Уравнение $x^2=a$: число корней и способы решения
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока ученики смогут решать уравнение $x^2=a$ при положительном, нулевом и отрицательном значении $a$, определять число корней и проверять найденные корни подстановкой, набрав не менее 3 баллов из 4 по листу самооценки.
- Образовательная задача: установить зависимость числа действительных корней уравнения $x^2=a$ от значения $a$ и сформулировать алгоритм решения.
- Развивающая задача: развивать умение выдвигать гипотезы, проверять их на примерах и объяснять ход рассуждений математически точно.
- Развивающая задача: формировать навыки самоконтроля и взаимооценивания по заранее объявленным критериям.
- Воспитательная задача: поддерживать ответственное отношение к собственной работе и уважительное обсуждение разных способов рассуждения.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют интерес к поиску зависимости между значением правой части и решениями уравнения $x^2=a$.
- Осознают ценность точной проверки результата, а не только получения ответа.
- Принимают ответственность за выбранный уровень задания и качество его выполнения.
- Уважительно относятся к аргументам одноклассников при обсуждении числа корней.
- Оценивают собственное продвижение без сравнения себя с другими учениками.
Метапредметные
- Формулируют учебную проблему и планируют последовательность её решения.
- Сравнивают примеры уравнений с положительной, нулевой и отрицательной правой частью.
- Извлекают закономерность из вычислений и записывают её в виде общего правила.
- Аргументируют вывод, используя вычисления, примеры и математические обозначения.
- Проверяют решение по критериям, выявляют и исправляют ошибки.
Предметные
- Знают, что квадрат любого действительного числа неотрицателен.
- Понимают, что уравнение $x^2=a$ при $a>0$ имеет два противоположных корня, при $a=0$ — один корень, а при $a<0$ действительных корней не имеет.
- Умеют решать уравнения вида $x^2=a$ с целым положительным значением $a$, являющимся квадратом целого числа.
- Умеют решать уравнение $x^2=0$ и объяснять отсутствие действительных корней уравнения $x^2=a$ при $a<0$.
- Проверяют найденные значения подстановкой в исходное уравнение и корректно записывают ответ.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную цель в изучении нового способа решения квадратного уравнения простейшего вида.
- Соотносят успешность работы с понятными критериями, а не с оценкой одноклассников.
- Проявляют готовность исправлять ошибку после проверки.
- Выбирают уровень дополнительного задания с учётом уверенности в освоении алгоритма.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе выявленного затруднения.
- Составляют план решения: определить знак правой части, найти возможные корни, проверить их.
- Сверяют промежуточные результаты с эталоном и отмечают выполненные критерии.
- Находят ошибку в записи числа корней и корректируют решение.
- Оценивают, какой шаг алгоритма требует дополнительной тренировки.
Познавательные УУД
- Актуализируют знание о квадрате числа и устанавливают его неотрицательность.
- Сравнивают случаи $a>0$, $a=0$ и $a<0$ по числу действительных решений.
- Строят обобщение на основе проверки конкретных уравнений.
- Моделируют правило в таблице «значение $a$ — число корней — решение».
- Используют подстановку как способ проверки математического утверждения.
Коммуникативные УУД
- Обсуждают гипотезу в паре, соблюдая регламент и выслушивая партнёра.
- Формулируют вопрос, если не согласны с выводом, и подкрепляют позицию примером.
- Объясняют однокласснику, почему при положительном $a$ корней два.
- Проводят взаимооценивание по критериям и дают корректный совет по улучшению записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или запись на доске с тремя уравнениями: $x^2=25$, $x^2=0$, $x^2=-9$; ответы заранее не показывать.
- Распечатать каждому ученику карточку для самостоятельной работы с тремя заданиями разного уровня и отдельным полем для самопроверки.
- Распечатать по одному листу самооценки на ученика с четырьмя критериями: выбор случая, нахождение корней, проверка, запись ответа.
- Подготовить по одной карточке с критериями взаимооценивания на пару: «верно определён случай», «указано число корней», «решение проверено», «ответ записан».
- Подготовить красные, жёлтые и зелёные карточки или условные обозначения для быстрой обратной связи.
- Вывести на доску пустую таблицу с колонками «Условие о $a$», «Число действительных корней», «Как записать решение».
- Подготовить маркеры трёх цветов для выделения положительного, нулевого и отрицательного значения правой части.
