Внесение и вынесение общего множителя за знак корня
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться безошибочно выносить множители из квадратного корня и вносить множитель под знак корня, выполняя не менее 4 из 5 заданий самостоятельной работы.
- Закрепить алгоритм вынесения множителя за знак корня на основе разложения подкоренного выражения на множители, среди которых есть полный квадрат.
- Закрепить алгоритм внесения множителя под знак корня с использованием равенства $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geqslant0$.
- Развивать умение анализировать решение, находить ошибки и объяснять выбор преобразования в парной работе.
- Формировать ответственное отношение к самопроверке, аккуратной записи математических преобразований и выбору уровня домашнего задания.
Планируемые результаты
Личностные
- Проявляют познавательный интерес к преобразованию выражений и видят его связь с последующим решением уравнений, неравенств и задач прикладного характера.
- Осознают значение точной записи каждого шага для получения проверяемого математического результата.
- Оценивают собственный уровень владения алгоритмом и выбирают посильный, но развивающий уровень домашней работы.
- Проявляют уважение к мнению партнёра, корректно обсуждают различия в способах решения.
Метапредметные
- Извлекают информацию из формул, примеров на экране и интерактивной карточки, сопоставляют условие задания с подходящим алгоритмом.
- Планируют последовательность преобразований, контролируют промежуточные действия и исправляют найденные ошибки.
- Формулируют математическое объяснение, аргументируют выбор полного квадрата и проверяют результат обратным преобразованием.
- Сотрудничают в парах, распределяют роли «решающий» и «проверяющий», используют цифровой материал для самопроверки.
Предметные
- Знать свойства квадратного корня и равенства $\sqrt{a^2}=|a|$, $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geqslant0$.
- Уметь выносить множитель за знак корня из выражений вида $\sqrt{a^2b}$ и $\sqrt{a^2b^2c}$.
- Уметь вносить множитель под знак корня, возводя его в квадрат и умножая на подкоренное выражение.
- Уметь выполнять смешанные преобразования, сравнивать равносильность исходного и полученного выражений и находить типичные ошибки.
- Владеть записью решения с указанием разложения подкоренного выражения на множители.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личную учебную цель: научиться выбирать удобную форму записи корня для дальнейших вычислений.
- Осознают связь аккуратности преобразований с достоверностью математического вывода.
- Проявляют готовность принимать ошибку как основание для коррекции способа действия.
- Осуществляют самоопределение при выборе уровня домашнего задания.
Регулятивные УУД
- Принимают и уточняют цель урока на основе проблемного примера.
- Планируют решение по алгоритму: разложить, выделить полный квадрат, применить свойство, упростить.
- Сверяют собственное решение с эталоном и фиксируют конкретную причину ошибки.
- Оценивают результат по заданным критериям и намечают способ устранения затруднения.
Познавательные УУД
- Выделяют полный квадрат в разложении подкоренного выражения.
- Сравнивают внесение и вынесение множителя как взаимно обратные преобразования.
- Моделируют преобразование цепочкой равенств и используют математические символы для обоснования действий.
- Анализируют ошибочные решения, устанавливая, на каком шаге нарушено свойство квадратного корня.
Коммуникативные УУД
- Распределяют роли в паре и согласуют порядок проверки решения.
- Формулируют вопросы к партнёру: «Почему это число можно вынести?» и «Как проверить результат?»
- Аргументированно защищают способ преобразования, используя свойства корня.
- Корректно принимают замечания и предлагают исправленный вариант записи.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивную доску с проблемным примером $\sqrt{72}$, алгоритмами и эталонами решений.
- Распечатать карточки для парной работы двух уровней: по одной карточке на пару, всего по числу пар в классе.
- Подготовить индивидуальные листы самостоятельной работы с пятью заданиями и отдельный лист с эталоном для самопроверки.
- Вывести на доску памятку: «Разложи подкоренное выражение; выдели полный квадрат; примени свойство; упрости».
- Подготовить стикеры трёх цветов для рефлексии: зелёный — «могу сам», жёлтый — «нужен ещё один пример», красный — «нужна помощь».
- Подготовить таймер на экране для парной работы и самостоятельной работы.
- Заранее разместить на экране формулы $\sqrt{a^2}=|a|$ и $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geqslant0$.
