Стандартная запись числа. Размеры объектов и длительность процессов окружающего мира
Цели и задачи
- Цель по SMART: к концу урока научиться записывать положительные числа в стандартном виде $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, определять порядок числа и применять запись к описанию размеров объектов и длительности процессов.
- Научиться преобразовывать десятичные дроби и числа с нулями в стандартную запись и выполнять обратное преобразование.
- Развивать умение сравнивать порядок величины объектов и выбирать удобную форму представления информации.
- Формировать навыки работы с учебным текстом, таблицами и цифровой презентацией, а также самопроверки по эталону.
- Воспитывать интерес к математике через связь с физикой, астрономией, информатикой и реальными измерениями.
Планируемые результаты
Личностные
- Осознают практическую ценность стандартной записи числа при описании очень больших и очень малых величин.
- Проявляют познавательный интерес к размерам объектов от элементарных частиц до космических тел.
- Принимают ответственность за точность вычислений и оформление результата.
- Оценивают собственный прогресс и выбирают уровень домашнего задания с учётом своих возможностей.
Метапредметные
- Извлекают информацию из текста учебника, таблицы и цифрового слайда, преобразуют её в математическую запись.
- Планируют последовательность преобразования числа и проверяют результат обратным действием.
- Сравнивают величины по порядку, объясняют выбор способа записи.
- Работают в паре, аргументируют ответ и корректно обсуждают различия в решениях.
- Используют ИКТ для анализа и представления числовой информации.
Предметные
- Знать определение стандартной записи числа $a\cdot10^n$, ограничения на коэффициент $a$ и смысл порядка $n$.
- Уметь записывать в стандартном виде числа типа $4500000$, $0{,}00032$ и выполнять обратное преобразование.
- Уметь определять порядок числа по его стандартной записи.
- Уметь применять стандартную запись для описания размеров объектов и длительности процессов.
- Уметь находить и исправлять ошибки в записи числа.
Универсальные учебные действия (УУД)
Личностные УУД
- Определяют личный смысл изучения способа записи данных, используемого в естественных науках и будущих профессиях.
- Проявляют готовность самостоятельно выбрать посильный уровень задания.
- Осознают связь точности математической записи с достоверностью научной информации.
- Развивают уважительное отношение к ответам одноклассников и конструктивной критике.
Регулятивные УУД
- Формулируют цель урока на основе обнаруженного затруднения.
- Планируют алгоритм переноса запятой и определения показателя степени десяти.
- Контролируют количество переносов запятой и соответствие коэффициента условию $1\leq a<10$.
- Сверяют решение с эталоном, находят ошибку и вносят коррекцию.
- Оценивают результат по критериям и фиксируют оставшийся вопрос.
Познавательные УУД
- Выделяют существенные признаки стандартной записи числа.
- Устанавливают связь между направлением переноса запятой и знаком показателя степени.
- Преобразуют числовую информацию из таблицы в математическую модель.
- Сравнивают величины по показателям степени десяти и объясняют вывод.
- Моделируют реальные размеры объектов с помощью записи $a\cdot10^n$.
Коммуникативные УУД
- Формулируют вопрос и ответ в парном обсуждении.
- Объясняют партнёру алгоритм преобразования числа.
- Аргументируют, почему конкретная запись является или не является стандартной.
- Распределяют роли при выполнении групповой практической задачи.
- Принимают иной способ рассуждения и уточняют ответ без конфликта.
Подготовка учителя к уроку
- Подготовить презентацию или интерактивный слайд с изображениями атома, бактерии, человеческого волоса, Земли и расстояния до Солнца; рядом указать их размеры в обычной записи.
- Подготовить слайд с длительностью процессов: вспышка фотокамеры, биение сердца, сутки, год, геологический период.
- Распечатать карточки трёх уровней сложности: по одной на каждого ученика, всего по числу учащихся.
- Распечатать таблицу «Объект — величина — стандартная запись — порядок» по одной на пару.
- Подготовить карточки для приёма «Найди ошибку» по одной на группу из четырёх человек.
- Вывести на доску или подготовить слайд со шпаргалкой: $a\cdot10^n$, $1\leq a<10$, перенос запятой влево — положительная степень, вправо — отрицательная степень.
- Подготовить маркеры, стикеры зелёного и жёлтого цвета для самооценки.
- Проверить работу проектора, компьютера и интерактивной доски; заранее открыть презентацию с таблицами величин.
- Подготовить фрагмент учебника с определением стандартной записи и примерами для работы с текстом без указания страниц.
- Подготовить эталон ответов для самостоятельной работы и домашнее задание трёх уровней.