- Обеспечить доступ к доске или проектору; при их отсутствии заранее записать задания и эталон на откидной части доски, закрыв эталон.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учеников в работу и вызвать интерес к вопросу о том, сколько решений может иметь уравнение с квадратом неизвестного.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, что на парте есть тетрадь и ручка. Сегодня вы будете не только применять готовое правило, но и сами установите его на примерах. Смотрите на доску: я записал три уравнения — $x^2=25$, $x^2=0$ и $x^2=-9$. Пока не решайте их полностью; попробуйте заметить, чем эти случаи могут различаться." | Готовят тетради и ручки, читают уравнения на доске, отмечают, что справа стоят положительное число, ноль и отрицательное число. |
2 мин | "Предлагаю короткий прогноз: какое из уравнений, по-вашему, имеет два решения, одно решение или не имеет действительных решений? Можно выбрать любой вариант, но будьте готовы объяснить свою догадку. Здесь важен не быстрый ответ, а основание для него. Поднимите руку те, кто готов предложить гипотезу." | Высказывают предварительные предположения: «у первого два корня», «у второго один», «третье решить нельзя»; пока не объявляют ответы окончательными. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы заметили, что уравнения различаются знаком числа справа, но пока не доказали, как это влияет на решение. Сейчас проверим, какие знания помогут нам обосновать ответ."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: вспомнить свойства квадрата числа и обнаружить, что одного вычисления недостаточно для обоснования всех случаев.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | "Начнём с того, что уже умеем. Посмотрите на записи $3^2$, $(-3)^2$ и $0^2$. Чему равны эти выражения? Что общего у полученных результатов? Подумайте самостоятельно полминуты, затем обсудите ответ с соседом. Я запишу на доске ваши наблюдения, если они будут сформулированы точно." | Вычисляют: $3^2=9$, $(-3)^2=9$, $0^2=0$; в паре формулируют вывод: «квадрат числа неотрицателен» и «противоположные числа имеют одинаковый квадрат». |
3 мин | "Теперь вернёмся к уравнению $x^2=-9$. Можно ли подобрать действительное число, квадрат которого равен $-9$? Какое свойство мешает это сделать? А для $x^2=25$ какие два числа подходят? Объясните, почему ответ нельзя ограничить только числом 5. Зафиксируйте, что именно пока требует общего правила." | Отвечают: «действительного числа с квадратом $-9$ нет, потому что квадрат неотрицателен»; для $x^2=25$ называют $5$ и $-5$, проверяют: $5^2=25$, $(-5)^2=25$. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вспомнили важное свойство квадрата и увидели, что число решений меняется. Теперь сформулируем учебную проблему так, чтобы в конце урока суметь ответить на неё для любого знака правой части."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Цель этапа: сформулировать проблему урока и совместно определить план открытия правила решения уравнения $x^2=a$.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Сформулируйте вопрос, на который мы должны сегодня ответить. Что пока неизвестно: значение корня в отдельном примере или связь числа решений со значением $a$? Как проверить предположение, чтобы не опираться только на догадку? Давайте запишем проблемный вопрос: сколько действительных корней имеет уравнение $x^2=a$ при разных значениях $a$?" | Предлагают формулировки и записывают проблемный вопрос: «Как знак и значение $a$ влияют на число корней уравнения $x^2=a$?» |
2 мин | "Предложите план исследования. Сначала рассмотрим положительную правую часть, затем ноль, затем отрицательную. Для каждого случая найдём или обоснуем число корней, после этого составим общий алгоритм и проверим его на новых примерах. Согласны ли вы с таким планом? Как поймём, что цель достигнута?" | Соглашаются или уточняют порядок действий; формулируют критерий результата: «сможем определить число корней и проверить решение подстановкой». |
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Проблема и план исследования определены. Теперь проверим каждый случай и соберём наблюдения в общее математическое правило."