- Проверить работу интерактивной доски, проектора и цифрового задания с автоматической проверкой ответов.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (3 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и обозначить практическую значимость преобразования корней.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и показывает на экране выражение $\sqrt{72}$. «Здравствуйте, ребята. Сегодня мы будем не просто повторять правило, а выбирать наиболее удобную форму записи корня. Посмотрите на экран: какое выражение легче вычислять или сравнивать — $\sqrt{72}$ или выражение после преобразования?» | Записывают дату и тему, рассматривают выражение, предполагают: «Нужно разложить 72 на множители, чтобы выделить полный квадрат». |
2 мин | Учитель использует приём «Выбор»: «У каждого сегодня будет возможность выбрать базовый или повышенный вариант задания. Но сначала нам нужно убедиться, что алгоритм работает в обе стороны. Поднимите зелёную карточку, если вы готовы сразу объяснить, как из $\sqrt{72}$ получить более удобную запись; жёлтую — если нужна подсказка». | Показывают карточку самооценки, формулируют предварительную цель: «Научиться выносить и вносить множитель под знак корня». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы увидели, что один и тот же корень можно записать по-разному. Сейчас проверим опорные знания и найдём шаг, который требует особого внимания».
Этап 2. Актуализация знаний (6 мин)
Цель этапа: восстановить свойства квадратного корня и навыки разложения чисел на множители.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель выводит на экран формулы $\sqrt{a^2}=|a|$ и $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geqslant0$. «Прочитайте формулы вслух и объясните, что происходит с множителем при внесении под знак корня. Почему множитель возводится именно в квадрат?» | Читают формулы, отвечают: «При внесении множитель становится частью подкоренного выражения и заменяется своим квадратом». |
2 мин | Учитель проводит устную разминку: «Разложите на множители числа 12, 18, 48 и 75. Назовите среди множителей полные квадраты». На доске фиксирует ответы без подробного решения. | Устно раскладывают числа: $12=4\cdot3$, $18=9\cdot2$, $48=16\cdot3$, $75=25\cdot3$; называют $4$, $9$, $16$, $25$. |
2 мин | Учитель предлагает два коротких примера: $\sqrt{25}$ и $3\sqrt{2}$. «Определите, какое действие нужно выполнить, если требуется упростить первый пример, и какое — если требуется записать второй пример одним корнем». | Отвечают: «В первом случае можно извлечь корень; во втором — внести множитель под знак корня». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы вспомнили, что полный квадрат помогает извлечь множитель из-под корня, а внешний множитель при внесении превращается в квадрат. Теперь проверим, где именно возникает затруднение».
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: обнаружить типичную ошибку и совместно сформулировать алгоритм работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель показывает два решения: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$ и ошибочное $\sqrt{72}=\sqrt{36+2}=6+\sqrt{2}$. «Какое решение верно? Объясните не только ответ, но и причину ошибки. Какое действие с числом 72 позволяет нам увидеть полный квадрат?» | Сравнивают записи, отвечают: «Верно первое решение. Во втором неверно заменили произведение суммой; подкоренное выражение нужно разложить на множители». |
2 мин | Учитель записывает на доске начало алгоритма и спрашивает: «Составьте план действий. Какие шаги должны появиться до окончательного ответа?» | Формулируют план: «Разложить подкоренное выражение на множители; выделить полный квадрат; извлечь корень из него; записать оставшийся множитель под корнем; проверить результат». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Причина ошибки ясна: нельзя извлекать корень из суммы или заменять умножение сложением. Мы сформулировали алгоритм и теперь применим его сначала вместе, затем самостоятельно».
Этап 4. Закрепление алгоритма в парах с использованием ИКТ (8 мин)
Цель этапа: отработать вынесение и внесение множителя через взаимную проверку и цифровую обратную связь.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель раздаёт каждой паре карточку и выводит на экран инструкцию: «В паре один ученик решает, второй проверяет по алгоритму; через 1 минуту поменяйтесь ролями». Учитель разбирает пример $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot3}=4\sqrt{3}$. «Проговорите вслух, почему вынесли именно 4». | В парах распределяют роли, записывают решение $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, объясняют: «$16$ — полный квадрат, его корень равен $4$». |
3 мин | Учитель предлагает задания на карточке: $\sqrt{75}$, $\sqrt{108}$ и $5\sqrt{3}$. «Решайте по цепочке равенств, не пропускайте разложение на множители. После выполнения введите ответы в цифровую форму на экране и сравните с автоматической проверкой». | В парах решают: $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{108}=6\sqrt{3}$, $5\sqrt{3}=\sqrt{75}$. Вводят ответы в цифровое задание, исправляют расхождения. |
3 мин | Учитель организует обсуждение: «Если цифровая проверка показала ошибку, не стирайте решение сразу. Найдите первый неверный шаг и объясните его партнёру. Какая запись помогает убедиться, что преобразование обратимо?» | Находят ошибочный шаг, используют обратную проверку возведением вынесенного множителя в квадрат, формулируют вывод: «Вынесение и внесение множителя являются взаимно обратными преобразованиями». |
Запись в тетрадях
- $\sqrt{a^2b}=a\sqrt{b}$ при $a\geqslant0$.
