте цель урока глаголом действия." Учитель фиксирует на доске общий алгоритм. | Формулируют цель: "Построить графики функций $y=ax^2$ и установить влияние коэффициента $a$ на направление и ширину параболы". Предлагают построить таблицы и сравнить точки. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель определена самими исследователями: построить и сравнить графики. Переходим к открытию правила, которое позволит объяснять форму параболы по формуле."
Этап 4. Открытие нового знания. Исследование в парах (10 мин)
Цель этапа: вывести свойства графика функции $y=ax^2$ через построение и сравнение таблиц значений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт парам исследовательскую карточку: "Постройте на одной координатной плоскости графики $y=x^2$, $y=2x^2$ и $y=\frac12x^2$ для $x=-2,-1,0,1,2$. Сначала вычислитель заполняет таблицу, затем построитель отмечает точки; после этого поменяйтесь ролями и проверьте два значения." | В парах составляют три таблицы, отмечают пятнадцать точек разными цветами, соединяют точки плавными линиями и выделяют общую вершину $O(0;0)$. |
3 мин | Учитель задаёт вопросы: "Что общего у графиков? Где находится вершина? Какова ось симметрии? Сравните расстояние точек от оси $Oy$. Какой график уже?" На доске фиксирует ответы в таблице сравнения. | Отвечают: "У всех вершина $(0;0)$ и ось симметрии $Oy$"; "При $a>0$ ветви направлены вверх"; "$y=2x^2$ уже, а $y=\frac12x^2$ шире". |
3 мин | Учитель добавляет формулу $y=-x^2$: "Предскажите направление ветвей, затем проверьте точками $x=-2,-1,0,1,2$. Объясните, что изменилось." Учитель демонстрирует отражение графика относительно оси $Ox$. | Предсказывают: "Ветви направлены вниз"; строят точки $(-2;-4),(-1;-1),(0;0),(1;-1),(2;-4)$ и формулируют вывод: "При отрицательном $a$ парабола направлена вниз". |
Запись в тетрадях
Записывают: «График функции $y=ax^2$, $a\ne0$, — парабола. Вершина параболы — точка $(0;0)$, ось симметрии — ось $Oy$. Если $a>0$, ветви направлены вверх; если $a<0$, ветви направлены вниз. Чем больше $|a|$, тем уже парабола; чем меньше $|a|$, тем шире».
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы не получили правило готовым, а доказали его таблицами и графиками. Теперь проверим, насколько уверенно можем применять алгоритм без постоянной подсказки."
Этап 5. Первичное закрепление. Игра «Угадай параболу» (6 мин)
Цель этапа: закрепить связь между формулой, направлением ветвей и шириной параболы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель показывает четыре карточки с формулами $y=3x^2$, $y=\frac13x^2$, $y=-2x^2$, $y=-\frac12x^2$: "Поднимите карточку с номером графика, который соответствует формуле. Обязательно объясните выбор двумя признаками: знаком $a$ и величиной $|a|$." | В парах сопоставляют формулы с изображениями, поднимают выбранную карточку и объясняют: "$y=-2x^2$ направлена вниз и уже, чем $y=-\frac12x^2$". |
3 мин | Учитель предлагает устное задание: "Для функции $y=-3x^2$ назовите вершину, ось симметрии и направление ветвей. Какое значение принимает функция при $x=2$?" | Отвечают: "Вершина $(0;0)$, ось — $Oy$, ветви направлены вниз; $y=-3\cdot2^2=-12$". Проверяют ответ подстановкой. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы научились распознавать параболу по двум главным признакам — знаку и модулю коэффициента. Теперь каждый индивидуально покажет, умеет ли построить график и проверить себя."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (8 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное владение алгоритмом построения и свойствами параболы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель предлагает выбор карточки: базовая — построить $y=2x^2$; повышенная — построить $y=-\frac12x^2$ и описать свойства; творческая — выбрать собственное значение $a$ и обосновать форму графика. Инструкция: "Работайте самостоятельно. В таблице используйте значения $x=-2,-1,0,1,2$, нанесите точки, соедините их плавно и подпишите вершину." | Индивидуально выбирают уровень, составляют таблицу, строят график, подписывают вершину и ось симметрии, записывают направление ветвей. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: таблицу для выбранной базовой функции и перечень свойств. "Сравните решение по шагам, поставьте плюс напротив выполненного пункта и исправьте одну найденную ошибку другим цветом." | Проводят самопроверку по эталону, отмечают ошибки и исправляют их. По сигналу «Светофор» показывают зелёную, жёлтую или красную карточку понимания. |
Эталон решения
Для $y=2x^2$: при $x=-2,-1,0,1,2$ получаем $y=8,2,0,2,8$. Точки: $(-2;8)$, $(-1;2)$, $(0;0)$, $(1;2)$, $(2;8)$. Соединяем точки плавной линией. Вершина — $(0;0)$, ось симметрии — $Oy$, ветви направлены вверх, парабола уже графика $y=x^2$, так как $|2|>1$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самопроверка показала, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует внимания. Осталось применить новое знание творчески и связать математическую модель с реальным объектом."