Этап 4. Открытие нового знания (11 мин)
Цель этапа: вывести правило о числе действительных корней уравнения $x^2=a$ и оформить алгоритм его решения.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Рассмотрим уравнение $x^2=25$. Какое число при возведении в квадрат даёт 25? А какое ещё число? Проверим оба значения подстановкой. Заметьте: числа противоположны, но квадраты у них одинаковы. Запишем обе проверки, чтобы не потерять один из корней: $5^2=25$ и $(-5)^2=25$. Как можно кратко описать решения?" | Находят числа 5 и $-5$, выполняют две проверки и записывают: «корни уравнения — 5 и $-5$»; формулируют, что при положительном квадрате есть два противоположных корня. |
3 мин | "Теперь рассмотрим $x^2=0$. Какое число при возведении в квадрат даст ноль? Может ли быть другое действительное число с тем же квадратом? Обоснуйте ответ. В таблице фиксируем отдельно число различных корней: здесь не нужно записывать одно и то же решение дважды." | Отвечают: «только ноль», проверяют $0^2=0$; записывают, что при $a=0$ имеется один корень $x=0$. |
4 мин | "Последний случай — $x^2=-9$. Мы установили, что квадрат действительного числа не бывает отрицательным. Следовательно, здесь невозможно подобрать действительный корень. Сравните три случая и помогите заполнить таблицу на доске. Какое правило получится? Проговорите его полным предложением, включая уточнение, что речь идёт о действительных корнях." | Сравнивают три случая, заполняют таблицу: при $a>0$ — два корня, при $a=0$ — один, при $a<0$ — действительных корней нет; формулируют правило своими словами. |
Запись в тетрадях
- Для уравнения $x^2=a$ при $a>0$ существуют два противоположных действительных корня: $x=\sqrt{a}$ и $x=-\sqrt{a}$.
- При $a=0$ уравнение имеет один корень $x=0$.
- При $a<0$ уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа неотрицателен.
- Алгоритм: определить знак $a$; установить число корней; при необходимости найти их; проверить подстановкой.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы вывели правило для всех трёх случаев и записали алгоритм. Теперь потренируемся применять его вслух, чтобы каждый шаг решения был понятен и проверяем."
Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием (7 мин)
Цель этапа: закрепить алгоритм решения и проверки уравнений $x^2=a$ на примерах разных типов.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | "Решим вместе уравнение $x^2=49$. Сначала определяем знак правой части. Какой это случай и сколько корней ожидаем? Затем называем корни и проверяем каждый. Не пропускайте ни один шаг: это поможет заметить типичную ошибку, когда записывают только положительный корень." | У доски и с мест проговаривают: «$49>0$, значит, два корня»; записывают $x=7$ и $x=-7$; проверяют $7^2=49$ и $(-7)^2=49$. |
3 мин | "Теперь выполните устно два коротких задания: $x^2=0$ и $x^2=-16$. Для каждого назовите знак правой части, число корней и объяснение. Сосед по парте проверяет не только ответ, но и обоснование. Если ответ различается, сначала укажите, какой факт о квадрате используете." | В парах проговаривают решения: для $x^2=0$ — $x=0$; для $x^2=-16$ — действительных корней нет, поскольку квадрат неотрицателен; партнёр уточняет обоснование. |
Эталон решения
Для $x^2=49$: $49>0$, поэтому уравнение имеет два противоположных корня; $x=7$ или $x=-7$. Проверка: $7^2=49$, $(-7)^2=49$. Ответ: $-7; 7$. Для $x^2=0$: единственное решение $x=0$, так как $0^2=0$. Для $x^2=-16$: решений в действительных числах нет, так как квадрат действительного числа неотрицателен.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Вы применили алгоритм и проверили все три случая. Теперь каждый выполнит короткую работу самостоятельно, а оценивать результат будем по критериям, которые известны заранее."
Этап 6. Самостоятельная работа и формирующее оценивание (9 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное освоение алгоритма, дать ученикам возможность оценить результат и скорректировать ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | "На карточке три обязательных задания: решить $x^2=36$, решить $x^2=0$, определить, имеет ли действительные корни уравнение $x^2=-4$. До начала прочитайте критерии: верно определить случай, указать все корни, выполнить проверку там, где корни есть, и записать ответ. За каждое выполненное условие поставьте отметку в листе самооценки. Работайте самостоятельно." | Получают карточки, читают задания и четыре критерия оценивания, уточняют порядок отметок в листе самооценки. |
5 мин | "Начинайте. Если закончили обязательную часть, выберите дополнительное задание: либо решить $x^2=64$ с полной проверкой, либо составить собственное уравнение вида $x^2=a$ без действительных корней и объяснить выбор $a$. Я не подсказываю ответ, но могу напомнить вопрос: какой знак имеет правая часть?" | Индивидуально решают три обязательных задания; при готовности выбирают одно дополнительное. В решении отмечают знак правой части, число корней и подстановку. |
3 мин | "Откройте на экране эталон: для $x^2=36$ корни $6$ и $-6$; для $x^2=0$ корень 0; для $x^2=-4$ действительных корней нет. Проверьте каждую строку цветной ручкой. Теперь заполните лист самооценки: отметьте, какие критерии выполнены, и рядом запишите один шаг, который потребовал наибольшего внимания. Поднимите зелёную карточку, если можете объяснить правило, жёлтую — если нужна тренировка, красную — если требуется помощь." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, отмечают критерии в листе самооценки и показывают карточку обратной связи. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, какие шаги уже выполняются уверенно, а какие нужно закрепить. Обсудим общий вывод и разберём, почему проверка особенно важна при записи двух корней."
