Квадратное уравнение. Неполные квадратные уравнения
Цели и задачи
- Цель: к концу урока учащиеся смогут распознавать квадратные и неполные квадратные уравнения, определять их вид и решать уравнения $ax^2+bx=0$, $ax^2+c=0$ и $ax^2=0$ с проверкой полученных корней.
- Образовательная задача: сформулировать определение квадратного уравнения и выделить его коэффициенты, учитывая, что $a\ne0$.
- Образовательная задача: установить признаки неполных квадратных уравнений и освоить способы их решения.
- Развивающая задача: анализировать запись уравнения, выбирать подходящий способ решения и обосновывать выбор.
- Воспитательная задача: соблюдать правила учебной игры, уважительно обсуждать решения одноклассников и принимать аргументированную обратную связь.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску разных способов решения алгебраических задач.
- Осознают ценность точной записи и проверки результата.
- Проявляют готовность отвечать за выбранный способ решения.
- Уважительно относятся к отличающимся ответам и аргументам одноклассников.
Метапредметные
- Извлекают из записи уравнения сведения о коэффициентах и отсутствующих членах.
- Сравнивают уравнения и классифицируют их по структуре.
- Планируют решение, проверяют вычисления подстановкой и корректируют ошибочные шаги.
- Формулируют выводы и приводят математические аргументы в обсуждении.
Предметные
- Знают определение квадратного уравнения и условие $a\ne0$ в записи $ax^2+bx+c=0$.
- Умеют находить коэффициенты $a$, $b$, $c$, включая нулевые коэффициенты.
- Различают полное и неполное квадратные уравнения по наличию членов с $x$ и свободного члена.
- Решают уравнения видов $ax^2+bx=0$, $ax^2+c=0$ и $ax^2=0$.
- Проверяют найденные корни подстановкой и записывают ответ с учётом числа корней.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель участия в учебной игре и соотносят её с результатом.
- Осознают, какие знания о квадратных уравнениях уже освоены, а какие требуют тренировки.
- Сохраняют учебную мотивацию при обнаружении ошибки и используют её для исправления.
- Проявляют уважение к участникам обсуждения и их способам рассуждения.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе проблемного вопроса и обнаруженного затруднения.
- Планируют последовательность решения уравнения выбранного вида.
- Сверяют промежуточные преобразования с критериями точности и полноты.
- Проверяют корни подстановкой и исправляют выявленные ошибки.
- Оценивают собственный результат по чек-листу.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки квадратного уравнения в его стандартной записи.
- Классифицируют уравнения по отсутствующим членам и устанавливают связь между видом и способом решения.
- Применяют разложение на множители и извлечение квадратного корня в подходящих случаях.
- Моделируют решение краткой схемой: определить вид, выбрать способ, решить, проверить.
- Сопоставляют решения одноклассников и находят возможную ошибку в рассуждении.
Коммуникативные УУД
- Ведут математический диалог в формате «Аквариум», соблюдая очередность высказываний.
- Объясняют выбор способа решения, используя термины «коэффициент», «корень», «неполное уравнение».
- Задают уточняющие вопросы и отвечают на возражения по существу.
- Дают одноклассникам корректную обратную связь по заранее названным критериям.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить карточки для командной игры: 6 карточек с уравнениями для классификации и 3 карточки с неполными уравнениями для решения; комплект на каждую группу из 4 человек.
- Распечатать индивидуальную карточку самостоятельной работы с тремя заданиями и листом самопроверки — по одному экземпляру на ученика.
- Подготовить карточки ролей для «Аквариума»: «объясняющий», «проверяющий», «задающий вопрос», «наблюдатель» — по одному комплекту на группу.
- Расставить стулья внутреннего круга для 4–5 участников и внешний круг для наблюдателей; оставить проход к доске.
- Подготовить таймер и проектор либо интерактивную доску для показа уравнений и критериев игры.
- До начала урока записать на доске тему, проблемный вопрос «Как быстро понять, каким способом решать квадратное уравнение?» и схему проверки корня подстановкой.
- Подготовить три карточки-сигнала для каждого ученика: зелёную, жёлтую и красную для быстрой самооценки понимания.