Этап 7. Творческое задание и межпредметная связь (6 мин)
Цель этапа: применить свойства параболы при создании собственной модели и увидеть межпредметное значение темы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель показывает схему арки и траектории мяча: "В физике траекторию тела в упрощённой модели описывают параболой, а в архитектуре параболические арки помогают рассчитывать форму конструкции. Выберите один объект: арка, фонтан или траектория мяча." | Выбирают объект и распределяют роли в паре: автор формулы и графический дизайнер. |
4 мин | Учитель даёт задание: "Придумайте функцию вида $y=ax^2$, выберите коэффициент $a$ и изобразите её график. Подпишите, будет ли объект направлен вверх или вниз, и объясните, почему выбран такой коэффициент. Добавьте короткое название модели." | Создают мини-постер: записывают формулу, строят эскиз параболы, отмечают вершину и подписывают объяснение. Например: «Фонтан: $y=-\frac12x^2+4$»; отмечают, что ветви направлены вниз. |
1 мин | Учитель организует краткую презентацию: "За тридцать секунд представьте формулу, объект и один математический аргумент. Слушатели назовут сильную сторону модели." | Две-три пары представляют модели, остальные формулируют обратную связь: "Верно определено направление ветвей", "Хорошо объяснена ширина графика". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Парабола оказалась не только рисунком в тетради, но и моделью реальных форм и движений. Завершим урок проверкой главных выводов и личной оценкой своей работы."
Этап 8. Рефлексия, итог и домашнее задание (3 мин)
Цель этапа: зафиксировать новое знание, выявить затруднения и определить дальнейший шаг обучения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт «Билет на выход»: "Закончите три фразы: «Парабола $y=ax^2$ имеет…»; «Если $a<0$, то…»; «Чтобы построить график, я сначала…». Затем отметьте, какой уровень задания выбрали и насколько уверенно справились." | Письменно завершают фразы: "Вершину $(0;0)$ и ось симметрии $Oy$"; "ветви направлены вниз"; "составляю таблицу значений". Оценивают уверенность по шкале от 1 до 3. |
1 мин | Учитель сообщает домашнее задание и обращается к классу: "Перед выходом проверьте себя: сможете ли вы по одному коэффициенту назвать направление и примерную ширину параболы? Если нет, отметьте вопрос на карточке." | Записывают домашнее задание, формулируют оставшийся вопрос и сдают билет на выход. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно составлена таблица, построены все точки и плавная парабола, верно указаны вершина, ось симметрии и направление ветвей; объяснение влияния $a$ полное.
- «4» — график построен верно, но допущена одна неточность в вычислении, оформлении или объяснении ширины параболы, исправленная при самопроверке.
- «3» — построена основная часть графика и определено направление ветвей, но есть две ошибки в таблице, симметрии или формулировке свойств.
- Ниже «3» — работа выполнена фрагментарно: отсутствует таблица или невозможно определить соответствие графика формуле.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какие признаки позволяют определить форму параболы по формуле $y=ax^2$? | Проверка осознания роли знака и модуля коэффициента $a$. |
Какой шаг алгоритма построения оказался самым сложным? | Выявление точек затруднения в вычислении, нанесении точек или соединении графика. |
Почему график функции $y=2x^2$ уже графика $y=\frac12x^2$? | Проверка понимания влияния абсолютной величины коэффициента. |
Что в парной работе помогло получить более точный результат? | Оценка качества сотрудничества и распределения ролей. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы открыли, что график функции $y=ax^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и осью симметрии $Oy$. Мы установили: знак коэффициента определяет направление ветвей, а его модуль влияет на ширину графика. Типичная ошибка — перепутать влияние знака и величины коэффициента, поэтому всегда проверяйте оба признака. На следующем уроке мы исследуем графики функций с переносами и узнаем, как изменяется положение вершины параболы."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Построить графики трёх функций вида $y=ax^2$ с коэффициентами $a=2$, $a=-1$ и $a=\frac12$, используя значения $x=-2,-1,0,1,2$. Для каждого графика указать вершину, ось симметрии и направление ветвей. | Закрепляет алгоритм построения и проверяет понимание роли знака и модуля коэффициента. |
Средний (повышающий) | Решить 4–5 заданий на сопоставление формулы и графика для функций вида $y=ax^2$, включая положительные и отрицательные дробные коэффициенты; каждое соответствие обосновать. | Развивает анализ графика и аргументацию; при проверке смотреть на знак $a$, ширину и симметрию. |
Продвинутый (дополнительный) | Создать мини-модель реального объекта: выбрать арку, фонтан или траекторию движения, задать функцию вида $y=ax^2$, построить эскиз и написать 3–4 предложения о смысле коэффициента $a$. | Формирует творческое и математическое моделирование, связывает алгебру с физикой, архитектурой и инженерией. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как называется график функции $y=ax^2$? Где находится его вершина? Что показывает знак коэффициента $a$? Как влияет увеличение $|a|$ на ширину параболы? Какой первый шаг алгоритма построения графика?»