- $a\sqrt{b}=\sqrt{a^2b}$ при $a\geqslant0$.
- Алгоритм вынесения: разложить подкоренное выражение на множители, выделить полный квадрат, извлечь из него корень.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «В парах вы не только получили ответы, но и проверили логику преобразований с помощью цифрового задания. Теперь каждый покажет, насколько самостоятельно умеет применять алгоритм».
Этап 5. Первичное закрепление и анализ ошибок (7 мин)
Цель этапа: закрепить преобразования на заданиях разных типов и научиться объяснять найденную ошибку.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель предлагает фронтальный разбор: «Выполните в тетрадях преобразования $\sqrt{200}$ и $2\sqrt{18}$. Первый пример решим с вынесением, второй — с внесением. Назовите каждый промежуточный шаг». | Решают: $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=10\sqrt{2}$; $2\sqrt{18}=\sqrt{2^2\cdot18}=\sqrt{72}$. Проговаривают действия. |
2 мин | Учитель показывает ошибочную запись $\sqrt{50}=25\sqrt{2}$. «Проверьте решение. Какое число должно стоять перед корнем и почему?» | Находят ошибку, отвечают: «Из $25$ извлекается $5$, поэтому $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$». |
2 мин | Учитель проводит приём «Подумай — обсуди в паре — поделись»: «Сравните записи $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{45}$. Объясните, почему они равны, и выберите форму, удобную для дальнейшего вычисления». | Сначала записывают собственное объяснение, затем обсуждают его в парах и сообщают классу: «$3\sqrt{5}=\sqrt{9\cdot5}=\sqrt{45}$; выбор формы зависит от дальнейшей задачи». |
Эталон решения
$\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot2}=\sqrt{100}\cdot\sqrt{2}=10\sqrt{2}$. Для внесения множителя: $2\sqrt{18}=\sqrt{2^2\cdot18}=\sqrt{4\cdot18}=\sqrt{72}$. В ошибочной записи $\sqrt{50}=25\sqrt{2}$ неверно извлечён корень из $25$: $\sqrt{25}=5$, поэтому правильный результат — $5\sqrt{2}$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Мы закрепили оба направления преобразования и увидели, что основная ошибка связана с неверным извлечением квадратного корня. Переходим к самостоятельной работе: сейчас важно соблюдать алгоритм без подсказки партнёра».
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой (10 мин)
Цель этапа: проверить индивидуальное владение навыками вынесения и внесения множителя под знак корня.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель раздаёт индивидуальные листы и объясняет критерии: «Выполните пять заданий, записывая промежуточные разложения. Первые три задания обязательны, четвёртое и пятое — для тех, кто готов к повышенному уровню. Не подсказываем друг другу, но после сигнала проверяем работу по эталону». | Получают листы, записывают дату и начинают индивидуальную работу. |
6 мин | Учитель предлагает задания: 1) $\sqrt{98}$; 2) $\sqrt{147}$; 3) $4\sqrt{7}$ — внести множитель под корень; 4) $\sqrt{300}$; 5) найти ошибку в записи $3\sqrt{12}=\sqrt{36\cdot12}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}$. Учитель наблюдает, задаёт адресные вопросы: «Какой полный квадрат вы видите? Что нужно возвести в квадрат при внесении?» | Индивидуально решают: $\sqrt{98}=7\sqrt{2}$; $\sqrt{147}=7\sqrt{3}$; $4\sqrt{7}=\sqrt{112}$; $\sqrt{300}=10\sqrt{3}$. В пятом задании устанавливают: $3\sqrt{12}=6\sqrt{3}$, так как $\sqrt{432}=12\sqrt{3}$, но исходное преобразование даёт $\sqrt{9\cdot12}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$. |
3 мин | Учитель выводит эталон на экран: «Проверьте каждую строку, поставьте плюс рядом с верным шагом и точку рядом с ошибочным. Внизу листа закончите фразу: “Мне нужно повторить…”». | Сверяют решения, подсчитывают количество верных заданий, фиксируют индивидуальное затруднение: «разложение на множители», «извлечение корня» или «внесение множителя». |
Завершение этапа: учитель подводит итог: «Самостоятельная работа показала, какой шаг уже стал уверенным, а какой требует повторения. На последнем этапе мы обобщим алгоритм и зафиксируем личный результат урока».