- Разместить на доске напоминание: стандартный вид $ax^2+bx+c=0$, $a\ne0$; при разборе не выдавать способы решения до выдвижения гипотез учащимися.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и игровая мотивация (3 мин)
Цель этапа: организовать класс и включить учащихся в игровую ситуацию, связанную с поиском способов решения уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы проведём математическую игру, где важны не скорость сама по себе, а точность рассуждения и умение объяснить выбор. Проверьте, что у вас есть тетрадь и ручка. На доске записан вопрос: “Как быстро понять, каким способом решать квадратное уравнение?” Пока не отвечайте окончательно — к нему мы вернёмся в конце урока». Учитель проверяет готовность класса и показывает вопрос на доске. | Готовят тетради и ручки, читают проблемный вопрос, называют предварительные предположения: «Нужно посмотреть на вид уравнения», «Нужно узнать формулу решения». |
2 мин | «Игра называется “Математический аквариум”. Внутри круга группа решает задачу и проговаривает ход мысли, внешний круг наблюдает по критериям: верно ли определён вид, обоснован ли способ, проверен ли ответ. В каждой следующей игре роли можно сменить. Договоримся: критикуем решение, а не человека; вопрос задаём после завершения объяснения». Учитель кратко показывает расположение внутреннего и внешнего кругов. | Рассаживаются в подготовленные круги, слушают правила, выбирают роль для первого раунда и повторяют два правила обсуждения: «Сначала выслушать», «Обсуждать математические шаги». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Правила игры понятны, и у каждого будет возможность объяснить собственную идею. Сначала проверим, какие знания об уравнениях помогут нам обнаружить новый способ решения».
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать понятия уравнения, корня и равносильных преобразований, чтобы учащиеся заметили, каких сведений не хватает для классификации новых уравнений.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Начнём с короткой разминки. Что называют корнем уравнения? Как проверить, является ли число корнем? Если к обеим частям равенства прибавить одно и то же число, изменятся ли корни?» Учитель выслушивает ответы и записывает на доске опорные слова: «корень», «подстановка», «равносильность». | Отвечают: «Корень — значение переменной, при котором равенство верно»; «Нужно подставить число вместо переменной»; приводят пример равносильного преобразования. |
4 мин | Учитель показывает выражения $3x^2-5x+2=0$, $x^2-9=0$, $4x^2+7x=0$ и $6x+1=0$. «Подумайте 30 секунд самостоятельно, затем обсудите в паре одну минуту: какие из записей содержат квадрат переменной? Какие коэффициенты можно считать равными нулю? Пока не нужно решать уравнения — сначала классифицируем». Учитель фиксирует на доске ответы и спрашивает: «Что смущает в записи $x^2-9=0$: уравнение квадратное или нет?» | Индивидуально отмечают записи с $x^2$, затем в парах сравнивают ответы. Формулируют: «Первые три содержат $x^2$»; «В $x^2-9=0$ нет члена с $x$»; «В $4x^2+7x=0$ нет свободного члена». Отмечают, что пока не знают, как назвать эти случаи и решить их наиболее коротко. |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что некоторые уравнения отличаются отсутствием одного из членов, но пока не сформулировали точное правило. Давайте обозначим затруднение и поставим цель: какое знание поможет выбрать способ решения?»
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (5 мин)
Цель этапа: подвести учащихся к самостоятельной формулировке определения квадратного уравнения и способов решения его неполных видов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Представьте, что вы проверяете решения одноклассников. Какой информации не хватает, чтобы уверенно сказать, относится ли уравнение к квадратным? Что именно нужно сравнить в записях?» Учитель задаёт вопросы по очереди: «Какая степень переменной главная? Какие члены могут отсутствовать? Обязательно ли коэффициент при $x^2$ должен быть ненулевым?» | Предлагают: «Нужно смотреть на наибольшую степень переменной»; «Нужно проверить, есть ли $x^2$»; приходят к выводу, что коэффициент при $x^2$ не может равняться нулю. |
3 мин | Учитель организует приём «Снежный ком»: «Сначала сформулируйте цель каждый для себя, затем согласуйте её в паре, после этого парами соберём общий план». На доске записывает предложенные шаги и уточняет: «Как мы поймём, что достигли цели?» | Формулируют цель: «Научиться распознавать и решать неполные квадратные уравнения». Составляют план: записать определение, найти отсутствующие коэффициенты, выбрать способ, проверить корни. Называют критерий результата: «Сможем объяснить способ и проверить ответ». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Цель и план сформулированы вами: определить вид уравнения, решить и проверить. Теперь проверим наши гипотезы на примерах и выведем способы самостоятельно».
