Системы линейных уравнений с двумя переменными: способы решения и применение
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока обобщить способы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными, научиться выбирать рациональный способ и решить не менее двух практических задач с проверкой результата.
- Закрепить понятия линейного уравнения с двумя переменными, его графика, системы уравнений и решения системы.
- Повторить алгоритмы графического способа, способа подстановки и способа сложения, применяя их к системам разной сложности.
- Развивать умение моделировать текстовую ситуацию системой уравнений, анализировать условие и оценивать полученный ответ.
- Формировать ответственность за точность вычислений, готовность аргументировать выбор способа и сотрудничать в паре.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют учебную самостоятельность при выборе способа решения системы.
- Понимают практическую ценность математического моделирования при решении задач о движении, смесях и сплавах.
- Осознают значение проверки результата и аккуратной записи решения.
- Готовы уважительно обсуждать разные способы решения и аргументировать собственную позицию.
Метапредметные
- Сравнивают алгоритмы решения систем и выбирают способ по структуре уравнений.
- Моделируют текстовую ситуацию с помощью переменных, уравнений и системы.
- Работают с информацией учебника, таблицей-напоминанием и цифровым графиком.
- Планируют решение, контролируют вычисления, находят и исправляют ошибки.
- Формулируют выводы, аргументируют ответы и взаимодействуют в паре.
Предметные
- Знают определение линейного уравнения с двумя переменными и системы двух линейных уравнений.
- Умеют строить график уравнения вида $y=kx+b$ и находить координаты точки пересечения графиков.
- Умеют решать системы способом подстановки и способом сложения.
- Умеют составлять систему по условию задачи на движение, смесь или сплав.
- Умеют выполнять проверку найденной пары чисел и интерпретировать ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный уровень освоения способов решения систем.
- Проявляют интерес к исследованию зависимости результата от выбранного способа.
- Формируют ответственное отношение к самостоятельной работе и взаимопроверке.
- Связывают математическое моделирование с задачами инженерии, экономики и транспорта.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель повторения и планируют последовательность действий.
- Выбирают способ решения с учётом коэффициентов системы.
- Проверяют вычисления подстановкой найденных значений в оба уравнения.
- Оценивают результат по критериям и корректируют ошибочные шаги.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные данные и неизвестные величины в условии задачи.
- Преобразуют уравнение с двумя переменными к виду, удобному для построения графика.
- Сравнивают способы подстановки и сложения по количеству действий.
- Строят математическую модель, используют таблицу значений и цифровой график.
- Исследуют случаи единственного решения, отсутствия решения и бесконечного множества решений.
Коммуникативные УУД
- Распределяют действия в паре: один решает, другой контролирует алгоритм.
- Задают уточняющие вопросы по условию и способу решения.
- Аргументируют выбор метода и корректно сравнивают решения одноклассников.
- Формулируют общий вывод по итогам обсуждения.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию с определениями, алгоритмами трёх способов и графиками двух прямых.
- Вывести на интерактивную доску координатную плоскость и заготовку таблицы сравнения способов.
- Распечатать карточки трёх уровней: базовые системы, системы с параметрами коэффициентов и текстовые задачи — по одной на каждого ученика.
- Подготовить карточки для парной работы с системой $\begin{cases}2x+y=7\x-y=2\end{cases}$ и задачей на движение.
- Подготовить лист самооценки и билет на выход по одному экземпляру на каждого ученика.
- Подготовить маркеры, стикеры и листы А4 для моделирования условия задачи.
- Проверить работу интерактивной доски или графического онлайн-сервиса; заранее открыть координатную плоскость.
- Записать на доске тему, цель урока и памятку: «подстановка — выразить; сложение — исключить; график — пересечь».