Этап 7. Обобщение, рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить правило, осмыслить индивидуальный результат и сообщить дифференцированное домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | "Вернёмся к вопросу в начале урока. Сформулируйте правило одним предложением и назовите типичную ошибку. Почему нельзя при $a>0$ записать только положительный корень? Почему при $a<0$ недостаточно сказать «корень отрицательный»? Выберите один из трёх уровней домашней работы, ориентируясь на свой лист самооценки." | Формулируют правило; называют ошибку: «забыть отрицательный корень при положительном $a$»; объясняют, что отрицательное значение $a$ не может быть квадратом действительного числа; выбирают уровень домашнего задания. |
3 мин | "Перед выходом заполните билет: укажите число действительных корней уравнения $x^2=81$ и объясните почему; затем напишите, какой критерий самооценки у вас пока не отмечен. Сдайте билет у двери. По вашим ответам я определю, что повторить в начале следующего занятия." | Записывают: два корня, $9$ и $-9$, поскольку $81>0$; указывают оставшийся вопрос или пишут, что затруднений нет; сдают билет на выходе. |
Это последний этап урока.
Критерии оценивания практической работы
- "5" — верно решены все три обязательных задания, при положительном значении записаны оба корня, решение проверено подстановкой, отсутствие действительных корней при отрицательном значении обосновано.
- "4" — верно решены два задания из трёх; правило о числе корней применено правильно, допущена не более чем одна неточность в проверке или оформлении.
- "3" — верно решено хотя бы одно задание; ученик различает не менее двух случаев из трёх и может после подсказки исправить ошибку.
- Лист самооценки используется для обратной связи и планирования дальнейшей тренировки; отметка не выставляется только за цвет карточки или признание затруднения.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какое правило помогает определить число корней уравнения $x^2=a$? | Проверить понимание связи знака числа $a$ и числа действительных корней. |
В каком случае уравнение имеет два корня? Назови оба корня для примера $x^2=16$. | Проверить, что ученик учитывает два противоположных корня. |
Как ты объяснишь, почему уравнение $x^2=-4$ не имеет действительных корней? | Проверить понимание неотрицательности квадрата действительного числа. |
Какой пример или вопрос на уроке помог тебе лучше всего разобраться в теме? | Выяснить, какие элементы урока оказались наиболее полезными. |
Что ты хочешь потренировать ещё раз на следующем занятии? | Определить дальнейшую потребность в тренировке. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня вы самостоятельно установили, что число действительных корней уравнения $x^2=a$ зависит от значения правой части. Запомните главный ориентир: квадрат действительного числа неотрицателен, а при положительном значении получаются два противоположных корня. Типичная ошибка — записать только положительный корень и забыть проверить оба значения. Посмотрите дома на свой лист самооценки и выберите задания так, чтобы закрепить именно тот шаг, который пока требует внимания. На следующем уроке мы продолжим решать уравнения и применять свойства квадратов в более сложных заданиях."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Решить 4 уравнения вида $x^2=a$: два с положительными значениями $a$, являющимися квадратами целых чисел; одно с $a=0$; одно с отрицательным $a$. В каждом задании указать число корней, а найденные корни проверить подстановкой. | Закрепить распознавание трёх случаев; при проверке обратить внимание на оба противоположных корня при $a>0$ и обоснование отсутствия действительных корней при $a<0$. |
Средний (повышающий) | Решить 5 уравнений вида $x^2=a$ с различными значениями правой части, включая положительные квадраты целых чисел, ноль и отрицательные числа; к каждому уравнению добавить краткое объяснение выбора числа корней. | Развить самостоятельное применение алгоритма; проверить полноту объяснений, запись ответа и корректность подстановки. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных уравнения вида $x^2=a$: одно с двумя действительными корнями, одно с одним корнем и одно без действительных корней. Решить их, проверить ответы и объяснить, почему примеры относятся к разным случаям. | Закрепить обобщение и создать собственные математические примеры; проверить соответствие выбранного значения $a$ заявленному числу корней. |
Контрольные вопросы перед выходом из класса: «Сколько действительных корней имеет $x^2=64$? Почему у $x^2=0$ не два различных корня? Что можно сказать об уравнении $x^2=-1$ в действительных числах?»