Этап 4. Открытие нового знания: «Математический аквариум» (10 мин)
Цель этапа: вывести определение квадратного уравнения и способы решения трёх видов неполных квадратных уравнений в совместном обсуждении.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Посмотрите на доску: общий вид уравнения $ax^2+bx+c=0$. Предложите, какие условия должны выполняться для коэффициентов. Почему $a$ не может быть нулём?» Учитель выслушивает ответы и записывает определение: «Квадратным называют уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$». Затем уточняет: «Если $b=0$ или $c=0$, что произойдёт с записью?» | Называют условие $a\ne0$, объясняют: «Если $a=0$, исчезнет член с $x^2$, и уравнение станет линейным». Записывают определение и замечают, что при нулевом коэффициенте соответствующий член пропадает. |
4 мин | Учитель приглашает во внутренний круг группу из четырёх учеников и выдаёт карточку: «Решите $3x^2-12=0$. Проговорите каждый шаг и объясните, почему допустимо делить на 3. Внешний круг проверьте: указано ли ограничение и получены ли оба корня». После обсуждения учитель задаёт вопрос: «Как изменится уравнение, если свободный член отсутствует?» | Внутренняя группа решает: делит обе части на 3, получает $x^2=4$, затем $x=2$ или $x=-2$. Объясняют, что квадрат числа 4 имеют два числа. Наблюдатели отмечают, что уравнение имеет вид $ax^2+c=0$ и при положительном значении $-c/a$ получаются два корня. |
4 мин | Учитель показывает карточку $2x^2+6x=0$ и просит следующую группу войти во внутренний круг: «Найдите общий множитель, разложите левую часть на множители и объясните, почему произведение равно нулю». После ответа учитель предлагает третью запись $5x^2=0$ и спрашивает: «Сколько корней здесь? Как проверить?» | Участники «Аквариума» записывают $2x(x+3)=0$, откуда $x=0$ или $x=-3$. Для $5x^2=0$ делят на 5 и получают $x=0$. Внешний круг формулирует правило: «Если отсутствует свободный член, выносим $x$ за скобки; если отсутствует член с $x$, выражаем $x^2$ и извлекаем квадратный корень». |
Запись в тетрадях
- Квадратное уравнение: $ax^2+bx+c=0$, где $a\ne0$.
- Если $c=0$, имеем $ax^2+bx=0$: выносим $x$ за скобки и используем свойство произведения, равного нулю.
- Если $b=0$, имеем $ax^2+c=0$: выражаем $x^2=-c/a$; при положительном значении правой части получаем два противоположных корня, при нулевом — один корень $0$, при отрицательном — действительных корней нет.
- Если $b=0$ и $c=0$, имеем $ax^2=0$, откуда $x=0$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вывели определение и связали строение уравнения со способом решения. Теперь каждый применит эти правила и проверит, умеет ли без подсказки определить вид уравнения».
Этап 5. Первичное закрепление в игре (7 мин)
Цель этапа: закрепить распознавание видов неполных квадратных уравнений и выбор соответствующего способа решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Продолжаем игру “Аквариум”. Внутренняя группа получает карточку, обсуждает решение три минуты; внешняя группа не подсказывает, а фиксирует один сильный шаг и один уточняющий вопрос. Затем коротко оценим рассуждение по трём критериям: вид уравнения, обоснование способа, проверка». Учитель раздаёт карточку $x^2-16=0$. | Распределяют роли и читают условия игры; наблюдатели записывают критерии проверки. |
4 мин | «Решите уравнение $x^2-16=0$. Сначала назовите коэффициенты и пропущенный член, затем выберите способ. Не ограничивайтесь записью ответа: объясните, почему квадратный корень даёт два значения». Учитель наблюдает за обсуждением и задаёт внутренней группе уточняющий вопрос: «Как подстановкой убедиться, что оба числа подходят?» | Внутренняя группа определяет $a=1$, $b=0$, $c=-16$, получает $x^2=16$ и корни $x=4$ и $x=-4$. Проверяют: $4^2-16=0$, $(-4)^2-16=0$. Наблюдатели готовят комментарии. |
2 мин | «Внешний круг, сначала назовите сильную сторону решения, затем задайте один вопрос. После этого выберите: зелёный сигнал — способ понятен, жёлтый — нужна ещё практика, красный — пока затрудняюсь». Учитель фиксирует частые затруднения, не оценивая скорость ответа. | Дают обратную связь: «Верно нашли оба корня»; спрашивают: «Почему нельзя оставить только положительный корень?» Поднимают карточки выбранного цвета. |
Эталон решения