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в работу и показать практическую значимость выбора способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс: "Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто решать системы, а исследовать, какой способ оказывается наиболее удобным в разных ситуациях. Проверьте, что у вас есть тетрадь, ручка и карточка для работы в паре." | Проверяют готовность, записывают дату и тему урока. |
2 мин | Учитель показывает на экране три записи: график двух прямых, систему с легко выражаемой переменной и систему с противоположными коэффициентами. "Предположите, почему для этих примеров могут понадобиться разные способы? Где решение можно увидеть, а где его удобнее вычислить?" | Рассматривают записи, предполагают: "В первом случае удобно построить график, во втором — подставить, в третьем — сложить уравнения". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что один и тот же математический объект можно исследовать графически и алгебраически. Сначала восстановим опорные понятия, а затем проверим их в практических заданиях."
Этап 2. Актуализация знаний и исследовательская разминка (6 мин)
Цель этапа: актуализировать определения, графический смысл системы и алгоритмы решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём "Подумай — обсуди в паре — поделись": "Вспомните, что называется решением уравнения с двумя переменными и что означает решить систему. Сначала запишите ответ самостоятельно, затем сравните формулировки с соседом." | Записывают определения, обсуждают их в парах и формулируют: "Решение системы — пара чисел, являющаяся решением каждого уравнения". |
2 мин | Учитель показывает систему $\begin{cases}y=2x-1\y=-x+5\end{cases}$ и спрашивает: "Что означает точка пересечения графиков? Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений?" | Отвечают: "Координаты точки пересечения дают решение"; называют случаи одного решения, отсутствия решений и бесконечного множества решений. |
2 мин | Учитель раздаёт мини-карточки с тремя системами и просит определить рациональный способ без решения. "Объясните выбор одним предложением." | Выбирают способ: графический для простых функций, подстановку при коэффициенте $1$ или $-1$, сложение при противоположных коэффициентах. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы восстановили смысл решения и увидели признаки удобного способа. Теперь проверим, как эти признаки работают при полном решении системы."
Этап 3. Постановка проблемы и планирование деятельности (4 мин)
Цель этапа: сформулировать критерии выбора способа и план работы на уроке.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает систему $\begin{cases}3x+2y=12\\3x-2y=4\end{cases}$. "Какой способ позволит быстро получить значение одной переменной? А если в системе $\begin{cases}y=4x-3\\2x+y=9\end{cases}$?" | Определяют: в первой системе удобен способ сложения, во второй — подстановка. |
2 мин | Учитель организует "Снежный ком": "Сформулируйте общий план: выбрать способ, выполнить преобразования, найти вторую переменную, проверить пару, записать ответ. Добавьте, что нужно делать в текстовой задаче." | Сначала составляют план индивидуально, затем объединяют его в парах и предлагают классу: в текстовой задаче также обозначить неизвестные и указать смысл ответа. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Наш план готов: понять модель, выбрать способ, решить, проверить и объяснить ответ. Переходим к совместному исследованию алгоритмов."
Этап 4. Обобщение способов решения с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: систематизировать алгоритмы и связать алгебраическое решение с графической моделью.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель демонстрирует на интерактивной доске систему $\begin{cases}y=2x-1\y=-x+5\end{cases}$. "Построим две прямые по двум точкам. Первая прямая проходит через точки $(0;-1)$ и $(1;1)$, вторая — через $(0;5)$ и $(1;4)$. Посмотрите на график и назовите координаты пересечения." | Заполняют таблицу значений, называют точку пересечения $(2;3)$ и записывают графический ответ. |
3 мин | Учитель разбирает способ подстановки: "Из второго уравнения выразим $y=4-2x$ и подставим в первое: $3x+2(4-2x)=12$. Получаем $-x=4$, $x=-4$, затем $y=12$. Обязательно проверяем пару." | Записывают алгоритм, выполняют преобразования и проверяют пару $(-4;12)$ в обоих уравнениях. |
2 мин | Учитель показывает систему $\begin{cases}3x+2y=12\\3x-2y=4\end{cases}$. "Сложим уравнения почленно. Почему переменная $y$ исчезает?" | Складывают уравнения, получают $6x=16$, $x=\frac{8}{3}$, находят $y=0$, формулируют: "Противоположные слагаемые взаимно уничтожаются". |
Запись в тетрадях
- Графический способ: построить графики, определить координаты точки пересечения.