Ход урока
Этап 1. Организационный момент и мотивация (4 мин)
Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность и показать практическую необходимость компактной записи очень больших и очень малых чисел.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
1 мин | Учитель приветствует класс и говорит: "Здравствуйте, ребята. Проверьте, пожалуйста, наличие тетради, ручки и учебника. Сегодня нам понадобится ещё внимательность: мы будем работать с числами, в которых легко потерять нули. В конце урока вы сможете выбрать уровень домашнего задания." | Проверяют готовность, записывают дату, настраиваются на работу. |
3 мин | Учитель показывает на экране две записи: 0,0000000000000000000000016 м и 1600000000000000000000000 м. "Попробуйте за несколько секунд понять, что это за величины и где в записи можно ошибиться. Почему учёные используют более короткую форму?" Учитель применяет приём «Проблемный вопрос» и фиксирует ответы на доске. | Рассматривают записи, обсуждают в парах, формулируют предположения: "Слишком много нулей", "Можно ошибиться при подсчёте", "Нужна компактная запись". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы увидели, что обычная запись удобна не всегда. Сегодня мы узнаем способ компактно записывать такие числа, сохраняя их точное значение, а затем применим его к реальным объектам и процессам."
Этап 2. Актуализация знаний и фиксация затруднения (6 мин)
Цель этапа: актуализировать свойства степеней десяти и обнаружить затруднение при переносе запятой.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель записывает на доске: $10^2$, $10^3$, $10^{-1}$, $10^{-4}$. "Вспомните значения степеней десяти. Что происходит с запятой при умножении на $10^n$? Объясните на одном примере, а не только назовите ответ." | Выполняют устные вычисления и отвечают: "$10^3=1000$, при умножении на $10^3$ запятая переносится на три знака вправо; $10^{-2}=0{,}01$". |
3 мин | Учитель предлагает задания на мини-доске: $4{,}7\cdot10^3$, $0{,}56\cdot10^2$, $8{,}2\cdot10^{-3}$. "Работайте индивидуально одну минуту, затем сравните ответы с соседом. Отметьте место, где возникло сомнение." | Решают, сравнивают записи в парах, называют ответы: "$4700$, $56$, $0{,}0082$". Формулируют затруднение: "Не всегда понятно, сколько знаков переносить и какой знак степени выбирать". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы умеем работать со степенями десяти, но нам нужен единый алгоритм представления любого числа в виде произведения. Сформулируем, каким должен быть первый множитель и как определить показатель степени."
Этап 3. Постановка проблемы и целеполагание (4 мин)
Посмотрите план целиком
Зарегистрируйтесь — и откройте план урока по этой теме полностью: цели, ход урока и рефлексия по ФГОС.
Цель этапа: сформулировать учебную задачу и критерии правильной стандартной записи.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель записывает варианты: $45\cdot10^5$, $4{,}5\cdot10^6$, $0{,}45\cdot10^7$. "Все ли эти записи равны числу 4500000? Какая из них отвечает специальному правилу? Какое правило можно предположить?" | Сравнивают варианты, отвечают: "Все могут быть равны одному числу, но стандартной является $4{,}5\cdot10^6$, потому что первый множитель от 1 до 10". |
2 мин | Учитель предлагает завершить фразу: "Чтобы записать число стандартно, нужно..." и записывает на доске сформулированные классом шаги. "Проверьте, достаточно ли в нашем плане действий определения степени и проверки коэффициента." | Формулируют цель: "Научиться записывать числа в виде $a\cdot10^n$, определять $a$ и $n$, применять запись к реальным величинам". Записывают план: выделить первую значащую цифру, перенести запятую, посчитать переносы, проверить коэффициент. |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Цель поставлена, алгоритм пока является гипотезой. Сейчас проверим его по учебному тексту и на конкретных примерах, а затем применим к размерам объектов и длительности процессов."