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (7 мин)
Цель этапа: осмыслить результат, выявить затруднения и предоставить выбор уровня домашней работы.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель проводит рефлексию «Светофор»: «Поднимите зелёный стикер, если можете самостоятельно вынести множитель; жёлтый — если алгоритм понятен, но нужна тренировка; красный — если требуется индивидуальное объяснение. Одним предложением объясните свой выбор». | Прикрепляют стикер, формулируют самооценку: «Я умею находить полный квадрат», «Мне трудно вносить множитель под корень», «Я ошибаюсь при извлечении корня». |
2 мин | Учитель задаёт вопросы: «Какой общий признак у выражений, из которых можно вынести множитель? Как проверить внесение множителя? Какая ошибка сегодня встречалась чаще всего?» | Отвечают: «Под корнем есть множитель-полный квадрат»; «Нужно возвести внешний множитель в квадрат»; «Нельзя заменять произведение суммой и нельзя путать число с его квадратным корнем». |
2 мин | Учитель сообщает домашнее задание и даёт право выбора: «Выберите уровень, который соответствует вашей сегодняшней цели. В тетради обязательно запишите не только ответы, но и разложения подкоренных выражений». | Записывают выбранный уровень домашней работы, задают уточняющие вопросы, отмечают личную цель на следующий урок. |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все пять заданий или не менее четырёх заданий, включая задания на оба направления преобразований; промежуточные равенства записаны корректно, ошибка объяснена.
- «4» — верно выполнены четыре задания, но допущена одна вычислительная или оформительская неточность, не нарушающая понимания алгоритма.
- «3» — верно выполнены три обязательных задания либо правильно выполнены отдельные шаги в четырёх заданиях, но есть ошибки в выделении полного квадрата или внесении множителя.
- «2» — верно выполнены менее трёх обязательных заданий или отсутствует запись основных преобразований, поэтому способ решения невозможно проверить.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Какой шаг алгоритма вынесения множителя вы выполняете уверенно? | Выявление освоенных действий и фиксация предметного результата. |
В какой момент решения вы сегодня допустили или могли допустить ошибку? | Выявление точек затруднения в разложении, извлечении корня или оформлении. |
Как объяснить равенство $3\sqrt{5}=\sqrt{45}$? | Проверка понимания взаимосвязи внесения и вынесения множителя. |
Какой уровень домашнего задания вы выбираете и почему? | Развитие самооценки, ответственности и осознанного выбора сложности. |
Завершающее слово учителя
«Сегодня мы закрепили два взаимно обратных действия: вынесение множителя из-под знака корня и внесение множителя под знак корня. Главное — сначала увидеть полный квадрат и только потом выполнять преобразование. Помните о типичной ошибке: корень из квадрата равен модулю числа, а при работе с неотрицательными множителями мы внимательно контролируем знак. На следующем уроке применим эти преобразования при сравнении и вычислении выражений, содержащих квадратные корни. Если вы выбрали жёлтый или красный стикер, начните домашнюю работу с повторения алгоритма по записи в тетради».
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 4 задания на вынесение множителя за знак корня и 2 задания на внесение множителя под знак корня; в каждом решении показать разложение подкоренного выражения. | Закрепляет основной алгоритм; при проверке обратить внимание на выделение полного квадрата и правильное извлечение корня. |
Средний (повышающий) | Выполнить 5 смешанных заданий, включающих выражения с числами 72, 98, 108, 147 и 200, а также одно задание на исправление ошибочного решения. | Развивает выбор способа преобразования и умение анализировать ошибки; проверить наличие объяснения каждого неверного шага. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить три собственных пары равных выражений: одну на вынесение множителя, одну на внесение и одну смешанную; решить их и кратко объяснить, почему преобразования обратимы. | Формирует умение создавать математический пример и аргументировать равносильность записей; проверить корректность всех коэффициентов и подкоренных выражений. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Какой множитель можно вынести из выражения $\sqrt{180}$? Как записать $6\sqrt{2}$ одним корнем? Какой первый шаг нужно сделать, если подкоренное число не является полным квадратом?»