- Способ подстановки: выразить одну переменную, подставить, решить уравнение, найти вторую переменную, выполнить проверку.
- Способ сложения: умножить уравнения при необходимости, сложить или вычесть их, найти вторую переменную и проверить ответ.
- Выбор способа определяется структурой коэффициентов, а не случайным предпочтением.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Теория связана с графиком и конкретными преобразованиями. Сейчас вы примените её в паре и объясните не только ответ, но и выбор алгоритма."
Этап 5. Парный практикум с дифференциацией (8 мин)
Цель этапа: закрепить решение систем подстановкой и сложением на заданиях разной сложности.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней: "Выберите уровень самостоятельно. В паре один ученик выполняет преобразования, второй сверяет каждый шаг с памяткой; затем поменяйтесь ролями." | Выбирают карточку и распределяют роли. |
4 мин | Учитель предлагает базовую систему $\begin{cases}y=x+2\\3x+y=10\end{cases}$, базовую систему на сложение $\begin{cases}2x+3y=13\\2x-3y=1\end{cases}$ и повышенную систему $\begin{cases}0,5x+y=4\\2x-y=5\end{cases}$. "Запишите способ над решением и подготовьте объяснение." | Решают системы в парах, записывают способ, сверяют вычисления, готовят устное объяснение. |
3 мин | Учитель организует взаимопроверку: "Обменяйтесь тетрадями с соседней парой. Найдите место, где выполнено выражение переменной, подстановка или сложение, и поставьте знак согласия либо вопрос." | Проверяют решения по алгоритму, отмечают ошибки и дают формативную обратную связь: "Две сильные стороны и одно пожелание". |
Эталон решения
Для системы $\begin{cases}y=x+2\\3x+y=10\end{cases}$: $3x+x+2=10$, $4x=8$, $x=2$, $y=4$. Ответ: $(2;4)$. Для системы $\begin{cases}2x+3y=13\\2x-3y=1\end{cases}$ складываем уравнения: $4x=14$, $x=\frac{7}{2}$; подставляем: $7+3y=13$, $y=2$. Ответ: $(\frac{7}{2};2)$. Для проверки подставляем найденную пару в оба исходных уравнения.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы решили системы и увидели, что правильный выбор способа сокращает число действий. Теперь каждый самостоятельно покажет, насколько уверенно владеет алгоритмом."
Этап 6. Самостоятельная работа и моделирование текстовой задачи (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение способами и применить систему как математическую модель реальной ситуации.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт индивидуальные варианты: "Решите систему удобным способом и подпишите его. Затем выполните проверку. Вариант А: $\begin{cases}x-y=1\\2x+y=8\end{cases}$. Вариант Б: $\begin{cases}3x+2y=16\\3x-2y=4\end{cases}$." | Самостоятельно решают систему, записывают способ, выполняют проверку. |
3 мин | Учитель предлагает задачу на движение: "Из двух пунктов одновременно навстречу друг другу выехали велосипедист и мотоциклист. Скорость мотоциклиста на $20$ км/ч больше скорости велосипедиста. Расстояние между пунктами $120$ км, и они встретились через $2$ часа. Составьте систему и найдите скорости." | Обозначают скорость велосипедиста через $x$, мотоциклиста через $y$; составляют $\begin{cases}y-x=20\\2x+2y=120\end{cases}$, решают систему и получают $x=20$, $y=40$ км/ч. |
2 мин | Учитель выводит на экран критерии: правильная модель — 2 балла, выбор способа — 1 балл, вычисления — 2 балла, проверка и ответ — 1 балл. "Проверьте себя до сдачи работы." | Сверяют решение с критериями, исправляют вычислительные ошибки, сдают работу или фотографируют результат для проверки. |
Эталон решения
Пусть $x$ — скорость велосипедиста, $y$ — скорость мотоциклиста. Тогда $y-x=20$. За $2$ часа они вместе преодолели $120$ км, поэтому $2x+2y=120$, или $x+y=60$. Складываем систему: $\begin{cases}y-x=20\x+y=60\end{cases}$. Получаем $2y=80$, $y=40$, $x=20$. Ответ: скорость велосипедиста $20$ км/ч, мотоциклиста $40$ км/ч.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, умеете ли вы переходить от алгоритма к модели. На следующем шаге обобщим, как аналогично строятся задачи на смеси и сплавы, и зафиксируем личный результат."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (6 мин)