Этап 4. Открытие нового знания с опорой на учебник и ИКТ (9 мин)
Цель этапа: вывести определение стандартной записи числа и научиться применять алгоритм на примерах.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
3 мин | Учитель просит открыть учебник на теме урока и найти определение стандартной записи. "Прочитайте определение молча. Выпишите два обязательных условия: каким должен быть коэффициент и каким может быть показатель степени. После чтения сравните формулировки в парах." | Читают фрагмент учебника, выделяют условия и формулируют: "$a$ — число от 1 до 10, $n$ — целое число". |
3 мин | Учитель демонстрирует на экране алгоритм и проговаривает: "Рассмотрим число 5600000. Перенесём запятую после первой значащей цифры: 5,6. Запятую перенесли на шесть позиций влево, поэтому получили $5{,}6\cdot10^6$. Теперь число 0,000084. После первой значащей цифры получаем 8,4, запятую перенесли на пять позиций вправо, поэтому показатель отрицательный: $8{,}4\cdot10^{-5}$." | Записывают два примера, считают число переносов, объясняют знак показателя: "Для большого числа показатель положительный, для числа меньше единицы — отрицательный". |
3 мин | Учитель предлагает задания на экране: записать стандартно числа 720000; 0,00039; 12,5. "Сначала решите самостоятельно, затем сравните с партнёром. Для числа 12,5 отдельно проверьте условие на коэффициент." | Записывают: $7{,}2\cdot10^5$, $3{,}9\cdot10^{-4}$, $1{,}25\cdot10^1$. Объясняют, почему $12{,}5\cdot10^0$ не является стандартной записью. |
Запись в тетрадях
Стандартная запись числа: $a\cdot10^n$, где $1\leq a<10$, $n$ — целое число. Алгоритм: 1) перенести запятую после первой значащей цифры; 2) посчитать число переносов; 3) выбрать знак показателя; 4) проверить условие $1\leq a<10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Мы получили определение и алгоритм. Теперь проверим, насколько уверенно умеем применять его не только к отдельным числам, но и к данным об окружающем мире."
Этап 5. Первичное закрепление: размеры и длительность процессов (8 мин)
Цель этапа: применить стандартную запись к реальным величинам и сравнить их порядки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
4 мин | Учитель раздаёт каждой паре таблицу: электрон — $0{,}00000000000000000016$ м; человеческий волос — $0{,}00007$ м; Земля — $12742000$ м; расстояние от Земли до Солнца — $149600000000$ м. "Запишите каждую величину стандартно. Подчеркните показатель степени и определите, какой объект имеет наибольший порядок величины." | В парах преобразуют величины: $1{,}6\cdot10^{-19}$ м; $7\cdot10^{-5}$ м; $1{,}2742\cdot10^7$ м; $1{,}496\cdot10^{11}$ м. Делают вывод: расстояние до Солнца имеет наибольший порядок. |
4 мин | Учитель показывает вторую таблицу: длительность вспышки — $0{,}0001$ с; один удар сердца — $0{,}8$ с; сутки — $86400$ с; год — $31536000$ с. "Выберите любые две величины, запишите их стандартно и объясните, во сколько порядков они различаются. Если точное отношение считать неудобно, сравнивайте показатели степени." | Выбирают две величины, записывают: $1\cdot10^{-4}$ с, $8\cdot10^{-1}$ с, $8{,}64\cdot10^4$ с, $3{,}1536\cdot10^7$ с. Объясняют, что показатели степени дают ориентировочное сравнение порядка величин. |
Эталон решения
Для числа $0{,}00007$ запятая переносится на пять знаков вправо: $7\cdot10^{-5}$. Для числа $12742000$ запятая переносится на семь знаков влево: $1{,}2742\cdot10^7$. Для числа $0{,}0001$ получаем $1\cdot10^{-4}$, поскольку коэффициент $1$ удовлетворяет условию $1\leq a<10$.
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Стандартная запись помогает быстро увидеть масштаб величины. Сейчас каждый самостоятельно покажет, умеет ли он выполнить все шаги алгоритма без подсказки партнёра."
Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой и коррекцией (9 мин)
Цель этапа: диагностировать индивидуальное освоение алгоритма и исправить типичные ошибки.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
5 мин | Учитель раздаёт карточки трёх уровней. "Выберите уровень: базовый — обязательный для всех, повышающий — если базовый выполняется уверенно, дополнительный — для тех, кто готов рассуждать о масштабе. Работайте самостоятельно. Записывайте не только ответ, но и количество переносов запятой." | Выполняют выбранную карточку. Базовый уровень: записывают стандартно $630000$, $0{,}00052$, $4{,}8\cdot10^3$. Повышающий: восстанавливают числа из $2{,}7\cdot10^6$, $6{,}04\cdot10^{-4}$ и находят ошибку в $0{,}72\cdot10^5$. Дополнительный: сравнивают реальные величины и объясняют порядок. |
2 мин | Учитель выводит эталон на экран: $6{,}3\cdot10^5$; $5{,}2\cdot10^{-4}$; $4{,}8\cdot10^3$; $2700000$; $0{,}000604$; правильная запись ошибки — $7{,}2\cdot10^4$. "Проверьте каждую строку, поставьте плюс или исправьте ответ." | Сверяют решения с эталоном, исправляют ошибки, подсчитывают количество верных ответов. |
2 мин | Учитель проводит самооценку «Светофор»: "Зелёный стикер — алгоритм применяю уверенно; жёлтый — ошибаюсь в знаке или количестве переносов; красный — нужна совместная помощь. Отметьте также, на каком шаге возникло затруднение." | Прикрепляют стикер, записывают причину ошибки: "не проверил коэффициент", "неверно посчитал переносы", "перепутал знак показателя". |
Завершение этапа: учитель подводит итог: "Самостоятельная работа показала, что основная ошибка связана не с вычислением степени, а с внимательным подсчётом переносов. На последнем этапе мы закрепим алгоритм в кратком объяснении и сформулируем, где он пригодится."