$x^2-16=0$ — неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$, так как $b=0$. Переносим свободный член: $x^2=16$. Следовательно, $x=4$ или $x=-4$. Проверка: $4^2-16=0$ и $(-4)^2-16=0$. Ответ: $-4; 4$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Вы показали, что способ определяется видом уравнения, а не только привычной формулой. Проверим теперь индивидуально, как вы применяете алгоритм без помощи команды».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное умение классифицировать и решать неполные квадратные уравнения с последующей самопроверкой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | «Возьмите индивидуальную карточку. В ней три задания: определить вид уравнения, решить уравнения $4x^2-36=0$ и $x^2-5x=0$. Для каждого решения подпишите выбранный способ, а в конце проверьте корни подстановкой. Работайте самостоятельно; если закончили раньше, сравните число найденных корней с видом уравнения». Учитель напоминает, что оценивается ход решения, а не только ответ. | Получают карточки, читают задания и готовят место для записи решения и проверки. |
5 мин | Учитель запускает таймер и говорит: «Сначала выполните классификацию, затем решайте. Для первого уравнения подумайте, какое значение имеет $-c/a$; для второго — какой общий множитель можно вынести. Эти вопросы можно использовать как подсказки, но решение запишите самостоятельно». Учитель наблюдает за работой, отмечает типичные затруднения. | Решают индивидуально: для $4x^2-36=0$ получают $x=3$ и $x=-3$; для $x^2-5x=0$ выносят $x$ за скобки и находят $x=0$ или $x=5$. Записывают проверку подстановкой. |
3 мин | Учитель открывает на доске эталон: «Сверьте каждую строку, а не только ответ. Поставьте отметку напротив верно выполненного шага. Если заметили расхождение, исправьте его другим цветом и подпишите причину». Учитель проговаривает ключевые ответы и предлагает обозначить уверенность сигналом. | Сверяют работу: $4x^2-36=0\Rightarrow x^2=9\Rightarrow x=\pm3$; $x^2-5x=0\Rightarrow x(x-5)=0\Rightarrow x=0$ или $x=5$. Исправляют ошибки другим цветом и поднимают сигнал понимания. |
Эталон решения
$4x^2-36=0$: делим на 4, получаем $x^2=9$, поэтому $x=3$ или $x=-3$. Проверка: $4\cdot9-36=0$ для обоих корней. Ответ: $-3; 3$.
$x^2-5x=0$: выносим $x$ за скобки, получаем $x(x-5)=0$. Тогда $x=0$ или $x-5=0$, откуда $x=5$. Проверка подстановкой подтверждает оба корня. Ответ: $0; 5$.
$x^2-5x=0$: выносим $x$ за скобки, получаем $x(x-5)=0$. Тогда $x=0$ или $x-5=0$, откуда $x=5$. Проверка подстановкой подтверждает оба корня. Ответ: $0; 5$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, что важно не пропустить один из корней и обязательно проверить ответ. Теперь обобщим алгоритм и ответим на вопрос, с которого началась игра».
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить способы решения, оценить достижение цели урока и зафиксировать домашнее задание с учётом уровня подготовки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | «Вернёмся к вопросу на доске: как быстро понять, каким способом решать квадратное уравнение? Завершите фразу: “Если отсутствует свободный член, то…”; “Если отсутствует член с $x$, то…”; “Если остаётся только $ax^2=0$, то…”». Учитель просит привести по одному примеру и напоминает: уравнение сначала приводят к стандартному виду. | Формулируют алгоритм: «Если $c=0$, выносим $x$ за скобки»; «Если $b=0$, выражаем $x^2$ и извлекаем корень»; «Из $ax^2=0$ следует $x=0$». Приводят примеры и отмечают, что сначала нужно проверить стандартный вид. |
1 мин | Учитель проводит рефлексию «Одноминутка»: «Запишите одно правило, которое сегодня стало понятнее, и один вопрос, который ещё хочется разобрать. Затем отметьте в листе самооценки: я умею определить вид; выбрать способ; проверить корни». | Записывают короткий вывод и вопрос, отмечают пункты самооценки, при необходимости указывают тему затруднения. |
2 мин | «Домашнее задание выберите по уровню: обязательный вариант выполняют все, повышающий или дополнительный можно добавить по желанию. Запишите описание задания и цель: тренируем не угадывание ответа, а объяснение способа. Перед выходом ответьте устно: чем отличаются уравнения $ax^2+bx=0$ и $ax^2+c=0$?» Учитель принимает несколько ответов и собирает листы рефлексии. | Записывают выбранный вариант домашнего задания. Отвечают: «В первом отсутствует свободный член и удобно вынести $x$; во втором отсутствует член с $x$ и можно выразить $x^2$». Сдают листы самооценки. |