Цель этапа: осознать результаты обучения, выявить затруднения и определить индивидуальный маршрут закрепления.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель проводит рефлексию "Светофор": "Покажите зелёный стикер, если уверенно выбираете способ, жёлтый — если иногда ошибаетесь, красный — если требуется помощь. На обороте допишите конкретное затруднение." | Выбирают цвет, записывают затруднение: «не знаю, когда умножать уравнение», «ошибаюсь при переносе», «трудно составить модель». |
2 мин | Учитель предлагает билет на выход: "Запишите: 1) какой способ сегодня был наиболее удобен лично для вас; 2) пару чисел, являющуюся решением системы $\begin{cases}x+y=7\x-y=1\end{cases}$; 3) один вопрос, который нужно разобрать ещё раз." | Пишут ответы: способ зависит от коэффициентов; решение $(4;3)$; формулируют личный вопрос. |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и критерии: "Выберите уровень, но обязательный минимум выполняют все. Следите за записью модели, способом решения и проверкой." | Записывают выбранный уровень домашнего задания и контрольные вопросы. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Сегодня вы повторили графический способ, подстановку и сложение, а затем использовали систему для описания движения. Ваш следующий шаг — закрепить выбор метода и научиться уверенно решать задачи на смеси, сплавы и совместную работу."
Критерии оценивания практической работы
- «5» — правильно решены обе системы и текстовая задача, способ решения выбран обоснованно, выполнена проверка и дан содержательный ответ с единицами измерения.
- «4» — правильно решены две системы, но допущена одна вычислительная или оформительская ошибка, не повлиявшая на общий ход решения.
- «3» — верно выполнена одна система и составлена математическая модель текстовой задачи, но решение требует исправления или отсутствует полная проверка.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Как определить, какой способ решения системы выбрать? | Выявление понимания критериев выбора алгоритма. |
На каком шаге решения системы вы чаще всего ошибаетесь? | Выявление точек затруднения и планирование коррекции. |
Что означает точка пересечения графиков двух уравнений? | Проверка связи графической и алгебраической моделей. |
Как система помогла решить задачу о движении? | Осознание роли математического моделирования. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы объединили три способа решения систем и увидели, что выбор метода зависит от вида коэффициентов. Особенно важно не терять смысл переменных в текстовой задаче и обязательно проверять пару чисел в обоих уравнениях. Если появились ошибки, это не повод отказываться от решения, а сигнал вернуться к конкретному шагу алгоритма. На следующем уроке мы продолжим работу с задачами на смеси, сплавы и движение и сравним разные математические модели."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 системы: две способом подстановки и две способом сложения; для каждой выполнить проверку и указать выбранный способ. | Закрепляет алгоритмы и контроль вычислений; при проверке обратить внимание на преобразование уравнений и запись ответа. |
Средний (повышающий) | Решить 2 системы графически и алгебраически, сравнить полученные ответы; составить и решить 2 задачи — одну на движение, одну на смесь. | Формирует связь между графической и алгебраической моделями; проверять смысл переменных и единицы измерения. |
Продвинутый (дополнительный) | Исследовать три системы с одинаковыми или пропорциональными коэффициентами и объяснить, почему система имеет одно решение, не имеет решений или имеет бесконечно много решений. | Развивает исследовательское мышление; при проверке оценить аргументацию через графики и преобразования. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Что называется решением системы? Когда удобнее применять подстановку? Как распознать удобство способа сложения? Что означает точка пересечения графиков? Зачем выполнять проверку результата в текстовой задаче?»