Этап 7. Рефлексия и домашнее задание (5 мин)
Цель этапа: обобщить изученное, оценить достижение цели и объяснить домашнее задание.
Время | Действие учителя | Действие учеников |
|---|---|---|
2 мин | Учитель предлагает приём «Одноминутная формула»: "За одну минуту запишите определение стандартной записи, алгоритм и одну типичную ошибку. Затем обменяйтесь листами с соседом и проверьте наличие трёх элементов." | Записывают $a\cdot10^n$, условие $1\leq a<10$, алгоритм и пример ошибки; взаимно проверяют записи. |
1 мин | Учитель возвращается к проблемному вопросу: "Почему 0,0000000000000000000000016 удобнее записать как $1{,}6\cdot10^{-24}$? Что сразу становится видно?" | Отвечают: "Запись становится короче, а показатель показывает масштаб числа". |
2 мин | Учитель объясняет домашнее задание: "Выберите уровень. В каждом задании обязательно показывайте перенос запятой или объясняйте показатель степени. На следующем уроке мы используем стандартную запись при действиях с числами и оценке результата." | Записывают выбранный уровень домашнего задания, задают уточняющие вопросы, сдают билет на выход с ответом на вопрос: "Как проверить, что запись является стандартной?". |
Критерии оценивания практической работы
- «5» — верно выполнены все задания выбранной карточки, правильно определены знак и показатель степени, коэффициенты приведены к условию $1\leq a<10$, объяснение решения последовательное.
- «4» — верно выполнено не менее 80% заданий, допущена одна вычислительная ошибка или одна неточность в объяснении, но алгоритм понятен.
- «3» — верно выполнено не менее 50% заданий, имеются ошибки в подсчёте переносов или знаке показателя, однако стандартная форма распознаётся и частично применяется.
- Ниже базового уровня — учитель предлагает разобрать один пример по алгоритму вместе и выполнить аналогичное задание с подсказкой.
Рефлексия
Вопрос для ученика | Цель вопроса |
|---|---|
Что нового вы узнали о стандартной записи числа? | Выявление осознания определения и назначения записи. |
Как определить знак показателя степени? | Проверка понимания связи между направлением переноса запятой и знаком степени. |
На каком шаге алгоритма вы ошиблись или почувствовали сомнение? | Выявление точек затруднения для коррекции на следующем уроке. |
Где стандартная запись может пригодиться вне урока? | Осознание практической и межпредметной значимости материала. |
Завершающее слово учителя
"Сегодня мы научились заменять длинную запись очень больших и очень малых чисел компактной формой $a\cdot10^n$. Главное — не забывать проверить коэффициент: он должен быть не меньше единицы и меньше десяти. Мы применили способ к размерам объектов и длительности процессов, поэтому теперь умеем видеть масштаб величины, а не только считать нули. На следующем уроке будем выполнять действия со стандартной записью и сравнивать результаты."
Домашнее задание
Уровень | Что задать | Зачем |
|---|---|---|
Базовый (обязательный) | Выполнить 6 заданий: записать в стандартном виде три больших числа и три малых числа; для каждого указать число переносов запятой и знак показателя степени. | Закрепляет алгоритм преобразования; при проверке смотреть на коэффициент, количество переносов и знак показателя. |
Средний (повышающий) | Выполнить 4 задания по данным из учебного материала: преобразовать размеры двух объектов и длительность двух процессов в стандартную запись, затем сравнить величины по порядку. | Формирует умение применять правило в реальном контексте и сравнивать масштабы; проверять единицы измерения и корректность вывода. |
Продвинутый (дополнительный) | Составить небольшую таблицу из 5 объектов или процессов окружающего мира с величинами в обычной и стандартной записи, указать порядок каждой величины и написать вывод о самой большой и самой малой величине. | Развивает самостоятельный поиск, моделирование и создание математического представления данных; проверять достоверность исходных чисел и соблюдение стандартной формы. |
Контрольные вопросы перед выходом: «Как выглядит стандартная запись числа?», «Почему при числе меньше единицы показатель степени отрицательный?», «Как проверить коэффициент $a$?», «Во сколько раз изменится число, если показатель степени увеличить на единицу?»
